四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·自贡期中）给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：命题①中为常数函数，故，故①错误；
对于命题②，因为，所以，故②正确；
显然命题③和④正确.
故答案为：C.
【分析】根据求导公式和四则运算法则逐个分析判断即可得出答案.
2．（2024高二下·自贡期中）在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题意.
故答案为：C.
【分析】
直接由等差数列的性质即可求解.
3．（2024高二下·自贡期中）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等比数列的通项公式为，
当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故答案为：D.
【分析】由等比数列的通项公式判断出充分性不成立；根据递增数列的定义判断出必要性不成立.
4．（2024高二下·自贡期中）设等差数列数列的前项和为，若，则（ ）
A．32 B．47 C．54 D．86
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，
其首项为2，公差为13，
所以，
故答案为：D
【分析】根据等差数列的求和公式及其性质进行求解.
5．（2024高二下·自贡期中）若函数f(x)=f'(-1)x2-2x+3，则f'(-1)的值为 ( )
A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，令，得.
故答案为：B
【分析】对原函数求导，再将代入进去，即可得出答案.
6．（2024高二下·自贡期中）函数的大致图像是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，
故答案为：B．
【分析】由函数的解析式和零点的定义判断出函数有两个零点，再对函数求导可得极值点的个数，即可判断.
7．（2024高二下·自贡期中）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为总共10名同学进行队列训练 ，站成前排3人后排7人，
所以可以先从7个人中选2人调整到前排有种，调整后前排有5个人，再把两个人在5个位子中选2个进行排列，
原来的3人按照原顺序站在剩下的3个位子，有种，按照乘法计数原理可得总共有种.
故答案为：B.
【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把两个人在5个位子中选2个进行排列即可求解.
8．（2024高二下·自贡期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，故函数为奇函数，
因为且不恒为零，
所以函数在上为增函数，
因为，所以，则，
所以，，即.
故答案为：A.
【分析】先判断出函数的定义域，再分析函数的单调性与奇偶性，然后将所求不等式变形为，解之即可.
9．（2024高二下·自贡期中）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：若公比有，，，此时，故公比，
因为，，成等差数列， 所以，
即，两边同时乘以，由等比数列的通项公式可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
故答案为：AB.
【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，然后利用等差中项的性质和等比数列的通项公式即可求解.
10．（2024高二下·自贡期中）函数的单调递增区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
所以函数的单调增区间为，
则符合题意的选项为AD.
故答案为：AD.
【分析】利用导数求出函数的单调增区间即可（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）.
11．（2024高二下·自贡期中）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：对于选项A：由二项式定理知：，故A正确；
当时，有，当有，
对于选项B：由上，可得，故B正确；
对于选项C：由上，可得，故C错误；
对于选项D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
12．（2024高二下·自贡期中）下列命题是真命题有（ ）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．已知实数，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是
D．若函数的导数，且，则不等式的解集是
【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于选项A，若，且还需在左右两侧的单调性相反，才足以保证是函数的极值点，故选项A错误；
对于选项B，例如，在点处的切线与有两个交点，故选项B正确；
对于选项C，若函数，则，
令，则，令，则或，
若时，
当或时，，当时，，
所以当或时，单调递减，当时，单调递增，
所以的极小值为，极大值为，
根据三次函数的性质可知，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是，故选项C正确；
对于选项D，令，则，所以是减函数，
不等式等价于，注意到，
所以不等式的解集为.
故答案为：BCD.
【分析】对于选项A，由极值点的定义即可判断；对于选项B，举出例子即可判断；对于选项C，分离参数，构造新的函数，利用导数研究方程的根即可判断；对于选项D，构造函数，利用导数研究函数单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），从而利用单调性即可解不等式.
13．（2024高二下·自贡期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 .
【答案】1
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于多项式 ，由二项式定理可得，，
令，含的项为，其二项式系数为.
