湖北省十堰市郧阳区第一中学2025届高三8月联合教学质量检测数学试卷
1．（2024高三上·郧阳月考）已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边上有一点的坐标为，
所以，
故选：D.
【分析】利用任意角的三角函数定义（角度对应的终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数）进行判断.
2．（2024高三上·郧阳月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据对数函数的定义域可得，所以，
所以，则，，
故选：D
【分析】由对数型函数的值域结合交集和并集的定义即可逐一判断选项.
3．（2024高三上·郧阳月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（ ）
A．30° B．45° C．30°或150° D．45°或135°
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，，
又，即，又因为，所以或，
故选：D．
【分析】先根据正弦定理和已知条件可得，再利用大边对大角即可求解．
4．（2024高三上·郧阳月考）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：A．
【分析】首先利用角的范围和同角三角函数关系，得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可．
5．（2024高三上·郧阳月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：B
【分析】根据诱导公式和二倍角公式即可得出答案.
6．（2024高三上·郧阳月考）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存 投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）
A．20 B．27 C．32 D．40
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：因为经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，
所以，解得，，
则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以.
故选：B
【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.
7．（2024高三上·郧阳月考）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设切点坐标为，因为，所以切线方程为，
又因为切线过点，所以，即，
设，则函数定义域是，因此直线与曲线有两个不同的交点，因为，
所以当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义（导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率）求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
8．（2024高三上·郧阳月考）已知在(0，π)上存在唯一实数x0使 又任意的，均有成立，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，其中，
因为任意的， 均有成立，所以成立，
所以的最大值为，所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为在上存在唯一实数使，
所以，所以，
所以.
故选：A.
【分析】根据两角和的正弦公式化简三角函数解析式，根据任意的，均有成立求出的最大值，求出参数，进而可得，求出的范围，根据在上存在唯一实数使求出实数的取值范围.
9．（2024高三上·郧阳月考）随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）
A．10月测试成绩为“优秀”的学生有40人
B．9月体育测试中学生的及格率为
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
【答案】C,D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：对于选项A，由图易知全体学生有人，
而10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有50人，故选项A错误；
对于选项B，9月体育测试中学生的及格及以上人数为人，占比为，即及格率为，故选项B错误；
对于选项C和D，由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长，11月比10月增长，显然选项C和选项D正确.
故选：CD
【分析】根据统计图逐一判断各个选项即可求解.
10．（2024高三上·郧阳月考）下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数的对应法则
【解析】【解答】解：对于选项A，因为一次函数中，，
所以函数值随的增大而减小，故A不是；
对于选项B，因为函数中，，因为函数值随的增大而增大，故选项B是；
对于选项C，因为函数的图象由函数的图象左移1个单位而得，
而当时，函数的函数值随的增大而增大，
因此当时，因为函数的函数值随的增大而增大，故选项C是；
对于选项D，因为当时，反比例函数的函数值随的增大而减小，故选项D不是.
故选：BC
【分析】利用一次函数、反比例函数的性质逐项判断即得.
11．（2024高三上·郧阳月考）如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（ ）
A．当点是的中点时，四边形是平行四边形
B．的值为常数
C．当时，
D．当时，
【答案】A,B,C
【知识点】三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于选项A．当点是的中点时，，，
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，故A正确；
对于选项B．连接，，如图所示：
因为，，，
所以，所以，
同理可证：，
所以，，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，故B正确；
对于选项C．当时，
所以，
所以，
所以，
，
，
，
，故C正确；
对于选项D．当时，如图所示：
，
，，
，
，
，故D错误，
故选：ABC．
【分析】根据平行四边形的判定即可求解A，根据三角形全等，即可求解B，根据三角形的边角关系，角平分线以及内角和关系即可求解CD.
12．（2024高三上·郧阳月考）设是一个随机试验中的两个事件，若，则 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：，将代入可得，
，将，代入，求得
故填：.
【分析】由条件概率和和事件的概率公式即可得出答案.
