广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高三上学期期前考试数学试题
1．（2024高三上·潮阳开学考）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·潮阳开学考）已知i为虚数单位,复数 满足 ,则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·潮阳开学考）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·潮阳开学考）若向量 ， ，且 ，则 =（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2024高三上·潮阳开学考）函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
6．（2024高三上·潮阳开学考）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
7．（2024高三上·潮阳开学考）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A．90 B．120 C．210 D．216
8．（2024高三上·潮阳开学考）已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高三上·潮阳开学考）设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，则下列结论正确的是（ ）
A．d＜0 B．a9＝0
C．S11＞S7 D．S8、S9均为Sn的最大值
10．（2024高三上·潮阳开学考）已知函数 则（ ）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
11．（2024高三上·潮阳开学考）如图，正方体中，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与平面所成的角为30°
12．（2024高三上·潮阳开学考）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为 .
13．（2024高三上·潮阳开学考）已知点是角终边上的一点，则 ．
14．（2024高三上·潮阳开学考）已知双曲线的方程为，右焦点为，若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为
15．（2024高三上·潮阳开学考）在中，，是边上的点，，，.
（1）求cos B与的面积；
（2）求边AC的长.
16．（2024高三上·潮阳开学考）已知数列的前项和为，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
17．（2024高三上·潮阳开学考）在四棱锥中，，，，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（2024高三上·潮阳开学考）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图如图．
（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
19．（2024高三上·潮阳开学考）已知椭圆：（）的离心率为，的长轴是圆：的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由M中不等式得 ，解得 ，即 ，
，
故答案为：B．
【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解:因为 ,
所以 ，
所以其共轭复数为 。
故答案为：C
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
3．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】由题，∵单调递增，则；
∵单调递减，则；
∵单调递增，则，
∴
故选：A
【分析】根据指数以及对数函数的单调性即可求解.
4．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】 根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长.
5．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】，易知函数单调递增，
，，，故函数在上有唯一零点.
故选：C.
【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.
6．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】大于3的数不一定大于π，但大于π的数一定大于3，不能推出，可以推出，
故选：D
【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解.
7．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，
所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有： 种站法；
第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有： 种站法；
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是 .
故答案为：C
【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由 且 得：
令 ，可知 在 上单调递增
在 上恒成立，即：
令 ，则
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增
，解得：
故答案为：A
【分析】 根据题意，设，x∈(0， +∞)，将变形可得，由单调性的定义分析可得函数 在 上单调递增，求出g (x)的导数，分析可得 在 上恒成立，令 ，求出函数h (x)的导数，进而分析可得h(x)在区间(0， +∞)的最小值，分析可得答案.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：∵S7＜S8，∴a8>0，
∵S8＝S9，∴a9＝0，
则a9-a8＝d＜0，
故选项A，B正确；
S11－S7＝
＝11a1＋55d－7a1－21d＝4a1+34d＜0，
∵a9＝a1+8d＝0，∴a1＝－8d
∴4a1+34d＝－32d+34d＝2d＜0
∴S11＜S7，故C错误．
易知数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案．
10．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
11．【答案】A,B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取中点，连接，则，
平面，平面，则，所以，
在正方形中，由（直角三角形的边长对应相等），得，所以，
所以，
，平面，所以平面，又平面，所以，A正确；
平面，而平面平面，所以平面，B正确；
若平面，平面，则，，则，这是不可能的，C错；
由线面角的定义知是与平面的成的角（平面），
在直线中，可得（其中为正方体棱长），，D错．
故选：AB．
【分析】取中点，证明平面后得线线垂直判断A，由面面平行的性质定理（两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ）判断B，由线面垂直的性质定义定理（如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与平面内的任意一条直线都垂直）判断C，求出线面角的正切值判断D．
12．【答案】9
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题意高二抽取的人数为．
故答案为：9.
【分析】由分层抽样的定义按比例计算.