故填：1
【分析】根据二项式定理即可求解.
14．（2024高二下·自贡期中）已知数列的前项和为，且，则 ．
【答案】
【知识点】数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为 ，
当时，则；
当时，则；
综上所述： .
故答案为：.
【分析】分和两种情况，结合与 之间的关系分析求解.
15．（2024高二下·自贡期中）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝ ．
【答案】8
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由于数列为等比数列，故，解得，故.
故填：8
【分析】利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.
16．（2024高二下·自贡期中）已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ．
【答案】；
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点，
则
，
故，解得或，
当时，；当时，.
切点坐标为或．
当切点为时，有，故（舍去）．
当切点为时，有，故，
因此切点坐标为，的值为.
故填：；
【分析】设直线与曲线相切于点，利用导数的定义可得，根据导数的几何意义可得或，再验证得到答案.
17．（2024高二下·自贡期中）已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以，所以， 解得，
所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.
（2）解：设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
因此.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质得到，然后根据等差数列的通项公式求出和的值即可.
（2）根据（1）的条件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根据等比数列的通项公式求出的值即可.
（1）设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以，所以， 解得，
所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.
（2）设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
因此.
18．（2024高二下·自贡期中）已知在的展开式中，第项为常数项．
（1）求；
（2）求含项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）解：对于多项式 ，利用二项式定理可得其通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
（2）解：因为由的结论可知，令，解得.
所以含项的系数为.
（3）解：根据题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令时的指数为，即可得出结果；
将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果；
令通项中的指数为整数，求出结果即可.
（1）解：通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
（2）解：由可知，令，解得.
所以含项的系数为.
（3）解：由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
19．（2024高二下·自贡期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）解：函数的定义域为，.
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由，
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增.
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，求出，然后利用点斜式即可求出切线方程；
（2）分类讨论，当时、当时，的正负情况（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），再判断单调性，从而确定极值.
（1）函数的定义域为，.
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由，
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增.
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
20．（2024高二下·自贡期中）已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
（1）求a2的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
（3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
【答案】解：因为(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
（1）a2＝(－4)9＝－49×10；
（2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，①
将t＝－1代入进去，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，②
故a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0；
（3）由（2）①+②得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【分析】令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
（1）结合展开式可得a2＝C(－4)9，即可求解；
（2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，两个式子相减即可得出答案；
（3）由（2）两式相加即可得解.
21．（2024高二下·自贡期中）已知为等差数列，.
（1）求的通项公式；
（2）若为的前项和，求.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
所以；
因为当时，满足上式，
所以；
（2）解：由（1）可得，∴
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据递推公式判断出可以利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果；
（2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果.
（1）∵.
∴，
∴，
∴；
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）可得，
∴
.
22．（2024高二下·自贡期中）（1）证明：当时，；
（2）已知函数.求证：当时，.
【答案】解：（1）要证，需证明，
令，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
即对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以；
（2）要证，
只需证明，
只需证明，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，所以；
再令，则，
当时，，当时，，
知在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
因为与不同时为0，所以，
故原不等式成立．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对不等式进行变形，构造新的函数，对函数求导，利用导数判断的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），进而可得，即可证明结果；
（2）由于即，故分别构造函数和，利用导数求它们的最值，即可证明.
1 / 1四川省自贡市田家炳中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1．（2024高二下·自贡期中）给出下列命题：①，则；②，则；③，则；④，则.其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024高二下·自贡期中）在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
3．（2024高二下·自贡期中）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·自贡期中）设等差数列数列的前项和为，若，则（ ）
A．32 B．47 C．54 D．86
5．（2024高二下·自贡期中）若函数f(x)=f'(-1)x2-2x+3，则f'(-1)的值为 ( )
A．0 B．-1 C．1 D．2
6．（2024高二下·自贡期中）函数的大致图像是
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·自贡期中）10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·自贡期中）已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·自贡期中）已知是等比数列的前n项和，，，成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·自贡期中）函数的单调递增区间可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·自贡期中）已知，下列命题中，正确的是（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为；
B．展开式中所有奇次项系数的和为；
C．展开式中所有偶次项系数的和为；
D．.
