2024-2025学年四川省广安市岳池中学高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省广安市岳池中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为( )
A. B. C. D.
3.复数与都是纯虚数，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，若，，，则为( )
A. B. C. D. 或
5.用斜二测画法作一个边长为的正方形，则其直观图的面积为( )
A. B. C. D.
6.已知中，点在边上，且，那么( )
A. B.
C. D.
7.一电线杆位于某人的正东方向上，某人在点测得电线杆顶端的仰角为，此人往电线杆方向走了米到达点，测得电线杆顶端的仰角为，则电线杆的高度约为米，忽略人的身高
A.
B.
C.
D.
8.如图，正三棱台的下底面边长为，上底面边长和侧棱长均为，则棱台的高为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则( )
A. 的虚部为 B. C. D.
10.下列关于平面向量的说法正确的是( )
A. 若，是共线的单位向量，则
B. 若，是相反向量，则
C. 若，则向量，共线
D. 若，则点，，，必在同一条直线上
11.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形是边长为的正方形，则( )
A. 该八面体的表面积是
B. 该八面体的体积是
C. 直线与平面所成角为
D. 动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据，，，，，，，的分位数为______．
13.在中，，，，则边长 ______．
14.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______填序号．
是的垂心；；
；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知与的夹角为．
求在方向上的投影向量；
求的值．
16.本小题分
为提高中小学生对交通安全的认识，某市的全体中小学生参加了“小手拉大手”交通文明知识答题比赛，从所有答卷中随机抽取份成绩作为样本，将样本数据分成组，并整理得到如下频率分布直方图．
请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的学生，某学生知识竞赛的成绩是，请估计该学生能否得到表彰？
17.本小题分
如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成的角的余弦值．
18.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，，，求的面积．
19.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，．
证明：平面平面；
若，，求二面角的正切值．
参考答案
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15.解：与的夹角为，
则在方向上的投影向量为；
与的夹角为，
则．
16.解：根据题意可估计这份样本数据的平均值为：
分；
由题意得表彰的最低分为第百分位数，
设第百分位数为，
则，
解得，
而，所以该同学能得到表彰．
17.证明：取的中点，连接，，
在中，因为为的中点，为的中点，
所以，且，
由已知，，
得，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，，
则，且，即四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角即为异面直线与所成的角，
由，，得，
又，，，
由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
即异面直线与所成的角的余弦值为．
18.解：因为，
由诱导公式可得：，
由正弦定理可得：，
化简为，
即，
，，则，
因为，
故；
由，即，
即，可得或舍，
所以．
19.解：证明：设，连接，因为底面为菱形，
所以为的中点，，
又，所以，
，平面，，
所以平面又平面，
所以平面平面．
在平面中过点作交于点，
因为平面，又平面，
所以，
又，，平面，所以平面，
过点作交于点，连接，
又平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以即为二面角的平面角，
在中，，
因为，所以，
因为，所以，，
在中，，
又平面，平面，所以，
所以，
所以二面角的正切值为．
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