广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷
1．（2024高三上·广东月考）设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
2．（2024高三上·广东月考）若，则复数z的虚部（ ）
A．4 B． C． D．
3．（2024高三上·广东月考）已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024高三上·广东月考）在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
5．（2024高三上·广东月考）已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·广东月考）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·广东月考）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
8．（2024高三上·广东月考）已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的周期为4
C．关于对称 D．在单调递减
9．（2024高三上·广东月考）已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ）
A．在是单调递增
B．是偶函数
C．的最大值是
D．是的对称中心
10．（2024高三上·广东月考）已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
11．（2024高三上·广东月考）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
12．（2024高三上·广东月考）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 .
13．（2024高三上·广东月考）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 .
14．（2024高三上·广东月考）已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为 ．
15．（2024高三上·广东月考）已知等差数列的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足为数列的前n项和，求的值.
16．（2024高三上·广东月考）古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
（1）若，，(图1)，求线段长度的最大值；
（2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
17．（2024高三上·广东月考）在中，把，，…，称为三项式系数.
（1）当时，写出三项式系数，，，，的值；
（2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；
（3）求的值（用组合数作答）.
18．（2024高三上·广东月考）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024高三上·广东月考）已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为且属于自然数集，所以可以取，
进而可得可取，
则，所以集合的真子集个数为.
故选：C.
【分析】根据集合对元素的要求，求得的所有可能取值，进而得到集合，即得其真子集个数.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：设，则，
，，解得或或
所以复数z的虚部为．
故选：C.
【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念（如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等）求解．
3．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，，则，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：A.
【分析】对已知条件的，，，利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求最值.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意可以为原点，为轴建立直角坐标系，如图所示：
设，，，，
则，，
因为，
则，
整理可得，，
可知动点的轨迹为抛物线.
故选：B
【分析】以为原点，为轴建立直角坐标系，设出，，，，根据已知条件和向量数量积的坐标运算公式（对应分量相乘再相加）即可整理得到答案.
5．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：在等差数列中，因为，根据等差数列前项和公式可得.
故选：D
【分析】根据等差数列前项和公式和等差数列性质计算即得.
6．【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆可得圆心，半径，
因为直线，恒过直线和的交点，
即，解得：，，即直线恒过定点，
因为，所以，定点在圆内，
设圆心到直线的距离为，则弦长，
当时，弦长最大，这时过的最长弦长为圆的直径，
当最大时，这时，
所以，弦长的最小值为，
所以，弦长的范围为.
故答案为：B.
【分析】由圆的一般方程可得圆心坐标及半径的值，再由直线的点斜式方程可得直线恒过定点，再代入弦长公式可得当最小时弦长最大，当最大时弦长最小，从而求出的最大值和最小值，进而求出弦长的最小最大值.
7．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：由得，
因为，，所以事件与相互独立，
无法判断事件与是否互斥.
故选：C.
【分析】由条件概率计算公式得到，由得到事件与相互独立，再根据互斥事件的定义（互斥事件指的是两个事件不可能同时发生）和对立事件的定义进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：由，
可得，可设
因为，所以，则可取，即进行验证.
对于选项A：，故A不正确.
对于选项B：由，则其最小正周期为，故B不正确.
对于选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故D不正确.
对于选项C：，又，故此时为其一条对称轴.此时C正确，
故选：C
【分析】根据余弦函数的和、差角公式，结合已知条件，可设，先求出，再对选项进行逐一验证即可得出答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，
因为函数的最小正周期为，所以，则，
所以增区间由不等式，即，，
当时，A满足条件，故正确；
是偶函数，故B正确；
的最大值是2，故C是错的；
，，故D正确
故选：ABD.
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据三角函数的周期计算公式可计算出，再根据三角函数的性质判断选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】异面直线的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：已知如图所示：
正方体外接球的体积为.
设外接球的半径为，则，解得.
设正方体的棱长为，则.
