2023-2024学年北京市延庆区高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市延庆区高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列与角的终边关于轴对称的角是( )
A. B. C. D.
2.下列各式的值等于的是( )
A. B.
C. D.
3.若，，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.“”是“为锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.函数的一条对称轴是( )
A. B. C. D.
7.设，，，则( )
A. B. C. D.
8.若函数的图像向左平移个单位，得到一个奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.关于函数，给出下列三个命题：
是周期函数；
曲线关于直线对称；
在区间上恰有个零点．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
10.对于函数，其定义域均为，若存在，，使得，则称与在上具有“关联”性质若与在上具有“关联“性质，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知角的终边经过点，则的值为______．
12.计算： ______．
13.已知函数若在区间上单调递减，则的一个取值可以为______．
14.如图，在的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点上，且满足，求 ______； ______
15.已知函数，给出下列四个结论：
存在，使得没有最值；
不存在，使得有单调减区间；
当时，函数只有两个零点；
当时，若，，互不相等，且，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知．
Ⅰ求；
Ⅱ求和；
Ⅲ求，
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，且，是线段上的动点．
Ⅰ用，表示和；
Ⅱ当是线段上的中点时，求，的坐标和；
Ⅲ设，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期和单调增区间；
Ⅱ若，求函数的最大值和最小值及相应的值；
Ⅲ将函数的图像向左平移个单位，得到的图像；
将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像；
将函数的图像向下平移个单位，得到的图像；
从上述中选择一个变换，求出的解析式，使得在上有两个零点，并求出零点．
19.本小题分
在图中，已知圆心角为的扇形的半径为，是弧上一定点，，是弧上一动点，作矩形，如图所示．
Ⅰ求弧的长及扇形的面积；
Ⅱ若，求、和；
Ⅲ在图中，求矩形面积的最大值？这时等于多少度？
20.本小题分
已知函数的部分图像如图，，．
Ⅰ若已知图中点的横坐标．
求，，的解析式；
若，求的取值范围；
Ⅱ求的值．
21.本小题分
对于集合和常数，定义：为集合相对于的“正弦方差”．
Ⅰ若集合，，求集合相对于的“正弦方差”；
Ⅱ若集合，写出一个的值，使得集合相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出这个常数，并说明理由；
Ⅲ若集合，相对于任何常数的“正弦方差”是一个常数，求出，的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.解：Ⅰ，，
，
；
Ⅱ，；
Ⅲ，，且，
，，解得，
．
17.解：因为，，，且，
所以，，即，，，，
，
；
Ⅱ当为线段的中点时，，
所以，，
所以，，，
所以；
Ⅲ假设存在满足题意的，则，
则，
所以，，
所以，，，
故，
整理得，，方程显然无根，即不存在实数使得．
18.解：Ⅰ函数，
故函数的最小正周期为，
令，，整理得，，
故函数的单调递增区间为，．
Ⅱ由于，故，故，
函数的值域为．
当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为；
Ⅲ将函数的图像向左平移个单位，得到的图像；
由于，故，当时，，故函数在上有唯一个零点．
将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到的图像，
由于，故，当时，，故函数在上有唯一个零点．
将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，令，
整理得，当时函数的值为，故函数在上有两个零点．
故只有满足有两个零点．
19.解：Ⅰ因为圆心角为的扇形的半径为，
所以弧长；扇形面积；
Ⅱ，，
所以，
所以，，
；
Ⅲ设，
则，，
在中，，
所以，
所以，
所以矩形的面积
当时，即时，最大，且最大值为．
所以，矩形形的面积的最大值为．
20.解：Ⅰ图中点的横坐标，
，
，
．
由五点作图法，可得，
，
；
若，则，
，
解得，
即的取值范围为；
Ⅱ由图可知，，又，
．
由五点作图法，可得，解得，
又，
，
，
由图可知，，
．
又，
，
，
．
21.解：Ⅰ当集合，时，
集合相对于的“正弦方差”为．
Ⅱ当时，集合，
集合相对于的“正弦方差”为
．
此时集合相对于任何常数的“正弦方差”为常数．
Ⅲ当集合时，
集合相对于的“正弦方差”为
，
要使得上式对任何常数是一个常数，则，
所以，整理得，
所以或，，
又因为，，
所以或，
即或，此时这个常数为．
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