鲁教五四学制:2024-2025年九年级第一学期上册数学3.6二次函数的应用(3)学案

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名称 鲁教五四学制:2024-2025年九年级第一学期上册数学3.6二次函数的应用(3)学案
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资源类型 试卷
版本资源 鲁教版
科目 数学
更新时间 2024-09-23 13:03:47

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2024-2025学年度九年级数学上册学案
3.6二次函数的应用(3)
【学习目标】
1.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,解决设计生活中的最值问题,了解数学的应用价值;
2.利用二次函数解决实际最值问题.
【知识梳理】
1.建立直角坐标系解决二次函数问题
(1)建立合适的 .(2)根据题意找出有关点的坐标.(3)列出含有未知参数的式子并解决问题.
【典型例题】
知识点一应用二次函数解决问题
1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-(x-4)2+3,由此可知铅球推出的距离是 m.
2.为促进经济发展,方便居民出行.某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道.抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m,宽度OM为12m.
(1)按如图所示的平面直角坐标系,求表示该抛物线的函数表达式;
(2)一货运汽车装载某大型设备后高为4m,宽为3.5m.如果该隧道内设双向行车道(正中间是一条宽1m的隔离带),那么这辆货车能否安全通过?
(3)施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A,D点在抛物线上.B,C点在地面OM线上(如图2所示).为了筹备材料,需求出“脚手架”三根支杆AB,AD,DC的长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.
【巩固训练】
1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x cm,当x=3时,
y=18,那么当成本为72元时,边长为 .
2.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y=x2(x>0).
若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度为 .
3.如图,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连接BC.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当△BCM的面积最大时,求△BPN的周长;
(
3题图
)(3)在(2)的条件下,当△BCM的面积最大时,在抛物线的对称轴上存在点Q,使得△CNQ为直角三角形,求点Q的坐标.
(
4
题图
)4.如图,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点,其中点A的坐标为(-3,0).
(1)求点B的坐标;(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.
①若点P在抛物线上,且S△POC=4S△BOC.求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,
求线段QD长度的最大值.
 
(
5
题图
)5.已知,如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ,当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标.
3.6二次函数的应用(3)
【典型例题】1.10
【巩固训练】1.A 2.C
3. 解:(1)当y=0时,即-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
∴点A、B、C的坐标分别是A(-1,0),B(3,0),C(0,3);
(2)设△BCM的面积为S,点M的坐标为(a,-a2+2a+3),
则OC=3,OB=3,ON=a,MN=-a2+2a+3,BN=3-a,
根据题意,得S△BCM=S四边形OCMN+S△MNB-S△COB
=(OC+MN)·ON+MN·NB-OC·OB
=[3+(-a2+2a+3)]a+(-a2+2a+3)(3-a)- ×3×3
=-a2+a=-(a-)2+,
∴当a=时,S△BCM有最大值,
此时,ON=a=,BN=3-a=,
∵OC=OB=3,∠COB=90°,
∴∠PBN=45°,
∴PN=BN=,
根据勾股定理,得PB==,
∴△BPN的周长=PN+BN+PB=++=3+;
(3)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1,与x轴交于点E(1,0),如解图,
设Q(1,y),根据勾股定理CN2=CO2+ON2=()2+32=,
过点Q作QD⊥y轴于点D,则D(0,y),利用勾股定理可得:
CQ2=CD2+DQ2=(y-3)2+12=y2-6y+10,
NQ2=QE2+EN2=y2+,
∵△CNQ为直角三角形,
∴有以下三种情况:
①当CN2+CQ2=NQ2,即∠NCQ=90°时,
+y2-6y+10=y2+,解得y=,
∴Q(1,);
②当CN2+NQ2=CQ2,即∠CNQ=90°时,
+y2+=y2-6y+10,解得y=-,
∴Q(1,-);
③当CQ2+NQ2=CN2,即∠CQN=90°时,
y2-6y+10+y2+=,解得y=,
∴Q(1,)或(1,).
综上所述,△CNQ为直角三角形时,
点Q的坐标为(1,)或(1,)或(1,-)或(1, ).
4.解:(1)∵点A(-3,0)与点B关于直线x=-1对称,
∴点B的坐标为(1,0);
(2)∵a=1,
∴y=x2+bx+c,
∵抛物线过点(-3,0),且对称轴为直线x=-1,
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=x2+2x-3,
∴点C的坐标为(0,-3)
①设点P的坐标为(x,y),由题意得
S△BOC=OB·OC=×1×3=,
∴S△POC=4S△BOC=4×=6.
当x>0时,S△POC=OC·x=×3×x=6,
∴x=4,
∴y=42+2×4-3=21;
当x<0时,S△POC=OC·(-x)=×3×(-x)=6,
∴x=-4,
∴y=(-4)2+2×(-4)-3=5,
∴点P的坐标为(4,21)或(-4,5);
②设点A、C所在直线的解析式为y=mx+n(m≠0),
把A(-3,0)、C(0,-3)代入得,
解得:
∴y=-x-3,
设点Q的坐标为(x,-x-3),其中-3≤x≤0,
∵QD⊥x轴,且点D在抛物线上,
∴点D的坐标为(x,x2+2x-3),
∴QD=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x=-(x+)2+
∵-3<-<0,
∴当x=-时,QD有最大值,
∴线段QD长度的最大值为
5.解:(1)∵抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于点C(0,4)且经过A(4,0),
可得,解得,
∴所求抛物线的解析式为y=-x2+x+4;
设点Q的坐标为(m,0),过点E作EG⊥x轴于点G
由-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=4,
(
4题图
)∴点B的坐标为(-2,0)
∴AB=6,BQ=m+2,
∵QE∥AC,
∴∠BQE=∠BAC,∠BEQ=∠BCA,
∴△BQE∽△BAC,
∴=,即=,
∴EG=,
∴S△CQE=S△CBQ-S△EBQ=BQ·CO-BQ·EG=(m+2)(4-)
=-m2+m+=-(m-1)2+3.
∵-2≤m≤4,
∴当m=1时,S△CQE有最大值3,此时Q(1,0)
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