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人教版九年级上册
21.2降次——解一元二次方程（7）
复习回顾
1. 解一元二次方程的基本思路是：_______________________________________
2. 一元二次方程的基本解法
（1）直接开平方法； （2）配方法；
（3）公式法； （4）因式分解法.
将二次方程化为一次方程，即降次.
典例探究
类型一 根据方程的特点选择合适的方法解方程
例1 用适当的方法解下列方程：
（1）2（2 x －1）2－4＝0；
解：变形，得（2 x －1）2＝2，
即2 x －1＝± ，解得 x 1＝ ， x 2＝ .
解一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）若 b ＝0，选直接开平方法
典例探究
题型一 根据方程的特点选择合适的方法解方程
例1 用适当的方法解下列方程：
（2） x 2－6 x ＋5＝0；
解：配方，得（ x －3）2＝4，即 x －3＝±2.
解得 x 1＝5， x 2＝1.
当方程的二次项系数化为1时，一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法；
典例探究
（3）2 x 2－2 x －1＝0；
解：∵ a ＝2， b ＝－2 ， c ＝－1，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝16.
∴ x ＝ ＝ .
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
如果 ax 2＋ bx ＋ c 不能因式分解，且方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，宜选用公式法来解.
题型一 根据方程的特点选择合适的方法解方程
例1 用适当的方法解下列方程：
典例探究
（4）2（2 x －3）2＝3（2 x －3）.
解：移项，得2(2 x －3)2－3(2 x －3)＝0.
因式分解，得(4 x －9)(2 x －3)＝0.
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
如果 ax 2＋ bx ＋ c 能在有理数范围内因式分解，用分解因式法计算量小；
题型一 根据方程的特点选择合适的方法解方程
例1 用适当的方法解下列方程：
跟踪训练
1. 用适当的方法解下列方程：
（1）4（3 x －2）2＝36；
（2）3 x 2＋5（2 x ＋1）＝0；
解：变形，得(3x －2)2＝9，
即3x －2＝±3，
解得 x 1＝ ， x 2＝ .
解：化一般形式，得
3x2+10x+5=0，
a ＝3， b ＝10 ， c ＝5，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝40.
∴ x ＝ ＝ .
解得 x 1＝ ， x 2＝.
跟踪训练
1. 用适当的方法解下列方程：
（3） x 2－4 x ＝7；
解： x 1＝2＋ ，
x 2＝2－ .
（4）2 x －6＝（ x －3）2.
解： x 1＝3， x 2＝5.
典例探究
类型二 解一元二次方程的综合应用
例2 关于 x 的一元二次方程为（ m －1） x 2－2 mx ＋ m
＋1＝0.
（1）求出此方程的根；
解：（1）根据题意，得 m ≠1.
∵Δ＝ b 2－4 ac
＝（－2 m ）2－4（ m －1）（ m ＋1）＝4＞0，
∴ x 1＝ ＝ ， x 2＝ ＝1.
典例探究
（2） m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解：（2）由（1）知， x 1＝ ＝1＋ .
∵方程的两个根都是正整数，且 m 为整数，
∴ 是正整数.
∴ m －1＝1或 m －1＝2，解得 m 1＝2， m 2＝3.
∴ m 为2或3时，此方程的两个根都为正整数.
跟踪训练
2. 对于实数 a ， b ，定义运算“*”：
a*b＝
例如：4*2，∵4＞2，∴4*2＝42－4×2＝8.若 x 1， x 2是
一元二次方程 x 2－5 x ＋6＝0的两个根，则 x 1*x2＝
.
－3
或3
课堂总结
方法 适合方程类型 注意事项
直接开 平方法 （ mx ＋ n ）2＝ p p ≥0时有解，
p ＜0时无解
配方法 x 2＋ px ＋ q ＝0 二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方。
课堂总结
方法 适合方程类型 注意事项
公式法 ax 2＋ bx ＋ c ＝0 （ a ≠0） ① b 2－4 ac ≥0时，方程有实
数解； b 2－4 ac ＜0时，方程
无实数解；
②先化为一般形式再运用公式
因式分 解法 方程的一边为0，
另一边分解成两
个一次因式的积 方程的一边必须是0，另一
边可用任何方法因式分解
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降次——解一元二次方程（7）教学设计
教学目标
1.灵活选取直接开方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程；
2.会用一元二次方程的判别式解决实际问题；
教学重点
会用合适的方法解一元二次方程。
教学难点
合理选择不同的方法解一元二次方程。
教学过程
复习回顾
1.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．
2.一元二次方程的基本解法
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.
