新疆乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第十二师第二中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
1．（2024高三上·乌鲁木齐月考）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·乌鲁木齐月考）若点 在角 的终边上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·乌鲁木齐月考）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数没有极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数 ， ，若 ， ， 则a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·乌鲁木齐月考）若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．在上的值域为
11．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．2是的一个周期 D．
12．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为 .
13．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知，则的值为 ．
14．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是 .
15．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
（1）求的值；
（2）求在上的值域.
16．（2024高三上·乌鲁木齐月考）为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．
（1）求问题被回答正确的概率；
（2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望．
17．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1.
（1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值．
18．（2024高三上·乌鲁木齐月考）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
v 0 10 40 60
M 0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
19．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数，
（1）求函数的单调区间
（2）若函数的两个极值点分别为，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，由，解得，则集合，
所以.
故答案为：D．
【分析】求对数函数值域，解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集的定义求解即可．
2．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故选D．
【分析】由已知利用三角函数的定义，即可求出 的值.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为二次函数的图象开口向上，函数的对称轴为直线，
所以函数在上单调递增，可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
【分析】由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的定义，即可得到结果.
4．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：因为
可得当时，单调递减；
当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减，
不等式，可化为，即，
解得：，则原不等式的解集为：.
故答案为：A.
【分析】利用函数的单调性定义判断出分段函数在上的单调性，再将不等式转化为不等式，再由一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
导函数是一个图象开口向上的二次函数，
因为函数没有极值点，则，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【分析】求导，由函数没有极值点可得，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故 ．
故答案为：B．
【分析】求出 的导数，利用导数研究函数的单调性，结合对数运算性质可比较 ， ， 的大小，从而根据单调性即可得出a，b，c的大小关系．
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，则，
由于，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合，将化为，再利用基本不等式求最值的方法，进而可求出的最小值.
8．【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意，在上有两解，
即在上有两解，
令，故，
令，故在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
故选：C.
【分析】原问题等价于在上有两解，即直线与函数，的图象有两个不同的交点即可求解，求导可得在上单调递减，在上单调递增，，图像有交集可得
9．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，当，，时，则，故选项A不一定成立，所以选项A错误；
对于B，因为，则，所以，则选项B一定成立，故选项B正确；
对于C，因为，则，所以，则选项C一定成立，故选项C正确；
对于D，因为在上为单调递增函数，由，则，即，所以选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，从而可得不等式一定成立的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：对于A选项，设的最小正周期为，则，故，
因为，所以，故A正确；
对于B选项，由图象可知，，，
将代入解析式得，
故，故，
因为，所以，
故，
，故的图象不关于点中心对称，故B错误；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，，
故，故D错误.
故选：AC
【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而根据周期计算公式得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，
所以关于轴对称，即，所以为偶函数，故A正确；
对于B，因为，
令，可得，则，
因为为偶函数，所以，故B不正确；
对于C，由，
令，可得：，，2是不是的一个周期，故C不正确；
对于D，因为，，所以，
所以，则，即是以4为周期的周期函数，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，从而判断出选项A；利用已知条件和赋值法以及偶函数的性质，从而判断出选项B；利用函数的周期性判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】16
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形半径为r，圆心角为，弧长为
因为扇形的周长为，圆心角为2弧度，
所以扇形的周长为，所以，
所有扇形的面积为.
故填：16
【分析】由扇形的周长可求半径，然后由扇形的面积公式即得.
13．【答案】1
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以；
故填：1
【分析】根据三角恒等变换和同角三角函数关系式可对原式化简得，然后将分子分母同时除以，再将代入即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，当时，，当时.
所以当时，方程只有一个实数根.
当或时，方程有两个不同的实数根.
当时，方程有三个不同的实数根，分别为，，，又，
可知，
且，，所以，
所以，且.
记，，
则.
当时，，
当，，
当时，，
所以的极小值也是最小值，，
又当时，，，
所以的取值范围是.
故填：
【分析】首先根据分段函数的性质，先判断，再根据函数的性质可知，可知，再构造函数，，利用导数求函数的最值的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为，所以，则.
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为.
令，得，又，所以，所以.
（2）解：由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.
令，解得，所以 在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义（导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率），求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；
（2）由（1）和导数正负（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果.
（1）因为，所以，则.
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为.
令，得，又，所以，所以.
（2）由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.
令，解得，所以 在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为.
16．【答案】（1）解：设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件，由题意可知：，
由全概率公式可得
所以问题被回答正确的概率为．
（2）解：由题意可知：的可能取值有：，，，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望．
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先用字母表示出相关事件，再根据题意写出相关事件的概率，然后根据条件概率公式（），结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式（若与相互独立），结合数学期望的公式进行求解即可.
（1）设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件，
由题意可知：，
由全概率公式可得
所以问题被回答正确的概率为．
（2）由题意可知：的可能取值有：，，，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望．
17．【答案】解：（1）f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，又因为x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
（2）由（1）知f(x)＝sin＋1，
又因为f(α)＝，所以sin＝－，
因为α∈，所以2α－∈，
因为sin＝－＜0，
所以cos＝－＝－.