13．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由题可知，
所以，
故答案为：.
【分析】根据角的终边经过某一点的正切值的诱导公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为双曲线的标准方程为，设双曲线的左焦点为
所以，则，
所以周长为
由双曲线的定义可得，即有.
当在左支上运动到共线时，取得最小值.
则有周长的最小值为.
故填：.
【分析】根据双曲线方程写出焦点坐标，利用两点之间的距离公式三角形的周长公式可得，利用双曲线的定义将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.
15．【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，∵，
∴，在中，由正弦定理得，
即.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得；
（2）借助正弦定理计算即可得.
（1）在中，由余弦定理得，
∵，∴，
∴；
（2）由（1）知，∵，∴，
在中，由正弦定理得，
即.
16．【答案】（1）解：由可知数列是以公差的等差数列，
又得，
解得，
故，
即.
（2）解：因为，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）等差数列的定义（如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差）可知数列是公差为2的等差数列，求出首项即可写出通项；
（2）先求出数列的通项，再用裂项求和的方法求前项和.
（1）由可知数列是以公差的等差数列，
又得，
解得，
故，
即.
（2）因为，
所以
.
17．【答案】（1）证明：∵点为的中点，则，∵，∴，
又即，∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，则平面.
（2）解：连接交于，连接，∵四边形为平行四边形，
∴为的中点，又，则，
∵平面平面，平面，面面，
∴平面，又平面，∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，∴，∵，
∴为直角三角形，即，
过点作的平行线，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图
可得，
∴，
设面的法向量为，则，
取得，∴
设与平面所成的角为，则
∴与平面所成的角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理（如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条平面外的直线与该平面平行）进行证明即可；
（2）根据面面垂直的性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面），结合线面垂直的性质可以建立空间直角坐标系，最后利用空间向量夹角公式进行求解即可.
（1）∵点为的中点，则，
∵，∴，
又即，∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，则平面.
（2）连接交于，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴为的中点，又，则，
∵平面平面，平面，面面，
∴平面，又平面，∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，∴，∵，
∴为直角三角形，即，
过点作的平行线，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图
可得，
∴，
设面的法向量为，则，
取得，∴
设与平面所成的角为，则
∴与平面所成的角的正弦值为
18．【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1，可计算出，众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相加即得；（Ⅱ）的可能取值为、、、，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，因此有，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望．
试题解析：（Ⅰ）由题意，得，
解得；
又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）
而个样本小球重量的平均值为：（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为
则.的可能取值为、、、，
，，
，.
的分布列为：
.（或者）
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质进行求解；
（2）用样本估计总体，根据二项分布的概率求解公式和数学期望公式进行求解.
19．【答案】解：（1）因为椭圆的长轴是圆：的直径，而且圆的直径为，
所以，解得.
因为，得，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可得焦点坐标.
①当过点的直线的斜率不存在时，，，
这时.
②当过点的直线的斜率为0时，，，
这时.
③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，.
由，整理可得.
，.
所以.
直线的方程为，坐标原点到的距离，
所以，
所以.
由，得，即.
综上所述，四边形的面积的最小值为2.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据的长轴是圆：的直径，可得a，再由离心率，求得b即可.
（2）由（1）可得，分过点的直线的斜率不存在，斜率为0，的直线的斜率存在且不为0时，分别求得弦长，，根据两直线垂直，由求解.
1 / 1广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高三上学期期前考试数学试题
1．（2024高三上·潮阳开学考）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由M中不等式得 ，解得 ，即 ，
，
故答案为：B．
【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．
2．（2024高三上·潮阳开学考）已知i为虚数单位,复数 满足 ,则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解:因为 ,
所以 ，
所以其共轭复数为 。
故答案为：C
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。
3．（2024高三上·潮阳开学考）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】由题，∵单调递增，则；
∵单调递减，则；
∵单调递增，则，
∴
故选：A
【分析】根据指数以及对数函数的单调性即可求解.