12．（2024高二下·自贡期中）下列命题是真命题有（ ）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．已知实数，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是
D．若函数的导数，且，则不等式的解集是
13．（2024高二下·自贡期中）在的展开式中，含的项的二项式系数为 .
14．（2024高二下·自贡期中）已知数列的前项和为，且，则 ．
15．（2024高二下·自贡期中）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝ ．
16．（2024高二下·自贡期中）已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ．
17．（2024高二下·自贡期中）已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等比数列{bn}满足b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．
18．（2024高二下·自贡期中）已知在的展开式中，第项为常数项．
（1）求；
（2）求含项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
19．（2024高二下·自贡期中）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.
20．（2024高二下·自贡期中）已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
（1）求a2的值；
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
（3）求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
21．（2024高二下·自贡期中）已知为等差数列，.
（1）求的通项公式；
（2）若为的前项和，求.
22．（2024高二下·自贡期中）（1）证明：当时，；
（2）已知函数.求证：当时，.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：命题①中为常数函数，故，故①错误；
对于命题②，因为，所以，故②正确；
显然命题③和④正确.
故答案为：C.
【分析】根据求导公式和四则运算法则逐个分析判断即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】由题意.
故答案为：C.
【分析】
直接由等差数列的性质即可求解.
3．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为等比数列的通项公式为，
当，时，数列为递减数列，即充分性不成立；
当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故答案为：D.
【分析】由等比数列的通项公式判断出充分性不成立；根据递增数列的定义判断出必要性不成立.
4．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为由等差数列的性质可得：，，，成等差数列，
其首项为2，公差为13，
所以，
故答案为：D
【分析】根据等差数列的求和公式及其性质进行求解.
5．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由，令，得.
故答案为：B
【分析】对原函数求导，再将代入进去，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由的解析式知仅有两个零点与，而A中有三个零点，所以排除A，又，由知函数有两个极值点，排除C，D，
故答案为：B．
【分析】由函数的解析式和零点的定义判断出函数有两个零点，再对函数求导可得极值点的个数，即可判断.
7．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为总共10名同学进行队列训练 ，站成前排3人后排7人，
所以可以先从7个人中选2人调整到前排有种，调整后前排有5个人，再把两个人在5个位子中选2个进行排列，
原来的3人按照原顺序站在剩下的3个位子，有种，按照乘法计数原理可得总共有种.
故答案为：B.
【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把两个人在5个位子中选2个进行排列即可求解.
8．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，故函数为奇函数，
因为且不恒为零，
所以函数在上为增函数，
因为，所以，则，
所以，，即.
故答案为：A.
【分析】先判断出函数的定义域，再分析函数的单调性与奇偶性，然后将所求不等式变形为，解之即可.
9．【答案】A,B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：若公比有，，，此时，故公比，
因为，，成等差数列， 所以，
即，两边同时乘以，由等比数列的通项公式可得：；
两边同时乘以，可得：
故有或，
故答案为：AB.
【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，然后利用等差中项的性质和等比数列的通项公式即可求解.
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为，
当时，，
所以函数的单调增区间为，
则符合题意的选项为AD.
故答案为：AD.
【分析】利用导数求出函数的单调增区间即可（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）.
11．【答案】A,B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：对于选项A：由二项式定理知：，故A正确；
当时，有，当有，
对于选项B：由上，可得，故B正确；
对于选项C：由上，可得，故C错误；
对于选项D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.
