2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省广州市华南师大附中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.复数是虚数单位的虚部是( )
A. B. C. D.
3.下列命题中错误的是( )
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
B. 以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转度形成的旋转体叫球
C. 棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点
D. 用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台
4.已知平面向量与不共线，向量，若，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则角( )
A. B. C. D.
6.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案如图，在山脚测得山顶得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了米到达点在同一个平面内，在处测得山顶得仰角为，则鼎湖峰的山高为米．
A. B. C. D.
7.函数其中常数，的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图像( )
A. 关于点中心对称 B. 关于点中心对称
C. 关于直线轴对称 D. 关于直线轴对称
8.已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，的对边分别为，，，则下列对的个数的判断正确的是( )
A. 当，，时，有两解
B. 当，，时，有一解
C. 当，，时，有一解
D. 当，，时，有两解
10.已知非零复数，，其共轭复数分别为，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
11.设非零向量，的夹角为，定义运算下列叙述正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 设在中，，，则
D. 为任意非零向量
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若，且满足，则的最小值是______．
14.记的内角，，的对边分别为，，，已知，若为锐角三角形，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，，．
求点到所在的直线的距离；
以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积．
16.本小题分
如图，在矩形中，点在边上，且是线段上一动点．
，求的值；
若，求的最小值．
17.本小题分
在中，是线段上的一点不含端点，．
若，求的长；
若，求的取值范围．
18.本小题分
对于三个实数，，，若成立，则称，具有“性质”．
，判断，是否具有“性质”？
，判断，是否具有“性质”？
若存在及，使得成立，，具有“性质”，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若在上的最小值为，求的值；
证明：存在唯一零点且满足．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：如图所示，延长，过点作，垂足为，点到所在的直线的距离为，
在中，，
所以，即点到所在的直线的距离为．
以所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，
该几何体可以看成以所在的直线为轴，旋转一周形成圆台，挖去圆锥的组合体，
所以它的体积为圆台的体积减去圆锥的体积，
即．
16.解：因为，
化简得，
因为，
所以，，；
因为，，
所以
，
所以，则，又，
所以，
设，则，
则，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值，
所以的最小值为．
17.解：在中，是线段上的一点不含端点，，，
由正弦定理得：，所以．
设，则，，
在三角形中，由正弦定理得：，
所以．
在三角形中，由正弦定理得：，
所以，
所以，
即，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为：．
18.解：对，，当且仅当时取等号，
所以，具有“性质”．
令，而，
函数在上单调递减，，
即，，因此，不成立，
所以，不具有“性质”．
由，具有“性质”，得，
则，解得，而，则，
依题意，存在及，使得成立，
即存在及，使得，
令，，显然函数在上递增，
函数在上递增，因此函数在上递增，
，
令，，函数在上递减，在上递增，
，
因此，
则，
所以实数的取值范围是．
19.解：因为，
所以函数在上为增函数，
又函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以，
所以；
证明：因为在上为增函数，
所以函数至多存在一个零点，
又，，
所以函数存在唯一零点，，
所以，即，
因为函数在上单调递增，
所以当时，，
又，所以，
所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，
所以，
即．
第1页，共1页