13．（2024高三上·郧阳月考）已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：因为
，
所以当时，，
由于函数在区间内恰有3个零点，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故填：
【分析】根据两角差的余弦公式将三角函数解析式化简，再根据正弦函数的性质可得，整体代入计算，即可求解.
14．（2024高三上·郧阳月考）已知函数，若，，且，则的最小值是
【答案】8
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故填：.
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数.
15．（2024高三上·郧阳月考）为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积与相应规划管理时间具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值：
，，，．
（1）求关于的经验回归方程；
（2）调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率．
参考公式：对于一组数据，， ，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
【答案】（1）解：因为
所以，
所以.
（2）解：家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立，
设不同意参与规划管理为事件A，设有女士不同意参与规划管理为事件B，
，
若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，设其中至少2家有女士不同意参与规划管理为事件C．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】(1)先根据题目提供的 一些统计量的值求出样本中心点，再利用最小二乘法计算即可得到回归方程；
(2)先应用条件概率求出概率，再应用n次独立重复实验求出概率即得.
（1），
所以.
（2）家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立，
设不同意参与规划管理为事件A，设有女士不同意参与规划管理为事件B，
，
若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，设其中至少2家有女士不同意参与规划管理为事件C．
16．（2024高三上·郧阳月考）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
月工资百元
男员工数 1 8 10 6 4 4
女员工数 4 2 5 4 1 1
（1）完成如图所示的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（2）估计该单位员工的月平均工资；
（3）若从月工资在和内的两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差超过1000元的概率.
【答案】（1）解：因为该单位总共500位员工，
所以根据频率计算公式可得
，
再根据各组长方形面积为频率，组距为10，求出各组高（从左到右）分别为：.
画出月工资频率分布直方图如图所示：
（2）解：，即该单位员工月平均工资估计为4300元.
（3）解：由题中频数分布表知，月工资在组的女员工有4人，分别记为，；月工资在组的女员工有2人，分别记为.现从这6人中随机选取2人，样本空间，共15个样本点.记“这2人月工资差超过1000元”为事件，
则，共8个样本点，
故所求概率.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）求出各个组的频率，最后得到各组长方形的高，最后画出频率分布直方图；
（2）根据平均值等于各个小矩形的面积乘以组中值之和即可求解；
（3）分层比得到抽取的人数后结合列举法解题即可．
（1）先求出各组的频率（从左到右）分别为：，
再根据各组长方形面积为频率，组距为10，求出各组高（从左到右）分别为：.
画出月工资频率分布直方图如图所示：
（2），即该单位员工月平均工资估计为4300元.
（3）由题中频数分布表知，月工资在组的女员工有4人，分别记为，；月工资在组的女员工有2人，分别记为.现从这6人中随机选取2人，样本空间
，共15个样本点.记“这2人月工资差超过1000元”为事件，
则，共8个样本点，
故所求概率.
17．（2024高三上·郧阳月考）已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间；
（3）求的极大值和极小值．
【答案】（1）解：由题意得：，
，又，
的图象在处的切线方程为，即.
（2）解：由（1）知：，
所以当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，.
（3）解：根据（2）可知，当为函数的极小值点，且，
当为函数的极大值点，且，
所以的极大值为，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；
（2）根据导函数的正负（导数值为正时，函数单调递增；导数值为负时，函数单调递减）即可确定所求的单调区间；
（3）根据（2）可求函数的极小值和极大值.
（1）由题意得：，
，又，
的图象在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，.
（3）根据（2）可知，当为函数的极小值点，且，
当为函数的极大值点，且，
所以的极大值为，极小值为.
18．（2024高三上·郧阳月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
【答案】（1）解：函数的定义域为，求导可得，
①当时，在单调递减；
②当时，当；当；
当，所以在单调递减，在单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增，单调递减；
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：（ⅰ）由（1）可知：；
（ⅱ）由（1）可知，函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又因为，所以，则，
则，
又因为，所以在上没有零点，
又，则，则，，则，
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求其导函数，最后分、、三种情况讨论求出函数的单调区间即可；
（2）（ⅰ）由（1）直接可得a的范围；
（ⅱ）由（1）的结论，结合函数的最值、零点存在性定理证明即可.
