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21.2 降次—解一元二次方程（5）
精准作业
课前诊断
1.按照下列要求解方程
（1）3（x-5)2-15=0 (直接开平方法）
（2）2x2-4x+1=0 (配方法）
（3）2x2+5x-3=0 (公式法）
必做题
1.已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+3=0有两个实数根,求m的取值范围.
2.已知关于x的方程x2+2mx+m2-2=0.
(1)证明:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一个根为3,求2m2+12m+2 043的值.
思考题
参考答案
课前诊断
必做题
1. 解:根据题意,得m-2≠0且Δ=42-4(m-2)×3≥0,
解得m≤且m≠2.
∴m的取值范围为m≤且m≠2.
2. 证明:∵Δ=(2m)2-4×1×(m2-2)=4m2-4m2+8=8>0,
∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根.
解:∵方程有一个根为3,
∴32+6m+m2-2=0,整理,得m2+6m=-7.
∴2m2+12m+2 043
=2(m2+6m)+2 043
=2×(-7)+2 043
=-14+2 043
=2 029.(共15张PPT)
人教版九年级上册
21.2 降次—解一元二次方程（5）
1.清楚判别式的内容，学会用一元二次方程的根的判别式判断
一元二次方程的根的情况。
2.借助一元二次方程的根的判别式，会通过已知的一元二次方程的根的情况确定方程中系数的取值范围。
3.体会转化思想和普遍联系的辩证思想。
学习目标
1.按照下列要求解方程
（1）3（x-5)2-15=0 (直接开平方法）
（2）2x2-4x+1=0 (配方法）
（3）2x2+5x-3=0 (公式法）
解：（1）移项，得3（x-5)2=15
∴（x-5)2=5
开方，得x-5=
∴x1=5 ,x2=5
∴x-5= ,x-5=
复习导入
（2）2x2-4x+1=0 (配方法）
解：方程两边同时除以2，得
移项，得x2-2x =-
x2-2x+ =0
配方，得x2-2x+1 =- +1
即（x-1)2=
∴x-1=
∴x1=1+ ,x2=1-
（3）2x2+5x-3=0 (公式法）
解：∵a=2，b=5,c=-3
b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0
∴方程有两个不相等的实数根
∴x=
∴x1=-3 , x2=
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式为Δ=_________,求根公式为x=(Δ____0).
b2-4ac
≥
可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是否有实数根，有实数根时两个根是否相等，均取决于含有该方程各项系数的代数式b2－4ac的值的符号．
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
计算判别式的值,判断方程根的情况
例1：不解方程,判断方程2x2-6x=7的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
C
变式1：下列一元二次方程有实数根的是( )
A．x2+2=0 B．2x2-x+1=0
C．x2-2x+2=0 D．x2+3x-2=0
归纳：
1、一元二次方程的根的判别式内容：
2、运用前提：
=b2-4ac
把一元二次方程化为一般式
3、运用一：
在不解方程的情况下判断方程的根的情况
【例2】已知关于x的方程（k-1)x2-6x+9=0
（1）若方程有实数根，求k的取值范围.
（2）若方程有两个实数根，求k的取值范围.
（3）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
（4）若方程有两个相等实数根，求k的值，并求此时方程的根.
解：
（1）由于方程有实数根，方程可以为一次方程，也可为二次方程.
（ⅰ）当方程为一次方程，即k=1时，方程为-6x+9=0
显然此时方程有实数根.
（ⅱ）当方程为二次方程，且方程有实数根，须 ≥0
即（-6）2-4×（k-1)×9≥0
解得，k≤2
综上所述，k的取值范围为k≤2.
（2）由于方程有两个实数根，所以方程为一元二次方程.
欲使此方程有两个实数根，须 ≥0
即（-6）2-4×（k-1)×9≥0
解得，k≤2
∴当方程有两个实数根时，k的取值范围为k≤2.
（3）∵方程有两个不相等的实数根
∴ >0
即（-6）2-4×（k-1)×9>0
解得，k<2
∴当方程有两个不相等的实数根时，k的取值范围为k≤2.
（4）∵方程有两个相等的实数根
∴ =0
即（-6）2-4×（k-1)×9=0
解得，k=2
此时，方程即为x2-6x+9=0
解得方程的两根为x1=x2=3
故方程有两个相等的实数根时，k=2,
此时方程的两相等的实根为x1=x2=3.