对于选项，在平面中，点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧；同理，在平面ABCD和平面中，点的轨迹都是以为圆心，2为半径的圆弧.故点的轨迹的长度为.故错误；
对于选项B，利用异面直线的判定定理可以判断直线与是异面直线.故正确；
对于选项，在正方体中，有平面平面平面平面.故C正确；
对于选项，在正方体中，平面为定值.故D正确.
故选：BCD
【分析】根据正方体的几何特征可根据外接球的体积得棱长为2，即可由圆的周长求解A，根据异面直线的定义即可求解B，利用线面垂直的判定定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）即可求解C，利用等体积法即可求解D.
11．【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：对于选项A.由题意可知，，，
得，故A正确；
对于选项B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，
根据余弦定理，，
整理为，
而，故B错误；
对于选项C. 若，则，则，
则，
，
当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；
对于选项D.在椭圆中，
，
，
整理为，
在双曲线中，，
整理为，
所以，即，
而，则，故D正确.
故选：AD
【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；B.应用余弦定理，正确表示离心率，即可判断；C.根据勾股定理，并表示离心率，最后应用基本不等式(两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数)，即可判断；D.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断.
12．【答案】8
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设，则，作轴于点E，
因为 ，所以 ，
所以在，，
所以 ，
又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ，
解得 或 舍去
所以线段MF的长为8.
故填：8
【分析】设出线段MF的长度，作轴于点E，再根据已知条件和锐角三角函数的定义可得M的坐标，最后代入抛物线即可求解.
13．【答案】0.8
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯”
则，于是，
所以所求概率为.
故填：
【分析】根据给定条件利用字母表示相关事件，再写出相关事件的概率，然后利用条件概率公式列式计算即得.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：函数化为，则函数表示焦点在轴上的抛物线，易知焦点为，
则，，
故求到上一点的最小距离即可，
设，则，
记，则
由于函数在单调递增，且，
故当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
故，因此，故，
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为到上一点的最小距离即可，根据点点距离公式，得，利用导数求解最小值即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
因为，所以，
解得，
所以；
因此的通项公式为，
（2）解：由（1）可得；
所以，
因此数列的前n项和；
即可得.
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列定义（一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差）根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式；
（2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出.
（1）设等差数列的首项为，公差为，
由可得，
解得，
所以；
因此的通项公式为，
（2）由（1）可得；
所以，
因此数列的前n项和；
即可得.
16．【答案】（1）解：设，则，
因为两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积 ，所以，
即，解得，
当且仅当四点共圆时等号成立即，且此时，
所以线段长度的最大值为，
（2）解：由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
记，则上式，
于是四边形的面积为：
.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】根据“任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立”表示出边长的关系即可求出；
连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积．
（1）设，则，
由材料可知，，
即，解得，
当且仅当四点共圆时等号成立即，且此时，
所以线段长度的最大值为，
（2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
记，则上式，
于是四边形的面积为：
.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，，，，；
（2）解：因为，
，
，
，
，
所以三项式的（，）次系数的数阵表如下：
（3）解：因为
，
其中系数为，
而且
而二项式的通项（且），
由，可得，
所以系数为，
由代数式恒成立，
所以.
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开定理写出多项式的展开式，即可求解；
（2）写出（，）的展开式，即可得解；
（3）根据表示出系数，再利用，计算出系数，即可得解.
（1）因为，
所以，，，，；
（2）因为，
，
，
，
，
所以三项式的（，）次系数的数阵表如下：
（3）
，
其中系数为，
又
而二项式的通项（且），
由，解得，
所以系数为，
由代数式恒成立，
所以.
18．【答案】（1）解：在中，，所以，
因为在直角梯形中，，，，
所以，所以四边形为正方形，所以，，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
设点到平面的距离为，由题意得，
则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为；
（2）解：过作交于点，如图所示：
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
作交于点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
则，所以，
所以，
连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，
所以，设，
由，得，得，
因为，所以，解得，
因为底面，底面，所以
所以，所以，即，
所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）连接，由题意和线面平行的判定定理（如果存在平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行）可得平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，然后结合求解即可；
（2）过作交于点，则底面，作交于点，连接，则，即为二面角的平面角，然后求解即可.
