贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2024高二下·黔西南月考）已知某质点运动的方程是，当t由1变到2时，其路程的增量等于（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：因为某质点运动的方程是
所以 当t由1变到2时，其路程的增量.
故答案为：B
【分析】根据的定义计算即可.
2．（2024高二下·黔西南月考）设在处可导，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为在处可导，
所以根据导数的定义可得.
故答案为：C
【分析】根据导数的定义判断即可.
3．（2024高二下·黔西南月考）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】因为
所以
所以
故答案为：B
【分析】根据导数的四则运算法则计算即可求解.
4．（2024高二下·黔西南月考）曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线的斜率为，则倾斜角为.
故答案为：C
【分析】根据导数的几何意义（导数描述了函数图象在某一点附近的变化率，即该点处切线的斜率）进行求解，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而得到倾斜角.
5．（2024高二下·黔西南月考）已知函数的导数为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由得，
将求代入进去，有，解得，所以，.
故答案为：B
【分析】对函数求导，将求代入进去，计算出，进而得到原函数的解析式，再将带入原函数即可求解.
6．（2024高二下·黔西南月考）已知函数在点处的切线方程为，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 解： 当x=2时，2×2+y-1=0得y=-3，故f(2)=-3，注意到切线的斜率为-2，故f'(2)=-2，故-5，故选A.
【分析】根据切线与导数的关系可得f'(2)=-2，切点横坐标代入切线方程可得纵坐标即得f(2)=-3.
7．（2024高二下·黔西南月考）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为当时，函数取得最大值-2，
所以，即，则，定义域为，
又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为， 所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据可计算出，再利用在处取得最大值，可得，进而得到.
8．（2024高二下·黔西南月考）已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意，与图象有三个交点，
当时，，则，
∴在上，递增，在上，递减，
∴时，有最大值，且在上，在上.
当时，单调递增，
∴图象如下
∴由图知：要使函数有三个零点，则.
故答案为：C.
【分析】 当x> 0时，求导，根据导数的符号求出函数的单调性，画出函数的图像，函数g(x)= f(x)- k有三个零点，等价于函数y= f(x)与y= k有三个交点，结合函数f (x)的图像，数形结合即可求出k的取值范围.
9．（2024高二下·黔西南月考）下列求导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A：，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：，故选项D正确.
故答案为：AD
【分析】根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误.
10．（2024高二下·黔西南月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在上的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
【答案】A,B,D
【知识点】平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：对于选项A，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，故选项A正确；
对于选项B，称为函数在到之间的平均变化率，故选项B正确；
由导数的定义知函数在处的导数记为，故选项C错误，选项D正确.
故答案为：ABD
【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.
11．（2024高二下·黔西南月考）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间是
B．函数的单调递增区间是，
C．处是函数的极值点
D．时，函数的导函数小于0
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误；
对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确；
对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点，
是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误；
对于D项，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）即可解决.
12．（2024高二下·黔西南月考）若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意得，
由函数的图象在点处的切线平行于轴，
可得，得，
故答案为：-2
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义（导数描述了函数图象在某一点附近的变化率，即该点处切线的斜率），即可求得答案.
13．（2024高二下·黔西南月考）设函数，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，
令，则，解得；
令，则，解得．
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
∴的最大值为，的最小值为．
故答案为：，0.
【分析】利用导数求出在上的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），从而可求最值.
14．（2024高二下·黔西南月考）一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时， ．
【答案】60
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
故答案为：60
【分析】根据，利用导数正负与函数单调性的关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）求解.
15．（2024高二下·黔西南月考）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）解：因为，
所以.
（3）解：因为，
所以
.
（4）解：因为，
所以.
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【分析】根据复合函数导数以及导数运算法则求得函数的导数.
（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以.
（3）因为，
所以
.
（4）因为，
所以.
