四川省遂宁市安居育才中学校（卓同教育集团）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·安居期中）已知复数，则的实部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】，故实部为.
故答案为：A
【分析】根据实部和虚部的定义（对于复数，其中是实数，是实数（是虚数单位)，即为该复数的实部）即可.
2．（2024高一下·安居期中）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动
B．是单位向量，则
C．
D．若，则
【答案】D
【知识点】单位向量；相等向量
【解析】【解答】解：因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故答案为：D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念（单位向量是指模等于1的向量，非零向量 则是指向量的模不为零的向量）对选项逐一判断，即可得到结果.
3．（2024高一下·安居期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，
位于第二象限.
故答案为：B
【分析】根据复数的几何意义进行判断即可.
4．（2024高一下·安居期中）将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到解析式的图象，
故答案为：D．
【分析】利用三角函数平移变换（沿x轴平移时，按照“左加右减”的规律）结论求解.
5．（2024高一下·安居期中）若向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，
因为，可得，解得，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】先由向量的共线的坐标公式，求得，结合向量的数量积的坐标运算（两个向量的对应坐标相乘再相加），即可求解.
6．（2024高一下·安居期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为等腰三角形画成直观图后，腰长不可能相等，所以直观图①②不正确，
图形③为的直观图，图形④为的直观图.
所以可能是的直观图的有：图形③④.
故答案为：B.
【分析】根据直观图的概念依次判断即可.
7．（2024高一下·安居期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆柱的母线与它的轴可以不平行
D．一个多面体至少有个面
【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：对于选项A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项A正确；
对于选项B，满足条件的几何体可能是组合体，故选项B错误；
对于选项C：圆柱的母线与它的轴平行，故选项C错误；
对于选项D，多面体至少有个面，所以选项D错误.
故答案为：A.
【分析】利用多面体和旋转体的几何特征逐一判断即可.
8．（2024高一下·安居期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，则，
所以，，
所以，.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
9．（2024高一下·安居期中）对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则为实数 D．
【答案】A,B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：对于选项A：当，，当时为实数，选项A错误；
对于选项B：若，则，选项B错误；
对于选项C：若，则为实数，选项C正确；
对于选项D：，选项D正确.
故答案为：AB.
【分析】根据复数的概念（复数是一种包含实部和虚部的数，其形式为，其中和是实数，是虚数单位）判断选项AC，根据复数相等判断选项B，根据虚数单位的定义判断选项D.
10．（2024高一下·安居期中）一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：当截面平行于正方体的一个侧面时可得截面的可能图形是C；
当截面过正方体的体对角线时可得截面的可能图形是 D；
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时， 可得截面的可能图形是 A；
但无论如何都不能截得图形B．
故答案为：ACD
【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况得到答案.
11．（2024高一下·安居期中） 在中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．周长的最大值为 D．面积的最大值12
【答案】A,C
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A、由正弦定理可得：即，所以，故A正确；
B、由余弦定理可得，即，解得，故B错误；
C、由余弦定理知，即，得，
因为，所以，所以.
由可得（当且仅当时取“”）.周长的最大值为.故C正确；
D、由余弦定理可得，得，得（当且仅当时取“”），
，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角形的面积公式和不等式逐项判断即可.
12．（2024高一下·安居期中）已知x、，若，则 ．
【答案】2
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由，
可得 ，解得，
所以.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合复数相等的判断方法得出x，y的值，进而得出x+y的值。
13．（2024高一下·安居期中）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ．
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图，所以，
又为正三角形，则，故，
所以.
故填：.
【分析】根据斜二测画法（在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图画成平行于y'轴，且长度为原来的二分之一）还原原图形，得出三角形的高，再由斜二测画法可得，即可由面积公式得解.
14．（2024高一下·安居期中）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ．
【答案】18
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为平行四边形中，，
所以，，
，，
故
.
故答案为：18
【分析】根据向量的运算法则（三角形法则）表达出，，利用数量积运算法则求出答案.三角形加法法则：，简记为：首尾相连，起点指向终点.