（1）在中，，所以，
因为在直角梯形中，，，，
所以，所以四边形为正方形，
所以，，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
设点到平面的距离为，由题意得，
则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为；
（2）过作交于点，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
作交于点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
则，所以，
所以，
连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，
所以，设，
由，得，得，
因为，所以，解得，
因为底面，底面，所以
所以，所以，即，
所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时.
19．【答案】（1）解：因为是面积为的等边三角形，所以，
所以所以椭圆的方程为，所以离心率.
（2）解：已知如图所示：
因为双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程可得：，即，
所以.
（3）解：由题易知，则联立直线方程和抛物线方程可得，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程，再利用离心率公式即可；
（2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可；
（3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可.
（1）是面积为的等边三角形，，
椭圆的方程为，离心率.
（2）由题意得双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程解得：，即，
.
（3）由题易知，则联立，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
1 / 1广东省部分学校2025届高三上学期第一次月考联合测评数学试卷
1．（2024高三上·广东月考）设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：因为且属于自然数集，所以可以取，
进而可得可取，
则，所以集合的真子集个数为.
故选：C.
【分析】根据集合对元素的要求，求得的所有可能取值，进而得到集合，即得其真子集个数.
2．（2024高三上·广东月考）若，则复数z的虚部（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【解答】解：设，则，
，，解得或或
所以复数z的虚部为．
故选：C.
【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，然后利用复数相等的概念（如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等）求解．
3．（2024高三上·广东月考）已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，，，则，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：A.
【分析】对已知条件的，，，利用基本不等式（两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数）求最值.
4．（2024高三上·广东月考）在平面内，设是直线的法向量，、为两个定点，，为一动点，若点满足：，则动点的轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意可以为原点，为轴建立直角坐标系，如图所示：
设，，，，
则，，
因为，
则，
整理可得，，
可知动点的轨迹为抛物线.
故选：B
【分析】以为原点，为轴建立直角坐标系，设出，，，，根据已知条件和向量数量积的坐标运算公式（对应分量相乘再相加）即可整理得到答案.
5．（2024高三上·广东月考）已知等差数列前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：在等差数列中，因为，根据等差数列前项和公式可得.
故选：D
【分析】根据等差数列前项和公式和等差数列性质计算即得.
6．（2024高三上·广东月考）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：圆可得圆心，半径，
因为直线，恒过直线和的交点，
即，解得：，，即直线恒过定点，
因为，所以，定点在圆内，
设圆心到直线的距离为，则弦长，
当时，弦长最大，这时过的最长弦长为圆的直径，
当最大时，这时，
所以，弦长的最小值为，
所以，弦长的范围为.
故答案为：B.
【分析】由圆的一般方程可得圆心坐标及半径的值，再由直线的点斜式方程可得直线恒过定点，再代入弦长公式可得当最小时弦长最大，当最大时弦长最小，从而求出的最大值和最小值，进而求出弦长的最小最大值.
7．（2024高三上·广东月考）若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥 B．事件与对立
C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件；条件概率
【解析】【解答】解：由得，
因为，，所以事件与相互独立，
无法判断事件与是否互斥.
故选：C.
【分析】由条件概率计算公式得到，由得到事件与相互独立，再根据互斥事件的定义（互斥事件指的是两个事件不可能同时发生）和对立事件的定义进行判断即可.
8．（2024高三上·广东月考）已知定义在上的函数满足：，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的周期为4
C．关于对称 D．在单调递减
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：由，
可得，可设
因为，所以，则可取，即进行验证.
对于选项A：，故A不正确.
对于选项B：由，则其最小正周期为，故B不正确.