19．（2024高三上·郧阳月考）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
（1）若，求数列的“点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为若数列存在“点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．
【答案】（1）因为，，，，，
所以数列的“点”为，．
（2）依题意，，
因为数列存在“点”，所以存在，使得，
所以，即．
因为，所以，所以．
又当时，取最大值，所以，又，所以．
当时，有，所以数列存在“点”，
则的取值范围为
（3）若，则数列不存在“点”，即．
由得，，所以
若存在，使得下证数列有“点”．
证明：若，则是数列的“点”
若，因为存在，使得，
所以设数列中第个小于的项为，则，
所以是数列的第个“点”．
综上，数列存在“点”．
不妨设数列的“点”由小到大依次为，，，，，
则是，，，，，中第个小于的项，
故，
因为，所以，所以，
所以
所以
个．
所以
综上，，得证．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，等比数列的求和公式，累和法求数列的和.
（1）先利用数列的通项公式写出数列的各项，再根据数列的“点”定义可求出“点；
（2）先利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，据此可得不等式，解不等式可求出的取值范围，再对进行检验可求出得出答案；
（3）本题需要分两种情况：先证明若，则，结论成立；再证明若存在，使得，则数列存在“点”，再根据数列的“点”定义可得： 数列的 “点” 由小到大依次为，再通过放缩可得：，再进行求和可证明结论.
1 / 1湖北省十堰市郧阳区第一中学2025届高三8月联合教学质量检测数学试卷
1．（2024高三上·郧阳月考）已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·郧阳月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三上·郧阳月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（ ）
A．30° B．45° C．30°或150° D．45°或135°
4．（2024高三上·郧阳月考）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·郧阳月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·郧阳月考）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存 投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月.（参考数据：）
A．20 B．27 C．32 D．40
7．（2024高三上·郧阳月考）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·郧阳月考）已知在(0，π)上存在唯一实数x0使 又任意的，均有成立，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·郧阳月考）随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）
A．10月测试成绩为“优秀”的学生有40人
B．9月体育测试中学生的及格率为
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
10．（2024高三上·郧阳月考）下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·郧阳月考）如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（ ）
A．当点是的中点时，四边形是平行四边形
B．的值为常数
C．当时，
D．当时，
12．（2024高三上·郧阳月考）设是一个随机试验中的两个事件，若，则 ．
13．（2024高三上·郧阳月考）已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是 ．
14．（2024高三上·郧阳月考）已知函数，若，，且，则的最小值是
15．（2024高三上·郧阳月考）为促进农村经济发展，鼓励土地承包规划管理．已知土地的使用面积与相应规划管理时间具有线性相关关系，随机调查某村20户村民，经计算得到如下一些统计量的值：
，，，．
（1）求关于的经验回归方程；
（2）调查发现，家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立．只要有一方不同意参与规划管理，则该家庭就决定不参与规划管理．若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，求其中至少2家有女士不同意参与规划管理的概率．
参考公式：对于一组数据，， ，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
16．（2024高三上·郧阳月考）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：
月工资百元
男员工数 1 8 10 6 4 4
女员工数 4 2 5 4 1 1
（1）完成如图所示的月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（2）估计该单位员工的月平均工资；
（3）若从月工资在和内的两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差超过1000元的概率.
17．（2024高三上·郧阳月考）已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间；
（3）求的极大值和极小值．
18．（2024高三上·郧阳月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
19．（2024高三上·郧阳月考）设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
（1）若，求数列的“点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为若数列存在“点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角的终边上有一点的坐标为，
所以，
故选：D.
【分析】利用任意角的三角函数定义（角度对应的终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数）进行判断.
2．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据对数函数的定义域可得，所以，
所以，则，，
故选：D
【分析】由对数型函数的值域结合交集和并集的定义即可逐一判断选项.
