江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷（含答案）

江苏省南通市通州区2025届高三上学期第一次质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设函数则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，单位：米是海水深度，单位：坎德拉和单位：坎德拉分别表示在深度处和海面的光强已知某海域米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为( ) 参考数据：，
A. B. C. D.
5.函数的图象如图所示，则如图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有异形：夺命舰，名侦探柯南，抓娃娃，逆行人生，姥姥的外孙这部，小明和小华两位同学准备从这部影片中各选部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看名侦探柯南，则两位同学不同的观影方案种数为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知随机事件，相互独立，且，，则( )
A. B. C. D.
11.定义域为的连续函数，对任意，，，且不恒为，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B.
C. 若，则 D. 若为的极小值点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答
13.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，则四面体的外接球的表面积为 ．
14.与曲线和曲线均相切的直线的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在每年的月份到月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量单位：台”与“当年的月份”线性相关根据统计得下表：
月份
销量
根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程请估计当年月份该品牌的空调可以销售多少台
该销售商从当年的前个月中随机选取个月，记为销量不低于前个月的月平均销量的月份的个数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，是的中点．
求证：平面
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
证明：曲线是中心对称图形
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，是棱的中点，是棱上一点．
求证：
若直线与平面所成角的正弦值为求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数．
讨论在区间上的单调性
若在上有两个极值点，．
求实数的取值范围
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
，
又回归直线过样本中心点，所以，得，
所以，当时，，
所以预测当年月份该品牌的空调可以销售台；
因为，所以销量不低于前个月的月平均销量的月份数为，，，
所以，，，，
所以，，，，
所以的分布列为：
故数学期望．
16.解：证明：如图，
连接，设，连接，
，分别是和的中点，，
平面，平面，
平面
侧面，侧面均为正方形，
，，又，
所以以为坐标原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，如图建立空间直角坐标系．
，，，，
，，，
设平面、平面的一个法向量分别为，，
则由，得，
令，可得，，
，
由，得，
令，可得，，
，
设二面角的大小为，由图可知，
，，
二面角的余弦值为．
17.解：由，解得，
，
所以关于点中心对称．
，
，
因为，所以， 在上递增，
由可知，，
所以，可化为

整理得 ，
可得
解得
18.证明：在正方形中，有，又底面，平面，
所以，又，、平面，
所以平面，又平面，所以，
又，点是棱的中点，所以有，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以．
如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设点，，
设平面的法向量，
令，可得，
又，
所以直线与平面所成角的正弦值，
化简可得，即，
所以或舍，
即点，由可得，，，
所以点到平面的距离．

19.解：的定义域为，
，
若，即，
则，，从而，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
若，即或，
当时，时显然，即，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，由，解得，，
设，解得，故，令，解得，
所以当时，，所以时，，时，
，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，，所以当时，，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为
因为在有两个极值点，，
所以关于的方程即在有两不同的解，，
令，
则，即，解得
证明：因为，是在的两不同的解，
所以，，且，其中，，
所以，
故
，
令，
则，
当时，，
所以单调递减，
即．
故．
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