对于选项D：由于为周期函数，则在不可能为单调函数. 故D不正确.
对于选项C：，又，故此时为其一条对称轴.此时C正确，
故选：C
【分析】根据余弦函数的和、差角公式，结合已知条件，可设，先求出，再对选项进行逐一验证即可得出答案.
9．（2024高三上·广东月考）已知的最小正周期是，下列说法正确的是（ ）
A．在是单调递增
B．是偶函数
C．的最大值是
D．是的对称中心
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为，
因为函数的最小正周期为，所以，则，
所以增区间由不等式，即，，
当时，A满足条件，故正确；
是偶函数，故B正确；
的最大值是2，故C是错的；
，，故D正确
故选：ABD.
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据三角函数的周期计算公式可计算出，再根据三角函数的性质判断选项.
10．（2024高三上·广东月考）已知正方体外接球的体积为是空间中的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若点在正方体表面上运动，且，则点轨迹的长度为
B．若是棱上的点（不包括点），则直线与是异面直线
C．若点在线段上运动，则始终有
D．若点在线段上运动，则三棱锥体积为定值
【答案】B,C,D
【知识点】异面直线的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：已知如图所示：
正方体外接球的体积为.
设外接球的半径为，则，解得.
设正方体的棱长为，则.
对于选项，在平面中，点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆弧；同理，在平面ABCD和平面中，点的轨迹都是以为圆心，2为半径的圆弧.故点的轨迹的长度为.故错误；
对于选项B，利用异面直线的判定定理可以判断直线与是异面直线.故正确；
对于选项，在正方体中，有平面平面平面平面.故C正确；
对于选项，在正方体中，平面为定值.故D正确.
故选：BCD
【分析】根据正方体的几何特征可根据外接球的体积得棱长为2，即可由圆的周长求解A，根据异面直线的定义即可求解B，利用线面垂直的判定定理（如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面）即可求解C，利用等体积法即可求解D.
11．（2024高三上·广东月考）如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则的最小值为2
D．
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义；余弦定理
【解析】【解答】解：对于选项A.由题意可知，，，
得，故A正确；
对于选项B.中，若，设椭圆和双曲线的半焦距为，
根据余弦定理，，
整理为，
而，故B错误；
对于选项C. 若，则，则，
则，
，
当时，等号成立，这与矛盾，所以，故C错误；
对于选项D.在椭圆中，
，
，
整理为，
在双曲线中，，
整理为，
所以，即，
而，则，故D正确.
故选：AD
【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；B.应用余弦定理，正确表示离心率，即可判断；C.根据勾股定理，并表示离心率，最后应用基本不等式(两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数)，即可判断；D.分别在椭圆和双曲线中，在焦点三角形中，应用余弦定理表示，建立等量关系，即可判断.
12．（2024高三上·广东月考）已知M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若，则线段MF的长为 .
【答案】8
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设，则，作轴于点E，
因为 ，所以 ，
所以在，，
所以 ，
又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ，
解得 或 舍去
所以线段MF的长为8.
故填：8
【分析】设出线段MF的长度，作轴于点E，再根据已知条件和锐角三角函数的定义可得M的坐标，最后代入抛物线即可求解.
13．（2024高三上·广东月考）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是 .
【答案】0.8
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯”
则，于是，
所以所求概率为.
故填：
【分析】根据给定条件利用字母表示相关事件，再写出相关事件的概率，然后利用条件概率公式列式计算即得.
14．（2024高三上·广东月考）已知点A是函数图象上的动点，点B是函数图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：函数化为，则函数表示焦点在轴上的抛物线，易知焦点为，
则，，
故求到上一点的最小距离即可，
设，则，
记，则
由于函数在单调递增，且，
故当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
故，因此，故，
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为到上一点的最小距离即可，根据点点距离公式，得，利用导数求解最小值即可.
15．（2024高三上·广东月考）已知等差数列的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足为数列的前n项和，求的值.