12．【答案】B,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：对于选项A，若，且还需在左右两侧的单调性相反，才足以保证是函数的极值点，故选项A错误；
对于选项B，例如，在点处的切线与有两个交点，故选项B正确；
对于选项C，若函数，则，
令，则，令，则或，
若时，
当或时，，当时，，
所以当或时，单调递减，当时，单调递增，
所以的极小值为，极大值为，
根据三次函数的性质可知，若函数有且仅有3个零点，则b的取值范围是，故选项C正确；
对于选项D，令，则，所以是减函数，
不等式等价于，注意到，
所以不等式的解集为.
故答案为：BCD.
【分析】对于选项A，由极值点的定义即可判断；对于选项B，举出例子即可判断；对于选项C，分离参数，构造新的函数，利用导数研究方程的根即可判断；对于选项D，构造函数，利用导数研究函数单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），从而利用单调性即可解不等式.
13．【答案】1
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：对于多项式 ，由二项式定理可得，，
令，含的项为，其二项式系数为.
故填：1
【分析】根据二项式定理即可求解.
14．【答案】
【知识点】数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为 ，
当时，则；
当时，则；
综上所述： .
故答案为：.
【分析】分和两种情况，结合与 之间的关系分析求解.
15．【答案】8
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由于数列为等比数列，故，解得，故.
故填：8
【分析】利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，解方程组求得的值，进而求得的值.
16．【答案】；
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点，
则
，
故，解得或，
当时，；当时，.
切点坐标为或．
当切点为时，有，故（舍去）．
当切点为时，有，故，
因此切点坐标为，的值为.
故填：；
【分析】设直线与曲线相切于点，利用导数的定义可得，根据导数的几何意义可得或，再验证得到答案.
17．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以，所以， 解得，
所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.
（2）解：设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
因此.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质得到，然后根据等差数列的通项公式求出和的值即可.
（2）根据（1）的条件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根据等比数列的通项公式求出的值即可.
（1）设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，
所以，所以， 解得，
所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.
（2）设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，
所以－8q＝－24，即q＝3，
因此.
18．【答案】（1）解：对于多项式 ，利用二项式定理可得其通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
（2）解：因为由的结论可知，令，解得.
所以含项的系数为.
（3）解：根据题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
【知识点】二项展开式；二项展开式的通项
【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令时的指数为，即可得出结果；
将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果；
令通项中的指数为整数，求出结果即可.
（1）解：通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
（2）解：由可知，令，解得.
所以含项的系数为.
（3）解：由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，.
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由，
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增.
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）当时，求出，然后利用点斜式即可求出切线方程；
（2）分类讨论，当时、当时，的正负情况（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），再判断单调性，从而确定极值.
（1）函数的定义域为，.
当时，，，
因而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由，
①当时，，函数为上的增函数，函数无极值；
②当时，令，解得，
所以时，，在上的单调递减，
时，，在上的单调递增.
所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上所述，当时，函数无极值；
当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
20．【答案】解：因为(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
（1）a2＝(－4)9＝－49×10；
（2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，①
将t＝－1代入进去，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，②
故a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0；
（3）由（2）①+②得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【分析】令x－1＝t，展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
（1）结合展开式可得a2＝C(－4)9，即可求解；
（2）令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，两个式子相减即可得出答案；
（3）由（2）两式相加即可得解.
21．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
所以；
因为当时，满足上式，
所以；
（2）解：由（1）可得，∴
.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）根据递推公式判断出可以利用累乘法，结合已知条件，即可求得结果；
（2）利用裂项求和法，结合（1）中所求，即可求得结果.
（1）∵.
∴，
∴，
∴；
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）可得，
∴
.
22．【答案】解：（1）要证，需证明，
令，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
即对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以；
（2）要证，
只需证明，
只需证明，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，所以；
再令，则，
当时，，当时，，
知在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
因为与不同时为0，所以，
故原不等式成立．
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）对不等式进行变形，构造新的函数，对函数求导，利用导数判断的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），进而可得，即可证明结果；
（2）由于即，故分别构造函数和，利用导数求它们的最值，即可证明.
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