2024-2025学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学荣耀班高二（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学荣耀班高二（上）入学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知锐角三角形的面积为，，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
4.已知点到直线：的距离为，则等于( )
A. B. C. D.
5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为( )
A. B. C. D.
6.设已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，有下列四个命题：
若，，，则；
若，，，则；
若，，，则；
若，，，则．
其中所有正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足方程，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，若不低于分的人数是人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是( )
A. 该班的学生人数是 B. 成绩在的学生人数是
C. 估计该班成绩的众数是分 D. 估计该班成绩的方差为
10.已知曲线：，，则下列结论正确的是( )
A. 曲线可能是圆，不可能是直线
B. 曲线可能是焦点在轴上的椭圆
C. 当曲线表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D. 当曲线表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
11.如图，正方体的边长为，为的中点，动点在正方形内包含边界运动，且下列结论正确的是( )
A. 动点的轨迹长度为
B. 异面直线与所成角的正切值为
C. 的最大值为
D. 三棱锥的外接球表面积为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线的方程为，且点在上，则的标准方程为______．
13.已知椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，的最大值为设点，则的最小值为______．
14.已知圆：和点，若点为圆上一动点，点为平面上一点且，则点纵坐标的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试．试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
求和的值；
试求两人共答对道题的概率．
16.本小题分
已知直线：，圆：．
求直线与圆相交所得的弦长；
求圆关于直线对称所得的圆的方程．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，侧面为等边三角形，，，平面平面，为的中点．
求证：；
若，求二面角的大小．
18.本小题分
设椭圆的左、右顶点分别为、，离心率过该椭圆上任一点作轴，垂足为，点在的延长线上，且．
求椭圆的方程；
求动点的轨迹的方程；
设直线过椭圆的右焦点与椭圆相交于、两点，且，求直线的方程．
19.本小题分
通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．
已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；
已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆．
求斜椭圆的离心率；
(ⅱ)过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点、，判断是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
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15.解：由题意可得，
解得：或，由于，
所以；
设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，，，．
由题意得，，，
设甲乙二人共答对道题，
则，
由于和相互独立，与相互互斥，
所以，
所以甲乙二人共答对道题的概率为．
16.解：设直线：与圆相交的弦为线段，
因为圆心，半径为，
则圆心到直线的距离，
由题意知，
解得，
则直线与圆相交所得的弦长为；
设圆关于直线对称所得的圆为圆，
由题意可得圆心和圆心关于直线：对称，
且圆和圆的半径相等，都等于，
设圆心，则，解得，
则，
故圆的方程为．
17.证明：取中点，连接，，
为等边三角形，为中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
，分别为，中点，，又，，
，平面，，平面，
又平面，．
解：以为坐标原点，为，，轴可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，
由得，解得，即，
，
设平面的法向量，
则，
令，解得：，，；
又平面的一个法向量，；
由图象知：二面角为锐二面角，二面角的大小为．
18.解：由题意可得，，
，，
，
所以椭圆的方程为
设，，由题意得，即，
代入椭圆得，即．
即动点的轨迹的方程为
若直线的斜率不存在，则方程为，所以．
所以直线的斜率存在，设为，直线的方程为，
由，得．
因为，所以．
设，，则
所以，
即，
解得．
故直线的方程为或
19.解：由已知得，
所以，
不妨设，
此时，
解得，，
则点的坐标为；
联立直线与，
解得直线与椭圆交点为和，则，
由与交点为和，
则．
所以，．
设直线：，
与斜椭圆联立得：，
，，
，
设直线：，与斜椭圆联立得，
，，
故．
即为定值．
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