变式训练2：已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
1、在已知字母系数下的一元二次方程的根的情况时，可以求
字母系数的取值范围.
2、在应用判别式过程中，要注意方程类型，在不确定方程类型
条件下要分类讨论.
根的判别式
Δ＝b2－4ac
与根的关系
应用
Δ＞0 方程有两个不等的实数根
Δ＝0 方程有两个相等的实数根
Δ＜0 方程没有实根
不解方程确定方程根的情况
由根的情况确定字母的值或范围
课堂小结
见精准作业单
作业布置
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21.2 降次—解一元二次方程（5）
教学设计
一、教学目标：
1.了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程.
2.能够根据方程得系数，判断出方程根得情况.
3.根据根得情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的取值范围.
二、教学重、难点：
重点：求根公式的灵活应用.
难点：根据根得情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的取值范围.
三、教学过程：
复习回顾
1.按照下列要求解方程
（1）3（x-5)2-15=0 (直接开平方法）
（2）2x2-4x+1=0 (配方法）
（3）2x2+5x-3=0 (公式法）
知识精讲
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；
当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根；
典例解析
例1. 不解方程,判断方程2x2-6x=7的根的情况是( C )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【针对练习】变式1：下列一元二次方程有实数根的是( )
A．x2+2=0 B．2x2-x+1=0
C．x2-2x+2=0 D．x2+3x-2=0
典例解析
例2. 已知关于x的方程（k-1)x2-6x+9=0
（1）若方程有实数根，求k的取值范围.
（2）若方程有两个实数根，求k的取值范围.
（3）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
（4）若方程有两个相等实数根，求k的值，并求此时方程的根.
解：（1）由于方程有实数根，方程可以为一次方程，也可为二次方程.
（ⅰ）当方程为一次方程，即k=1时，方程为-6x+9=0
显然此时方程有实数根.
（ⅱ）当方程为二次方程，且方程有实数根，须 ≥0
即（-6）2-4×（k-1)×9≥0
解得，k≤2
综上所述，k的取值范围为k≤2.
（2）由于方程有两个实数根，所以方程为一元二次方程.
欲使此方程有两个实数根，须 ≥0
即（-6）2-4×（k-1)×9≥0
解得，k≤2
∴当方程有两个实数根时，k的取值范围为k≤2.
（3）∵方程有两个不相等的实数根
∴ >0
即（-6）2-4×（k-1)×9>0
解得，k<2
∴当方程有两个不相等的实数根时，k的取值范围为k≤2.
（4）∵方程有两个相等的实数根
∴ =0
即（-6）2-4×（k-1)×9=0
解得，k=2
此时，方程即为x2-6x+9=0
解得方程的两根为x1=x2=3
故方程有两个相等的实数根时，k=2,
此时方程的两相等的实根为x1=x2=3.
【针对练习】已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
四、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
六、课堂板书中小学教育资源及组卷应用平台
21.2 降次—解一元二次方程（5）
导学案
一、学习目标：
1.了解公式法的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程.
2.能够根据方程得系数，判断出方程根得情况.
3.根据根得情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的取值范围.
二、学习重、难点：
重点：求根公式的灵活应用.
难点：根据根得情况确定含字母系数的一元二次方程中字母的取值范围.
三、学习过程：
复习回顾
1.按照下列要求解方程
（1）3（x-5)2-15=0 (直接开平方法） （2）2x2-4x+1=0 (配方法）
（3）2x2+5x-3=0 (公式法）
知识精讲
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；
当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根；
典例解析
例1. 不解方程,判断方程2x2-6x=7的根的情况是( C )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【针对练习】变式1：下列一元二次方程有实数根的是( )
A．x2+2=0 B．2x2-x+1=0
C．x2-2x+2=0 D．x2+3x-2=0
典例解析
例2. 已知关于x的方程（k-1)x2-6x+9=0
（1）若方程有实数根，求k的取值范围.
（2）若方程有两个实数根，求k的取值范围.
（3）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
（4）若方程有两个相等实数根，求k的值，并求此时方程的根.
【针对练习】已知关于x的一元二次方程(k-2)x2+2x-1=0 有两个不相等的实数根,则k的取值范围是
四、课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
五、总结反思,拓展升华（优秀的人往往都在默默地努力）