所以sin 2α＝sin＝sincos＋cossin＝－×＋×＝.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式化简三角函数解析式f(x)，再根据正弦函数的单调性建立不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得答案.
（2）由（1）求得sin＝－，再由角的范围求得cos，观察角之间的关系凑角sin 2α＝sin，再运用正弦的和角公式可得答案.
18．【答案】（1）解：根据指数函数的单调性可得函数是定义域上的减函数，
因为无意义，所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型，将表格中的对应数值代入可得：
由，得：，所以
（2）由题意，高速路上的耗电量
任取，当时，
所以函数在区间上是增函数，所以Wh
国道上的耗电量
所以Wh
所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
【知识点】二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；
（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可.
（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数
与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型.
由，得：，所以
（2）由题意，高速路上的耗电量
任取，当时，
所以函数在区间上是增函数，所以Wh
国道上的耗电量
所以Wh
所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
19．【答案】（1）解：因为函数，
所以函数的定义域为，则，
令方程，则．
所以当，即时，，则函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得，，
当时，，
当时，，
故当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
（2）证明：因为函数的两个极值点分别为，，由得，，
所以，要证，
即证，
不妨设，则只需要证，
设只需证．
令，其中，
则，
所以在上单调递增，所以，得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导得，利用一元二次方程根的判别式分类讨论的根的情况，可得的单调区间；
（2）求导根据题意可得方程在上有两个不同的实数解，可得解得，要证，需证，进而换元可证结论；
（1）函数的定义域为，，
令方程，则．
当，即时，，此时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得，，
当时，，
当时，，
故当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
（2）因为函数的两个极值点分别为，，由得，，
所以，要证，
即证，
不妨设，则只需要证，
设只需证．
令，其中，
则，
所以在上单调递增，所以，得证．
1 / 1新疆乌鲁木齐市新疆生产建设兵团第十二师第二中学2025届高三上学期第一次月考数学试题
1．（2024高三上·乌鲁木齐月考）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，由，解得，则集合，
所以.
故答案为：D．
【分析】求对数函数值域，解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集的定义求解即可．
2．（2024高三上·乌鲁木齐月考）若点 在角 的终边上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故选D．
【分析】由已知利用三角函数的定义，即可求出 的值.
3．（2024高三上·乌鲁木齐月考）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为二次函数的图象开口向上，函数的对称轴为直线，
所以函数在上单调递增，可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
【分析】由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的定义，即可得到结果.
4．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】解：因为
可得当时，单调递减；
当时，单调递减，且时函数连续，则在上单调递减，
不等式，可化为，即，
解得：，则原不等式的解集为：.
故答案为：A.
【分析】利用函数的单调性定义判断出分段函数在上的单调性，再将不等式转化为不等式，再由一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
5．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数没有极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数，所以，
导函数是一个图象开口向上的二次函数，
因为函数没有极值点，则，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
【分析】求导，由函数没有极值点可得，即可得出答案.
6．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数 ， ，若 ， ， 则a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故 ．
故答案为：B．
【分析】求出 的导数，利用导数研究函数的单调性，结合对数运算性质可比较 ， ， 的大小，从而根据单调性即可得出a，b，c的大小关系．
7．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，则，
由于，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合，将化为，再利用基本不等式求最值的方法，进而可求出的最小值.
8．（2024高三上·乌鲁木齐月考）若函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复合函数的单调性；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意，在上有两解，
即在上有两解，
令，故，
令，故在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
故选：C.
【分析】原问题等价于在上有两解，即直线与函数，的图象有两个不同的交点即可求解，求导可得在上单调递减，在上单调递增，，图像有交集可得
9．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，当，，时，则，故选项A不一定成立，所以选项A错误；
对于B，因为，则，所以，则选项B一定成立，故选项B正确；
对于C，因为，则，所以，则选项C一定成立，故选项C正确；
对于D，因为在上为单调递增函数，由，则，即，所以选项D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立，从而可得不等式一定成立的选项.
10．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．在上的值域为
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：对于A选项，设的最小正周期为，则，故，
因为，所以，故A正确；
对于B选项，由图象可知，，，
将代入解析式得，
故，故，
因为，所以，
故，
，故的图象不关于点中心对称，故B错误；
对于C选项，，故C正确；
对于D选项，，，
故，故D错误.
故选：AC
【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而根据周期计算公式得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域.
11．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．2是的一个周期 D．
【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：对于A，因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，
所以关于轴对称，即，所以为偶函数，故A正确；
对于B，因为，
令，可得，则，
因为为偶函数，所以，故B不正确；
对于C，由，
令，可得：，，2是不是的一个周期，故C不正确；
对于D，因为，，所以，
所以，则，即是以4为周期的周期函数，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，从而判断出选项A；利用已知条件和赋值法以及偶函数的性质，从而判断出选项B；利用函数的周期性判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则此扇形的面积为 .