【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，
因为，所以，
解得，
所以；
因此的通项公式为，
（2）解：由（1）可得；
所以，
因此数列的前n项和；
即可得.
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列定义（一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差）根据题意可求得首项和公差，即可得出的通项公式；
（2）根据等差数列前项和公式可得，裂项可得，即可求出.
（1）设等差数列的首项为，公差为，
由可得，
解得，
所以；
因此的通项公式为，
（2）由（1）可得；
所以，
因此数列的前n项和；
即可得.
16．（2024高三上·广东月考）古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
（1）若，，(图1)，求线段长度的最大值；
（2）若，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
【答案】（1）解：设，则，
因为两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积 ，所以，
即，解得，
当且仅当四点共圆时等号成立即，且此时，
所以线段长度的最大值为，
（2）解：由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
记，则上式，
于是四边形的面积为：
.
【知识点】解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】根据“任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立”表示出边长的关系即可求出；
连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积．
（1）设，则，
由材料可知，，
即，解得，
当且仅当四点共圆时等号成立即，且此时，
所以线段长度的最大值为，
（2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大．
连接，分别在和利用余弦定理，
可得，
解得，，
所以
记，则上式，
于是四边形的面积为：
.
17．（2024高三上·广东月考）在中，把，，…，称为三项式系数.
（1）当时，写出三项式系数，，，，的值；
（2）的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表；
（3）求的值（用组合数作答）.
【答案】（1）解：因为，
所以，，，，；
（2）解：因为，
，
，
，
，
所以三项式的（，）次系数的数阵表如下：
（3）解：因为
，
其中系数为，
而且
而二项式的通项（且），
由，可得，
所以系数为，
由代数式恒成立，
所以.
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【分析】（1）根据二项展开定理写出多项式的展开式，即可求解；
（2）写出（，）的展开式，即可得解；
（3）根据表示出系数，再利用，计算出系数，即可得解.
（1）因为，
所以，，，，；
（2）因为，
，
，
，
，
所以三项式的（，）次系数的数阵表如下：
（3）
，
其中系数为，
又
而二项式的通项（且），
由，解得，
所以系数为，
由代数式恒成立，
所以.
18．（2024高三上·广东月考）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．
（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；
（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在中，，所以，
因为在直角梯形中，，，，
所以，所以四边形为正方形，所以，，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
设点到平面的距离为，由题意得，
则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为；
（2）解：过作交于点，如图所示：
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
作交于点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
则，所以，
所以，
连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，
所以，设，
由，得，得，
因为，所以，解得，
因为底面，底面，所以
所以，所以，即，
所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）连接，由题意和线面平行的判定定理（如果存在平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行）可得平面，则点到平面的距离与点到平面的距离相等，然后结合求解即可；
（2）过作交于点，则底面，作交于点，连接，则，即为二面角的平面角，然后求解即可.
（1）在中，，所以，
因为在直角梯形中，，，，
所以，所以四边形为正方形，
所以，，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
连接，因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，
设点到平面的距离为，由题意得，
则，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为；
（2）过作交于点，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以底面，
作交于点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，
所以，所以为二面角的平面角，
则，所以，
所以，
连接，交于点，因为四边形为正方形，所以，
所以，设，
由，得，得，
因为，所以，解得，
因为底面，底面，所以
所以，所以，即，
所以线段上存在一点．使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时.
19．（2024高三上·广东月考）已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
【答案】（1）解：因为是面积为的等边三角形，所以，
所以所以椭圆的方程为，所以离心率.
（2）解：已知如图所示：
因为双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程可得：，即，
所以.
（3）解：由题易知，则联立直线方程和抛物线方程可得，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的定义；双曲线的标准方程
【解析】【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程，再利用离心率公式即可；
（2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可；
（3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可.
（1）是面积为的等边三角形，，
椭圆的方程为，离心率.
（2）由题意得双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程解得：，即，
.
（3）由题易知，则联立，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
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