4．（2024高三上·潮阳开学考）若向量 ， ，且 ，则 =（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】因为向量 ， ，且 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
故答案为：B
【分析】 根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长.
5．（2024高三上·潮阳开学考）函数的零点所在的区间为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】，易知函数单调递增，
，，，故函数在上有唯一零点.
故选：C.
【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.
6．（2024高三上·潮阳开学考）“”是“”的（ ）
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】大于3的数不一定大于π，但大于π的数一定大于3，不能推出，可以推出，
故选：D
【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解.
7．（2024高三上·潮阳开学考）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A．90 B．120 C．210 D．216
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，
所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有： 种站法；
第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有： 种站法；
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是 .
故答案为：C
【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.
8．（2024高三上·潮阳开学考）已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】由 且 得：
令 ，可知 在 上单调递增
在 上恒成立，即：
令 ，则
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增
，解得：
故答案为：A
【分析】 根据题意，设，x∈(0， +∞)，将变形可得，由单调性的定义分析可得函数 在 上单调递增，求出g (x)的导数，分析可得 在 上恒成立，令 ，求出函数h (x)的导数，进而分析可得h(x)在区间(0， +∞)的最小值，分析可得答案.
9．（2024高三上·潮阳开学考）设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S7＜S8，S8＝S9＞S10，则下列结论正确的是（ ）
A．d＜0 B．a9＝0
C．S11＞S7 D．S8、S9均为Sn的最大值
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；等差数列的实际应用
【解析】【解答】解：∵S7＜S8，∴a8>0，
∵S8＝S9，∴a9＝0，
则a9-a8＝d＜0，
故选项A，B正确；
S11－S7＝
＝11a1＋55d－7a1－21d＝4a1+34d＜0，
∵a9＝a1+8d＝0，∴a1＝－8d
∴4a1+34d＝－32d+34d＝2d＜0
∴S11＜S7，故C错误．
易知数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故选项D正确；
故选：ABD.
【分析】由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案．
10．（2024高三上·潮阳开学考）已知函数 则（ ）
A．f(x)有两个极值点
B．f(x)有三个零点
C．点(0，1)是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，
当或时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)有两个极值点为或，故A正确；
又所以f(x)只有一个零点，故B错误；
由f(x)+ f(-x)=2可知，点(0，1)是曲线y= f(x)的对称中心，故C正确；
曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线的斜率为k=f'(1)=2，则切线方程为y=2x-1，故D错误.
故选：AC
【分析】利用导数研究函数的单调性，极值，零点，以及函数的对称中心，结合导数的几何意义，逐项判断即可.
11．（2024高三上·潮阳开学考）如图，正方体中，点为的中点，点为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与平面所成的角为30°
【答案】A,B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取中点，连接，则，
平面，平面，则，所以，
在正方形中，由（直角三角形的边长对应相等），得，所以，
所以，
，平面，所以平面，又平面，所以，A正确；
平面，而平面平面，所以平面，B正确；
若平面，平面，则，，则，这是不可能的，C错；
由线面角的定义知是与平面的成的角（平面），
在直线中，可得（其中为正方体棱长），，D错．
故选：AB．
【分析】取中点，证明平面后得线线垂直判断A，由面面平行的性质定理（两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 ）判断B，由线面垂直的性质定义定理（如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与平面内的任意一条直线都垂直）判断C，求出线面角的正切值判断D．
12．（2024高三上·潮阳开学考）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为 .
【答案】9
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】由题意高二抽取的人数为．
故答案为：9.
【分析】由分层抽样的定义按比例计算.
13．（2024高三上·潮阳开学考）已知点是角终边上的一点，则 ．
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】由题可知，
所以，
故答案为：.
【分析】根据角的终边经过某一点的正切值的诱导公式计算即可.