【答案】16
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形半径为r，圆心角为，弧长为
因为扇形的周长为，圆心角为2弧度，
所以扇形的周长为，所以，
所有扇形的面积为.
故填：16
【分析】由扇形的周长可求半径，然后由扇形的面积公式即得.
13．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以；
故填：1
【分析】根据三角恒等变换和同角三角函数关系式可对原式化简得，然后将分子分母同时除以，再将代入即可得出答案.
14．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意得，当时，，当时.
所以当时，方程只有一个实数根.
当或时，方程有两个不同的实数根.
当时，方程有三个不同的实数根，分别为，，，又，
可知，
且，，所以，
所以，且.
记，，
则.
当时，，
当，，
当时，，
所以的极小值也是最小值，，
又当时，，，
所以的取值范围是.
故填：
【分析】首先根据分段函数的性质，先判断，再根据函数的性质可知，可知，再构造函数，，利用导数求函数的最值的取值范围.
15．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
（1）求的值；
（2）求在上的值域.
【答案】（1）解：因为，所以，则.
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为.
令，得，又，所以，所以.
（2）解：由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.
令，解得，所以 在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义（导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率），求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，求出切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果；
（2）由（1）和导数正负（如果导函数大于0， 则函数在该区间内单调递增； 如果导函数小于0， 则函数在该区间内单调递减）可得在上单调递增，在上单调递减，求出，，的值可得结果.
（1）因为，所以，则.
因为，所以切点坐标为，
所以的图象在点处的切线方程为.
令，得，又，所以，所以.
（2）由（1）可知，令，解得，所以在上单调递增.
令，解得，所以 在上单调递减，
又，，，
所以在上的值域为.
16．（2024高三上·乌鲁木齐月考）为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮在最后一轮比赛中，有，两道问题其中问题为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；问题为必答题，甲、乙两人都要回答已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响．
（1）求问题被回答正确的概率；
（2）记正确回答问题的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件，由题意可知：，
由全概率公式可得
所以问题被回答正确的概率为．
（2）解：由题意可知：的可能取值有：，，，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望．
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）先用字母表示出相关事件，再根据题意写出相关事件的概率，然后根据条件概率公式（），结合全概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件的概率公式（若与相互独立），结合数学期望的公式进行求解即可.
（1）设“甲抢到问题”为事件，“问题被回答正确”为事件，
由题意可知：，
由全概率公式可得
所以问题被回答正确的概率为．
（2）由题意可知：的可能取值有：，，，则有：
，
，
，
所以的分布列为
期望．
17．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1.
（1）求f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
（2）若f(α)＝，α∈，求sin 2α的值．
【答案】解：（1）f(x)＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin＋1，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，又因为x∈[0，π]，所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
（2）由（1）知f(x)＝sin＋1，
又因为f(α)＝，所以sin＝－，
因为α∈，所以2α－∈，
因为sin＝－＜0，
所以cos＝－＝－.
所以sin 2α＝sin＝sincos＋cossin＝－×＋×＝.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式化简三角函数解析式f(x)，再根据正弦函数的单调性建立不等式＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之可得答案.
（2）由（1）求得sin＝－，再由角的范围求得cos，观察角之间的关系凑角sin 2α＝sin，再运用正弦的和角公式可得答案.
18．（2024高三上·乌鲁木齐月考）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：
v 0 10 40 60
M 0 1325 4400 7200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
【答案】（1）解：根据指数函数的单调性可得函数是定义域上的减函数，
因为无意义，所以函数与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型，将表格中的对应数值代入可得：
由，得：，所以
（2）由题意，高速路上的耗电量
任取，当时，
所以函数在区间上是增函数，所以Wh
国道上的耗电量
所以Wh
所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
【知识点】二次函数模型
【解析】【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；
（2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可.
（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数
与不可能是符合表格中所列数据的函数模型，
故是可能符合表格中所列数据的函数模型.
由，得：，所以
（2）由题意，高速路上的耗电量
任取，当时，
所以函数在区间上是增函数，所以Wh
国道上的耗电量
所以Wh
所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh
19．（2024高三上·乌鲁木齐月考）已知函数，
（1）求函数的单调区间
（2）若函数的两个极值点分别为，，证明：．
【答案】（1）解：因为函数，
所以函数的定义域为，则，
令方程，则．
所以当，即时，，则函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得，，
当时，，
当时，，
故当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
（2）证明：因为函数的两个极值点分别为，，由得，，
所以，要证，
即证，
不妨设，则只需要证，
设只需证．
令，其中，
则，
所以在上单调递增，所以，得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导得，利用一元二次方程根的判别式分类讨论的根的情况，可得的单调区间；
（2）求导根据题意可得方程在上有两个不同的实数解，可得解得，要证，需证，进而换元可证结论；
（1）函数的定义域为，，
令方程，则．
当，即时，，此时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得，，
当时，，
当时，，
故当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为；
（2）因为函数的两个极值点分别为，，由得，，
所以，要证，
即证，
不妨设，则只需要证，
设只需证．
令，其中，
则，
所以在上单调递增，所以，得证．
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