15．（2024高一下·安居期中）（1）已知函数．求函数的单调递减区间及其图象的对称中心；
（2）已知．①求的值；②求的值．
【答案】解：（1）令，解得，所以的单调递减区间为；
令，解得，所以图象的对称中心为；
（2）①因为，所以，即，分子分母同时除以，得，解得或，
因为，所以，
所以不符合题意，舍去，
所以，则，
所以；
②.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）整体换元，根据正弦函数的性质令，即可求得单调递增区间；令，即可求得对称中心；
（2）①根据二倍角公式得，利用同角三角函数关系式弦化切，即可求得；②根据正切两角和与差公式即可求解.
16．（2024高一下·安居期中）已知复数．
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，且是纯虚数，求．
【答案】（1）
（2）；
（3）设，
则，所以①
，
因为是纯虚数，所以②
由①②联立，解得 或
所以或．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数得模长公式求出结果即可；
（2）先将z代入，进而对进行变形，即可得到答案；
（3）先假设，根据题意列出方程组，化简即可得到结果.
17．（2024高一下·安居期中）已知，，．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直？
（3）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：依题意，，
所以.
（2）解：若与垂直，
则，
解得.
（3）解：因为，
设向量与的夹角为，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先由向量的数量积运算法则求得，然后通过平方的方法求得.
（2）根据向量垂直则数量积为0，列方程，化简求得的值.
（3）根据向量的夹角公式即可求解.
（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，
则，
解得.
（3），
设向量与的夹角为，
则.
18．（2024高一下·安居期中）（1）如图，已知正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的高．求此正三棱锥的体积和表面积
（2）如图所示，在四边形中，，为的中点，连接．
①将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
②将绕着线段所在直线旋转一周形成几何体，若球是几何体的内切球，求球的表面积．
【答案】解：（1）①在正三棱锥中，，
所以.
②连接延长交于E，连接，则E为的中点，如图所示，
所以，
在中，，
在中，，所以，
所以，
则表面积为：．
（2）①依题意，，，所以四边形是直角梯形，
.
将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示，
几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱.
表面积为，
体积为.
②将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，是圆锥，如图所示，
设的内切圆半径，也即圆锥W的内切球的半径为，
，
则，
解得，所以内切球的表面积为.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）①由题意分别计算出三棱锥的底面积和三棱锥的高，再根据棱锥的体积计算公式即可计算出三棱锥的体积；②连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．
（2）①先判断封闭几何体的结构特征，接着计算出该几何体的表面积和体积；②先求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积.
19．（2024高一下·安居期中）如图，在中，为内一点，为上一点，，且.
（1）若，求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以为的中点，
又，
所以为直角三角形，
在 Rt 中，，
所以，
因为
所以.
因为，
所以在 中， 由余弦定理得，
即，
所以
（2）解：设， 可得，
在 Rt 中，，
在 中， 由正弦定理得，
即，
所以，
化简得，
所以， 因此，
所以 的面积.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）Rt 中利用三角函数的定义， 求出，再在 中算出， 利用余弦定理， 即可得出答案；
（2）设， 在 中根据正弦定理建立关于 的等式， 解出，利用余弦定理，即可得出答案.
（1）因为，所以，
所以，所以为的中点，
又，
所以为直角三角形，
在 Rt 中，，
，
.
，
在 中， 由余弦定理得，
即，
（2）设， 可得，
在 Rt 中，，
在 中， 由正弦定理得，
即，
，
化简得，
， 因此，
所以 的面积.