二、典例探究
类型一 根据方程的特点选择合适的方法解方程
例1 用适当的方法解下列方程：
（1）2(2x－1)2－4＝0；
小结：解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若b＝0，选直接开平方法
（2）x2－6x＋5＝0；
小结：当方程的二次项系数化为1时，一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法；
（3）2x2－2√2 x－1＝0；
小结：如果ax2＋bx＋c不能因式分解，且方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，宜选用公式法来解.
（4）2(2 x－3)2＝3(2 x－3).
如果ax2＋bx＋c能在有理数范围内因式分解，用分解因式法计算量小；
练习1. 用适当的方法解下列方程：
（1）4(3x－2)2＝36；（2）3x2＋5(2x+1)＝0；（3）x2－4x＝7；（4）2x－6＝(x－3)2.
答案：（1）, （2）,
（3）, （4）,
类型二 解一元二次方程的综合应用
例2 关于 x 的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
（1）求出此方程的根；
解：（1）根据题意，得 m ≠1.
∵Δ＝b2－4ac＝(－2m )2－4( m－1)(m＋1)＝4＞0，
∴ x1＝ ，x2＝1
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
解：（2）由（1）知， x1＝ ，x2＝1 .
∵方程的两个根都是正整数，且 m 为整数，
∴是正整数.
∴ m－1＝1或m－1＝2，解得 m1＝2，m2＝3.
∴ m为2或3时，此方程的两个根都为正整数.
练习2. 对于实数a，b定义运算“*”：
例如：4*2，∵4＞2，∴4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝ _3或-3____ .
三、课堂总结
作业布置
见精品作业设计
板书设计
第 2 页 共 5 页课前诊测
1．用因式分解法解下列方程：
(1) ； (2) ；
精准作业
必做题
1．解方程：
（1）； （2）；
(3) (4)．
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程有两个相等的实数根，则a的值为______；
(2)易错若该方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为______；
(3)若该方程没有实数根，则a的取值范围为______；
(4)若该方程有实数根，则a的取值范围为______．
3．已知T=
(1)化简T；
(2)若关于的方程有两个相等的实数根，求T的值．
4．已知关于x的方程有实数根，
(1)求k的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根，分别为，满足，求k的值．
探究题
5．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是，；
第2个方程：，方程的两个根分别是，；
第3个方程：；方程的两个根分别是，；
第4个方程：；方程的两个根分别是，；
……
(1)请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ．
(2)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
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(3)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少？试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
课前诊测
（1）解：原方程可化为．
移项，得．
因式分解，得．
于是得或，
∴，．
（2）解：原方程可化为．
因式分解，得，
即．
于是得或，
∴ ．
精准作业
1.（1）（x+1）2=4x，
∴x2-2x+1=0，
∴（x-1）2=0，
∴x-1=0，
解得：x1=x2=1．
（2）（x+4）2=5（x+4），
∴（x+4）2-5（x+4）=0，
∴（x+4）（x+4-5）=0，
∴x+4=0，x+4-5=0，
解得：x1=-4，x2=1．
（3）解:
（x-1）（3x-1）=0
x-1=0或3x-1=0
，．
（4）解：因式分解，得，
即．
于是得或，
∴，
2．(1)4；
(2)且；
(3)；
(4)且．
3．(1)；
(2)T=
4．(1)
(2)
5．(1)
(2)是“邻根方程”
(3)或；5或．中小学教育资源及组卷应用平台
降次——解一元二次方程（7）导学案
复习回顾
1.解一元二次方程的基本思路是：___________________________________．
2.一元二次方程的基本解法
（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法.
二、典例探究
类型一 根据方程的特点选择合适的方法解方程
例1 用适当的方法解下列方程：
（1）2(2x－1)2－4＝0；
小结：解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若b＝0，选直接开平方法
（2）x2－6x＋5＝0；
小结：当方程的二次项系数化为1时，一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法；
（3）2x2－2√2 x－1＝0；
小结：如果ax2＋bx＋c不能因式分解，且方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，宜选用公式法来解.
（4）2(2 x－3)2＝3(2 x－3).
如果ax2＋bx＋c能在有理数范围内因式分解，用分解因式法计算量小；
练习1. 用适当的方法解下列方程：
（1）4(3x－2)2＝36；（2）3x2＋5(2x+1)＝0；（3）x2－4x＝7；（4）2x－6＝(x－3)2.
类型二 解一元二次方程的综合应用
例2 关于 x 的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.
（1）求出此方程的根；
（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
练习2. 对于实数a，b定义运算“*”：
例如：4*2，∵4＞2，∴4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝ ____ . 课堂总结
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