2024-2025学年河北省衡水市衡水中学高二（上）第一次测评数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省衡水中学高二（上）第一次测评
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的人的成绩单位：分为：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.将除颜色外完全相同的个红球和个白球随机放入个不同的盒子中，每个盒子中至少放入个球，则个红球分别放入不同盒子中的概率为( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，若，，分别为，的中点，则直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
5.已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知非负实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.为了发展旅游业，方便游客观赏湖面盛开的睡莲和湖里游动的锦鲤，唐山南湖公园拟修建观景栈桥规划如图所示，为规划区域，面积为万平方米，，，，是四条观景木栈桥，其中，，，为观景玻璃栈桥，则的最小值单位：百米为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，四棱锥是棱长均为的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论错误的是( )
A. 点，，，共面
B. 平面平面
C.
D. 平面
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是( )
A. 数据，，，的平均数为
B. 数据，，，的方差为
C.
D.
10.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的长为
11.已知函数，，则( )
A. 若有个不同的零点，则
B. 当时，有个不同的零点
C. 若有个不同的零点，，，，则的取值范围是
D. 若有个不同的零点，，，，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，若，则 ______．
13.如图，在多面体中，平面，，平面平面，，，，则四棱锥的体积为______．
14.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若，
则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中环、中环或环、中环或环、其他情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励分、奖励分、罚分、罚分假设评定为等级，、的概率分别是，
若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率；
若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为分的概率．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若点在边上，平分，且，求的周长．
17.本小题分
如图，等腰梯形中，，，，为的中点，将沿折起、得到四棱锥，为的中点．
线段上是否存在点，使平面？
证明：为直角三角形；
当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知函数，对，有．
求的值及的单调递增区间；
若，，求；
将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象若，，求实数的取值范围．
19.本小题分
类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则如图，四棱柱中， 为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点．
求的值；
直线与平面内任意一条直线夹角为，证明；
过点作平面，使平面平面，且与直线相交于点，若，求值．
参考答案
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15.解：设事件，，，分别表示“被评定为等级，，，“，
由题意得，事件，，，两两互斥，
所以，
又因为被罚分，
所以，
因此其被罚分的概率为；
设事件，，，表示“第次被评定为等级，，，“，，
则“两次射击得分之和为分”为事件，
且事件，，互斥，
，，
所以两次射击得分之和为分的概率．
16.解：由得，
，
，
，，；
平分，，，
在中，由余弦定理有，
在中，由余弦定理有，
，化简可得，，
在中，由余弦定理有，
，，解得，
的周长．
17.解：存在，为的中点，
如图，取中点，连接，，
而为的中点，则，
在等腰梯形中，，又为的中点，
于是得，即有四边形为平行四边形，则，
又面，面，所以平面；
证明：取的中点，连接，，，如图，
由知，，，即为平行四边形，则，，
有，为正三角形，则有，，
在原等腰梯形中，为正三角形，则，
于是得，而，即有为正三角形，，则，
又，，平面，则面，而面，因此，
所以为直角三角形；
解：由知， 是边长为的菱形，且，即 的面积是定值，
当四棱锥的体积最大时，即有点到平面距离最大，有直线平面，
则的高即为四棱锥的高，又为的中点，则到平面的距离，
又，于是得，
所以三棱锥的体积为．
18.解：，
因为对，有，可得当时，取得最值，
所以，，
可得，，又，
所以，
所以，
由，，可得，，
所以的单调递增区间为．
由，，，
可得，，
所以，
所以．
将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到，
函数的图象，进而可得，
令，，
只需，
令，
因为，所以，
所以，
因为，可得 ，
所以，
因为，所以当时，，
所以，即，解得或．
所以实数的取值范围为或．
19.解：连接，
由已知得平面，，
又平面，
所以平面平面，所以二面角的大小为，
因为四边形为菱形，，
所以，
又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理得
．
证明：依题意得，设平面内任一条直线为，
若过点，记与的夹角为，
则，
因为，
所以，
又，所以；
若不过点，过点作使得，
记与的夹角为，
则，
因为，
所以，
又，所以，
综上可得．
连接，，
因为，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
又，即，所以四边形为平行四边形，
所以，显然在的延长线上，
因为，
所以，
所以，即．
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