1 / 1四川省遂宁市安居育才中学校（卓同教育集团）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
1．（2024高一下·安居期中）已知复数，则的实部是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·安居期中）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动
B．是单位向量，则
C．
D．若，则
3．（2024高一下·安居期中）设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2024高一下·安居期中）将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·安居期中）若向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·安居期中）如图，已知等腰三角形，则如图所示①②③④的四个图中，可能是的直观图的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024高一下·安居期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆柱的母线与它的轴可以不平行
D．一个多面体至少有个面
8．（2024高一下·安居期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·安居期中）对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则为实数 D．
10．（2024高一下·安居期中）一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·安居期中） 在中，角A，B，C的边分别为a，b，c，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．周长的最大值为 D．面积的最大值12
12．（2024高一下·安居期中）已知x、，若，则 ．
13．（2024高一下·安居期中）如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为 ．
14．（2024高一下·安居期中）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则= ．
15．（2024高一下·安居期中）（1）已知函数．求函数的单调递减区间及其图象的对称中心；
（2）已知．①求的值；②求的值．
16．（2024高一下·安居期中）已知复数．
（1）求；
（2）若，求；
（3）若，且是纯虚数，求．
17．（2024高一下·安居期中）已知，，．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直？
（3）求向量与的夹角的余弦值．
18．（2024高一下·安居期中）（1）如图，已知正三棱锥的底面边长为2，正三棱锥的高．求此正三棱锥的体积和表面积
（2）如图所示，在四边形中，，为的中点，连接．
①将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积和体积；
②将绕着线段所在直线旋转一周形成几何体，若球是几何体的内切球，求球的表面积．
19．（2024高一下·安居期中）如图，在中，为内一点，为上一点，，且.
（1）若，求；
（2）若，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】，故实部为.
故答案为：A
【分析】根据实部和虚部的定义（对于复数，其中是实数，是实数（是虚数单位)，即为该复数的实部）即可.
2．【答案】D
【知识点】单位向量；相等向量
【解析】【解答】解：因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故答案为：D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念（单位向量是指模等于1的向量，非零向量 则是指向量的模不为零的向量）对选项逐一判断，即可得到结果.
3．【答案】B
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，
位于第二象限.
故答案为：B
【分析】根据复数的几何意义进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到解析式的图象，
故答案为：D．
【分析】利用三角函数平移变换（沿x轴平移时，按照“左加右减”的规律）结论求解.
5．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，
因为，可得，解得，即，
所以.
故答案为：A.
【分析】先由向量的共线的坐标公式，求得，结合向量的数量积的坐标运算（两个向量的对应坐标相乘再相加），即可求解.
6．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：因为等腰三角形画成直观图后，腰长不可能相等，所以直观图①②不正确，
图形③为的直观图，图形④为的直观图.
所以可能是的直观图的有：图形③④.
故答案为：B.
【分析】根据直观图的概念依次判断即可.
7．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：对于选项A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项A正确；
对于选项B，满足条件的几何体可能是组合体，故选项B错误；
对于选项C：圆柱的母线与它的轴平行，故选项C错误；
对于选项D，多面体至少有个面，所以选项D错误.
故答案为：A.
【分析】利用多面体和旋转体的几何特征逐一判断即可.
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，则，
所以，，
所以，.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
9．【答案】A,B
【知识点】虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：对于选项A：当，，当时为实数，选项A错误；
对于选项B：若，则，选项B错误；
对于选项C：若，则为实数，选项C正确；
对于选项D：，选项D正确.
故答案为：AB.
【分析】根据复数的概念（复数是一种包含实部和虚部的数，其形式为，其中和是实数，是虚数单位）判断选项AC，根据复数相等判断选项B，根据虚数单位的定义判断选项D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：当截面平行于正方体的一个侧面时可得截面的可能图形是C；
当截面过正方体的体对角线时可得截面的可能图形是 D；
当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时， 可得截面的可能图形是 A；
但无论如何都不能截得图形B．
故答案为：ACD
【分析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线三种情况得到答案.
11．【答案】A,C
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：A、由正弦定理可得：即，所以，故A正确；
B、由余弦定理可得，即，解得，故B错误；
C、由余弦定理知，即，得，
因为，所以，所以.