3．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，，
又，即，又因为，所以或，
故选：D．
【分析】先根据正弦定理和已知条件可得，再利用大边对大角即可求解．
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
故选：A．
【分析】首先利用角的范围和同角三角函数关系，得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可．
5．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故选：B
【分析】根据诱导公式和二倍角公式即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：因为经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，
所以，解得，，
则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，
所以，所以，
所以.
故选：B
【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.
7．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：已知如图所示：
设切点坐标为，因为，所以切线方程为，
又因为切线过点，所以，即，
设，则函数定义域是，因此直线与曲线有两个不同的交点，因为，
所以当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义（导数的几何意义指的就是在曲线上点的切线的斜率）求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：，其中，
因为任意的， 均有成立，所以成立，
所以的最大值为，所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为在上存在唯一实数使，
所以，所以，
所以.
故选：A.
【分析】根据两角和的正弦公式化简三角函数解析式，根据任意的，均有成立求出的最大值，求出参数，进而可得，求出的范围，根据在上存在唯一实数使求出实数的取值范围.
9．【答案】C,D
【知识点】频率分布折线图、密度曲线
【解析】【解答】解：对于选项A，由图易知全体学生有人，
而10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有50人，故选项A错误；
对于选项B，9月体育测试中学生的及格及以上人数为人，占比为，即及格率为，故选项B错误；
对于选项C和D，由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长，11月比10月增长，显然选项C和选项D正确.
故选：CD
【分析】根据统计图逐一判断各个选项即可求解.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的对应法则
【解析】【解答】解：对于选项A，因为一次函数中，，
所以函数值随的增大而减小，故A不是；
对于选项B，因为函数中，，因为函数值随的增大而增大，故选项B是；
对于选项C，因为函数的图象由函数的图象左移1个单位而得，
而当时，函数的函数值随的增大而增大，
因此当时，因为函数的函数值随的增大而增大，故选项C是；
对于选项D，因为当时，反比例函数的函数值随的增大而减小，故选项D不是.
故选：BC
【分析】利用一次函数、反比例函数的性质逐项判断即得.
11．【答案】A,B,C
【知识点】三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于选项A．当点是的中点时，，，
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，故A正确；
对于选项B．连接，，如图所示：
因为，，，
所以，所以，
同理可证：，
所以，，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，故B正确；
对于选项C．当时，
所以，
所以，
所以，
，
，
，
，故C正确；
对于选项D．当时，如图所示：
，
，，
，
，
，故D错误，
故选：ABC．
【分析】根据平行四边形的判定即可求解A，根据三角形全等，即可求解B，根据三角形的边角关系，角平分线以及内角和关系即可求解CD.
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：，将代入可得，
，将，代入，求得
故填：.
【分析】由条件概率和和事件的概率公式即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：因为
，
所以当时，，
由于函数在区间内恰有3个零点，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故填：
【分析】根据两角差的余弦公式将三角函数解析式化简，再根据正弦函数的性质可得，整体代入计算，即可求解.
14．【答案】8
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故填：.
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
奇函数的定义：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数.
15．【答案】（1）解：因为
所以，
所以.
（2）解：家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立，
设不同意参与规划管理为事件A，设有女士不同意参与规划管理为事件B，
，
若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，设其中至少2家有女士不同意参与规划管理为事件C．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】(1)先根据题目提供的 一些统计量的值求出样本中心点，再利用最小二乘法计算即可得到回归方程；
(2)先应用条件概率求出概率，再应用n次独立重复实验求出概率即得.
（1），
所以.
（2）家庭中女士不同意参与规划管理的概率为0.3，男士不同意参与规划管理的概率为0.2，男女是否同意参与规划管理相互独立，
设不同意参与规划管理为事件A，设有女士不同意参与规划管理为事件B，
，
若在抽查中发现3家不同意参与规划管理，设其中至少2家有女士不同意参与规划管理为事件C．
16．【答案】（1）解：因为该单位总共500位员工，
所以根据频率计算公式可得
，
再根据各组长方形面积为频率，组距为10，求出各组高（从左到右）分别为：.