16．（2024高二下·黔西南月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】（1）解：由题意，函数的导数为，所以，
即曲线在点处的切线斜率为4，且切点为，
所以切线方程为，即为；
（2）解：设切点为，可得切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过原点，可得，解得，
即切点为，
所以切线方程为，即．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义（导数描述了函数图象在某一点附近的变化率，即该点处切线的斜率）求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）设切点为，得到切线的斜率，再由切线过点，求出的值，即可求出切点坐标与切线方程；
（1）由题意，函数的导数为，所以，
即曲线在点处的切线斜率为4，且切点为，
所以切线方程为，即为；
（2）设切点为，可得切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过原点，可得，解得，
即切点为，
所以切线方程为，即．
17．（2024高二下·黔西南月考）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）解：，则，
由题意可得，解得；
（2）解：由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值.
18．（2024高二下·黔西南月考）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上的最小值是，求a的值.
【答案】解：（1）函数的定义域为，
且，
当时，，即函数在定义域上为增函数，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由（1）知，，
①若，则，即在上恒成立，
此时在上为增函数，
在上的最小值为，
，
（舍去）
②若，则，即在上恒成立，
此时在上为减函数，
，（舍去）.
③若，令，得.
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数，
，
综上可知：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）确定函数的定义域，根据可得在定义域上的单调性；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数在上的单调性利用在上的最小值为即可求的值，如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减.
19．（2024高二下·黔西南月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，∴，令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）证明：设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果；
（2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性(如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减)，即可得证.
（1），∴，
令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
1 / 1贵州省黔西南州金成实验学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
1．（2024高二下·黔西南月考）已知某质点运动的方程是，当t由1变到2时，其路程的增量等于（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024高二下·黔西南月考）设在处可导，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024高二下·黔西南月考）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·黔西南月考）曲线在处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·黔西南月考）已知函数的导数为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2024高二下·黔西南月考）已知函数在点处的切线方程为，则( )
A． B． C． D．
7．（2024高二下·黔西南月考）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
8．（2024高二下·黔西南月考）已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·黔西南月考）下列求导数运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·黔西南月考）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在上的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
11．（2024高二下·黔西南月考）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的单调递减区间是
B．函数的单调递增区间是，
C．处是函数的极值点
D．时，函数的导函数小于0
12．（2024高二下·黔西南月考）若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 .
13．（2024高二下·黔西南月考）设函数，则的最大值为 ，最小值为 ．
14．（2024高二下·黔西南月考）一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时， ．
15．（2024高二下·黔西南月考）求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
16．（2024高二下·黔西南月考）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）若直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
17．（2024高二下·黔西南月考）已知函数在点处的切线与直线垂直．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
18．（2024高二下·黔西南月考）已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在上的最小值是，求a的值.
19．（2024高二下·黔西南月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：因为某质点运动的方程是
所以 当t由1变到2时，其路程的增量.
故答案为：B
【分析】根据的定义计算即可.
2．【答案】C
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解：因为在处可导，
所以根据导数的定义可得.
故答案为：C
【分析】根据导数的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】因为
所以
所以
故答案为：B
【分析】根据导数的四则运算法则计算即可求解.
4．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，
所以曲线在处的切线的斜率为，则倾斜角为.
故答案为：C
【分析】根据导数的几何意义（导数描述了函数图象在某一点附近的变化率，即该点处切线的斜率）进行求解，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而得到倾斜角.
5．【答案】B
【知识点】导数的四则运算
【解析】【解答】解：由得，
将求代入进去，有，解得，所以，.
故答案为：B
【分析】对函数求导，将求代入进去，计算出，进而得到原函数的解析式，再将带入原函数即可求解.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 解： 当x=2时，2×2+y-1=0得y=-3，故f(2)=-3，注意到切线的斜率为-2，故f'(2)=-2，故-5，故选A.