14．（2024高三上·潮阳开学考）已知双曲线的方程为，右焦点为，若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【解答】解：因为双曲线的标准方程为，设双曲线的左焦点为
所以，则，
所以周长为
由双曲线的定义可得，即有.
当在左支上运动到共线时，取得最小值.
则有周长的最小值为.
故填：.
【分析】根据双曲线方程写出焦点坐标，利用两点之间的距离公式三角形的周长公式可得，利用双曲线的定义将三角形周长最小值问题转化成两条线段之和最小.
15．（2024高三上·潮阳开学考）在中，，是边上的点，，，.
（1）求cos B与的面积；
（2）求边AC的长.
【答案】（1）解：在中，由余弦定理得，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，∵，
∴，在中，由正弦定理得，
即.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）借助余弦定理与面积公式计算即可得；
（2）借助正弦定理计算即可得.
（1）在中，由余弦定理得，
∵，∴，
∴；
（2）由（1）知，∵，∴，
在中，由正弦定理得，
即.
16．（2024高三上·潮阳开学考）已知数列的前项和为，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）解：由可知数列是以公差的等差数列，
又得，
解得，
故，
即.
（2）解：因为，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）等差数列的定义（如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差）可知数列是公差为2的等差数列，求出首项即可写出通项；
（2）先求出数列的通项，再用裂项求和的方法求前项和.
（1）由可知数列是以公差的等差数列，
又得，
解得，
故，
即.
（2）因为，
所以
.
17．（2024高三上·潮阳开学考）在四棱锥中，，，，点为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：∵点为的中点，则，∵，∴，
又即，∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，则平面.
（2）解：连接交于，连接，∵四边形为平行四边形，
∴为的中点，又，则，
∵平面平面，平面，面面，
∴平面，又平面，∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，∴，∵，
∴为直角三角形，即，
过点作的平行线，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图
可得，
∴，
设面的法向量为，则，
取得，∴
设与平面所成的角为，则
∴与平面所成的角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理（如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条平面外的直线与该平面平行）进行证明即可；
（2）根据面面垂直的性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面），结合线面垂直的性质可以建立空间直角坐标系，最后利用空间向量夹角公式进行求解即可.
（1）∵点为的中点，则，
∵，∴，
又即，∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，则平面.
（2）连接交于，连接，
∵四边形为平行四边形，
∴为的中点，又，则，
∵平面平面，平面，面面，
∴平面，又平面，∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，∴，∵，
∴为直角三角形，即，
过点作的平行线，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图
可得，
∴，
设面的法向量为，则，
取得，∴
设与平面所成的角为，则
∴与平面所成的角的正弦值为
18．（2024高三上·潮阳开学考）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量单位：克，重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图如图．
（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量内的小球个数为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1，可计算出，众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相加即得；（Ⅱ）的可能取值为、、、，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，因此有，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望．
试题解析：（Ⅰ）由题意，得，
解得；
又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）
而个样本小球重量的平均值为：（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为
则.的可能取值为、、、，
，，
，.
的分布列为：
.（或者）
【知识点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质进行求解；
（2）用样本估计总体，根据二项分布的概率求解公式和数学期望公式进行求解.
19．（2024高三上·潮阳开学考）已知椭圆：（）的离心率为，的长轴是圆：的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值.
【答案】解：（1）因为椭圆的长轴是圆：的直径，而且圆的直径为，
所以，解得.
因为，得，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可得焦点坐标.
①当过点的直线的斜率不存在时，，，
这时.
②当过点的直线的斜率为0时，，，
这时.
③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，.
由，整理可得.
，.
所以.
直线的方程为，坐标原点到的距离，
所以，
所以.
由，得，即.
综上所述，四边形的面积的最小值为2.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据的长轴是圆：的直径，可得a，再由离心率，求得b即可.
（2）由（1）可得，分过点的直线的斜率不存在，斜率为0，的直线的斜率存在且不为0时，分别求得弦长，，根据两直线垂直，由求解.
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