画出月工资频率分布直方图如图所示：
（2）解：，即该单位员工月平均工资估计为4300元.
（3）解：由题中频数分布表知，月工资在组的女员工有4人，分别记为，；月工资在组的女员工有2人，分别记为.现从这6人中随机选取2人，样本空间，共15个样本点.记“这2人月工资差超过1000元”为事件，
则，共8个样本点，
故所求概率.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）求出各个组的频率，最后得到各组长方形的高，最后画出频率分布直方图；
（2）根据平均值等于各个小矩形的面积乘以组中值之和即可求解；
（3）分层比得到抽取的人数后结合列举法解题即可．
（1）先求出各组的频率（从左到右）分别为：，
再根据各组长方形面积为频率，组距为10，求出各组高（从左到右）分别为：.
画出月工资频率分布直方图如图所示：
（2），即该单位员工月平均工资估计为4300元.
（3）由题中频数分布表知，月工资在组的女员工有4人，分别记为，；月工资在组的女员工有2人，分别记为.现从这6人中随机选取2人，样本空间
，共15个样本点.记“这2人月工资差超过1000元”为事件，
则，共8个样本点，
故所求概率.
17．【答案】（1）解：由题意得：，
，又，
的图象在处的切线方程为，即.
（2）解：由（1）知：，
所以当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，.
（3）解：根据（2）可知，当为函数的极小值点，且，
当为函数的极大值点，且，
所以的极大值为，极小值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程；
（2）根据导函数的正负（导数值为正时，函数单调递增；导数值为负时，函数单调递减）即可确定所求的单调区间；
（3）根据（2）可求函数的极小值和极大值.
（1）由题意得：，
，又，
的图象在处的切线方程为，即.
（2）由（1）知：，
当时，；当时，；
的单调递减区间为，.
（3）根据（2）可知，当为函数的极小值点，且，
当为函数的极大值点，且，
所以的极大值为，极小值为.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，求导可得，
①当时，在单调递减；
②当时，当；当；
当，所以在单调递减，在单调递增，在单调递减；
③当时，在单调递增，单调递减；
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：（ⅰ）由（1）可知：；
（ⅱ）由（1）可知，函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又因为，所以，则，
则，
又因为，所以在上没有零点，
又，则，则，，则，
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求其导函数，最后分、、三种情况讨论求出函数的单调区间即可；
（2）（ⅰ）由（1）直接可得a的范围；
（ⅱ）由（1）的结论，结合函数的最值、零点存在性定理证明即可.
19．【答案】（1）因为，，，，，
所以数列的“点”为，．
（2）依题意，，
因为数列存在“点”，所以存在，使得，
所以，即．
因为，所以，所以．
又当时，取最大值，所以，又，所以．
当时，有，所以数列存在“点”，
则的取值范围为
（3）若，则数列不存在“点”，即．
由得，，所以
若存在，使得下证数列有“点”．
证明：若，则是数列的“点”
若，因为存在，使得，
所以设数列中第个小于的项为，则，
所以是数列的第个“点”．
综上，数列存在“点”．
不妨设数列的“点”由小到大依次为，，，，，
则是，，，，，中第个小于的项，
故，
因为，所以，所以，
所以
所以
个．
所以
综上，，得证．
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】本题考查数列的通项公式，等比数列的求和公式，累和法求数列的和.
（1）先利用数列的通项公式写出数列的各项，再根据数列的“点”定义可求出“点；
（2）先利用等比数列求和公式求，由条件可得存在，使得，据此可得不等式，解不等式可求出的取值范围，再对进行检验可求出得出答案；
（3）本题需要分两种情况：先证明若，则，结论成立；再证明若存在，使得，则数列存在“点”，再根据数列的“点”定义可得： 数列的 “点” 由小到大依次为，再通过放缩可得：，再进行求和可证明结论.
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