由可得（当且仅当时取“”）.周长的最大值为.故C正确；
D、由余弦定理可得，得，得（当且仅当时取“”），
，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用正弦定理和余弦定理结合三角形的面积公式和不等式逐项判断即可.
12．【答案】2
【知识点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】由，
可得 ，解得，
所以.
故答案为：2.
【分析】利用已知条件结合复数相等的判断方法得出x，y的值，进而得出x+y的值。
13．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图，所以，
又为正三角形，则，故，
所以.
故填：.
【分析】根据斜二测画法（在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图画成平行于y'轴，且长度为原来的二分之一）还原原图形，得出三角形的高，再由斜二测画法可得，即可由面积公式得解.
14．【答案】18
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为平行四边形中，，
所以，，
，，
故
.
故答案为：18
【分析】根据向量的运算法则（三角形法则）表达出，，利用数量积运算法则求出答案.三角形加法法则：，简记为：首尾相连，起点指向终点.
15．【答案】解：（1）令，解得，所以的单调递减区间为；
令，解得，所以图象的对称中心为；
（2）①因为，所以，即，分子分母同时除以，得，解得或，
因为，所以，
所以不符合题意，舍去，
所以，则，
所以；
②.
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）整体换元，根据正弦函数的性质令，即可求得单调递增区间；令，即可求得对称中心；
（2）①根据二倍角公式得，利用同角三角函数关系式弦化切，即可求得；②根据正切两角和与差公式即可求解.
16．【答案】（1）
（2）；
（3）设，
则，所以①
，
因为是纯虚数，所以②
由①②联立，解得 或
所以或．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据复数得模长公式求出结果即可；
（2）先将z代入，进而对进行变形，即可得到答案；
（3）先假设，根据题意列出方程组，化简即可得到结果.
17．【答案】（1）解：依题意，，
所以.
（2）解：若与垂直，
则，
解得.
（3）解：因为，
设向量与的夹角为，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）先由向量的数量积运算法则求得，然后通过平方的方法求得.
（2）根据向量垂直则数量积为0，列方程，化简求得的值.
（3）根据向量的夹角公式即可求解.
（1）依题意，，
所以.
（2）若与垂直，
则，
解得.
（3），
设向量与的夹角为，
则.
18．【答案】解：（1）①在正三棱锥中，，
所以.
②连接延长交于E，连接，则E为的中点，如图所示，
所以，
在中，，
在中，，所以，
所以，
则表面积为：．
（2）①依题意，，，所以四边形是直角梯形，
.
将四边形绕着线段所在的直线旋转一周，所得几何体如图所示，
几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱.
表面积为，
体积为.
②将绕着线段AE所在直线旋转一周形成几何体W，是圆锥，如图所示，
设的内切圆半径，也即圆锥W的内切球的半径为，
，
则，
解得，所以内切球的表面积为.
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）①由题意分别计算出三棱锥的底面积和三棱锥的高，再根据棱锥的体积计算公式即可计算出三棱锥的体积；②连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．
（2）①先判断封闭几何体的结构特征，接着计算出该几何体的表面积和体积；②先求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，所以为的中点，
又，
所以为直角三角形，
在 Rt 中，，
所以，
因为
所以.
因为，
所以在 中， 由余弦定理得，
即，
所以
（2）解：设， 可得，
在 Rt 中，，
在 中， 由正弦定理得，
即，
所以，
化简得，
所以， 因此，
所以 的面积.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）Rt 中利用三角函数的定义， 求出，再在 中算出， 利用余弦定理， 即可得出答案；
（2）设， 在 中根据正弦定理建立关于 的等式， 解出，利用余弦定理，即可得出答案.
（1）因为，所以，
所以，所以为的中点，
又，
所以为直角三角形，
在 Rt 中，，
，
.
，
在 中， 由余弦定理得，
即，
（2）设， 可得，
在 Rt 中，，
在 中， 由正弦定理得，
即，
，
化简得，
， 因此，
所以 的面积.
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