【分析】根据切线与导数的关系可得f'(2)=-2，切点横坐标代入切线方程可得纵坐标即得f(2)=-3.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为当时，函数取得最大值-2，
所以，即，则，定义域为，
又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为， 所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据可计算出，再利用在处取得最大值，可得，进而得到.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由题意，与图象有三个交点，
当时，，则，
∴在上，递增，在上，递减，
∴时，有最大值，且在上，在上.
当时，单调递增，
∴图象如下
∴由图知：要使函数有三个零点，则.
故答案为：C.
【分析】 当x> 0时，求导，根据导数的符号求出函数的单调性，画出函数的图像，函数g(x)= f(x)- k有三个零点，等价于函数y= f(x)与y= k有三个交点，结合函数f (x)的图像，数形结合即可求出k的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A：，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C错误；
对于选项D：，故选项D正确.
故答案为：AD
【分析】根据基本初等函数的导函数，判断各选项的正误.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平均变化率；瞬时变化率
【解析】【解答】解：对于选项A，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，故选项A正确；
对于选项B，称为函数在到之间的平均变化率，故选项B正确；
由导数的定义知函数在处的导数记为，故选项C错误，选项D正确.
故答案为：ABD
【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误；
对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确；
对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点，
是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误；
对于D项，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】综合应用函数的单调性与导函数的关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）即可解决.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意得，
由函数的图象在点处的切线平行于轴，
可得，得，
故答案为：-2
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义（导数描述了函数图象在某一点附近的变化率，即该点处切线的斜率），即可求得答案.
13．【答案】；
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，
令，则，解得；
令，则，解得．
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，
∴的最大值为，的最小值为．
故答案为：，0.
【分析】利用导数求出在上的单调性（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减），从而可求最值.
14．【答案】60
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
故答案为：60
【分析】根据，利用导数正负与函数单调性的关系（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）求解.
15．【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）解：因为，
所以.
（3）解：因为，
所以
.
（4）解：因为，
所以.
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【分析】根据复合函数导数以及导数运算法则求得函数的导数.
（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以.
（3）因为，
所以
.
（4）因为，
所以.
16．【答案】（1）解：由题意，函数的导数为，所以，
即曲线在点处的切线斜率为4，且切点为，
所以切线方程为，即为；
（2）解：设切点为，可得切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过原点，可得，解得，
即切点为，
所以切线方程为，即．
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义（导数描述了函数图象在某一点附近的变化率，即该点处切线的斜率）求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）设切点为，得到切线的斜率，再由切线过点，求出的值，即可求出切点坐标与切线方程；
（1）由题意，函数的导数为，所以，
即曲线在点处的切线斜率为4，且切点为，
所以切线方程为，即为；
（2）设切点为，可得切线的斜率为，
所以切线方程为，
又切线过原点，可得，解得，
即切点为，
所以切线方程为，即．
17．【答案】（1）解：，则，
由题意可得，解得；
（2）解：由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】 (1) 求导，结合导数的几何意义列式求解；
(2) 求导，利用导数判断原函数的单调性和极值.
18．【答案】解：（1）函数的定义域为，
且，
当时，，即函数在定义域上为增函数，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由（1）知，，
①若，则，即在上恒成立，
此时在上为增函数，
在上的最小值为，
，
（舍去）
②若，则，即在上恒成立，
此时在上为减函数，
，（舍去）.
③若，令，得.
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数，
，
综上可知：
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）确定函数的定义域，根据可得在定义域上的单调性；
（2）求导函数，分类讨论，确定函数在上的单调性利用在上的最小值为即可求的值，如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减.
19．【答案】（1）解：，∴，令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）证明：设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导得出的递增区间和递减区间，即可得到结果；
（2）构造新函数，利用导数判断函数的单调性(如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减)，即可得证.
（1），∴，
令，解得，
所以当时，，
当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
有极小值且为，无极大值．
（2）设函数，
则，，
因为递增，递增，
可得在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，故，
即得证．
1 / 1
