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21.1 一元二次方程（1）导学案
一、创设情景
问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC (腰以上)与下部 BC (腰以下)的高度比，等于下部 BC 与全部 AB (全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，假设如图所示的雕像高 AB 为 2 m，下部 BC = x m，请列出方程.
等量关系：AC∶BC = BC∶AB 即 BC2 = AB AC
问题2 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
二、新知探究
1、观察与思考：x2 + 2x - 4 = 0 ①；x2 - 75x＋350 = 0 ② ；x2 - x = 56 ③；
方程 ① ② ③ 有什么共同点？
知识要点1 一元二次方程的概念
等号两边都是 ，只含有一个 (一元)，并且未知数的最高次数是 的方程，叫做一元二次方程.
知识要点2：
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
其中， 是二次项， 是二次项系数．
是一次项， 是一次项系数．
是常数项．
三、新知应用
例1 下列选项中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）
例2 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
例3 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径x cm 应满足的方程并化为一般形式（其中 π 取 3）；
拓展：例4 a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？
ax2－x = 2x2； (2) (a－1) x |a|+1－2x－7 = 0.
四、随堂练习
1.判断下列方程是否为一元二次方程：
(1) x2 + x = 36； (2) x3 + x2 = 36； (3) x + 3y = 36； （4）
(5) x + 1 = 0； (6) （7）ax2+bx+c=0
2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）3x2＋1＝6x； （2）3x(x－1)=5(x+2)；
3.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75万辆，两年后增加到108万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程并化为一般形式.
4.已知方程 (2a－4)x2-2bx+a = 0.
（1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为关于 x的一元一次方程？
五、归纳总结
1.一元二次方程的概念：
2.一般形式：
六、作业布置
详见《精准作业》
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21.1一元二次方程（1） 精准作业设计
精准作业
必做题
1．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．y＝x B．x（x+6）＝0 C．ax2﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
2．方程是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ）．
A． B． C． D．
3．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程x2＝﹣2x+8的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，﹣2，8 B．﹣1，2，8 C．1，2，﹣8 D．1，2，8
5．若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为 ．
6.在一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同学有x名．根据题意列出的方程是 ．
7．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)； (2)
8．若关于x的一元二次方程的一次项系数为0，求a的值．
探究题
在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，请你填空：
解：设小路的宽是x m，则横向小路的面积是 m2，
纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2.
根据题意，列出方程：
整理为一般形式：得
21.1一元二次方程（1） 精准作业设计
答案
必做题
B 2.D 3.B 4.C 5.3
6.
7.解;(1)一般形式为：；二次项系数为9；一次项系数为4；常数项为-5
（2）一般形式为：；二次项系数为3；一次项系数为-2；常数项为-5
8.解：由题得：a2-4=0且a-2≠0 解得a=-2
探究题
解：设小路的宽是x m，则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠的面积是2x2 m2.
根据题意列出方程，得：32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570.整理为一般式：x2－36x＋35=0.
2 / 2(共18张PPT)
21.1 一元二次方程（1）
学习目标
1.会准确叙述一元二次方程的概念.（难点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.能灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC (腰以上)与下部 BC (腰以下)的高度比，等于下部 BC 与全部 AB (全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，假设如图所示的雕像高 AB 为 2 m，下部 BC = x m，请列出方程.
A
C
B
解：列方程得
整理得 x 2 + 2x - 4 = 0．①
x 2 = 2(2 - x )，
想一想，上述方程与以往我们学过的方程有什么联系和区别？
x m
(2 - x) m
等量关系：
AC∶BC = BC∶AB
即 BC2 = AB AC
合作探究
问题2 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为 cm ，宽为 cm．
100－2x
(50－2x)
( )
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得
整理，得
(100－2x)(50－2x)＝3 600，
x2－75x＋350＝0．②
合作探究
x
问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
解：设比赛组织者应邀请 x 个队参加比赛，根据题意，列方程：
化简，得
③
合作探究
观察与思考
方程 ① ② ③ 有什么共同点？
(1) 方程的两边都是整式；
(2) 都只含一个未知数；
(3) 未知数的最高次数都是 2.
x2 - 75x＋350 = 0 ②
x2 + 2x - 4 = 0 ①
x2 - x = 56 ③
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程.
知识要点1
一元二次方程的概念
新知探究
例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简为 x2 - 3x + 2 = 0
化简为 4x2 -1 = 4x2 +12x + 9
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.
提示
新知应用
1.判断下列方程是否为一元二次方程：
(2) x3 + x2 = 36；
(3) x + 3y = 36；
(5) x + 1 = 0；
×
×
×
×
×
×
(1) x2 + x = 36；
注意：未限定 a ≠ 0
随堂练习
(100－2x)(50－2x)＝3 600③
可化为：x2－75x＋350＝0
可化为：x2－x＝56．
为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？
ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
ax2是二次项，a是二次项系数．
bx是一次项，b是一次项系数．
c是常数项．
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
归纳：只要满足a≠0，b，c可以为任意实数．
x 2 = 2(2 - x )①
可化为：x 2 + 2x - 4 = 0．
一元二次方程的一般形式：
知识要点2
新知探究
②
例2 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；
一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
系数和项均包含前面的符号.
注意
新知应用
2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）3x2＋1＝6x； （2）3x(x－1)=5(x+2)；
解：（1）一般形式：3x2－6x＋1＝0
二次项系数：3
一次项系数：－6
常数项：1
（2）一般形式：3x2-8x-10=0
二次项系数：3
一次项系数：-8
常数项：－10
随堂练习
例3 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程并化为一般形式（其中 π 取 3）；
解：由于圆的半径为 x cm，故其面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意，得
200 cm
150 cm
新知应用
3.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75万辆，两年后增加到108万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程并化为一般形式.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
整理，得
根据题意，得
随堂练习
例4 a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？
(1) ax2－x = 2x2；
(2) (a－1) x |a| + 1－2x－7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，
原方程是关于 x 的一元二次方程.
方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解．
随堂练习
拓展
4.已知方程 (2a－4)x2 2bx + a = 0.
（1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为关于 x的一元一次方程？
解：(1) 当 2a 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程
(2) 当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程.
随堂练习
一元二次方程
概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件
建立一元二次方程模型
审→设→找→列
归纳总结
作业布置：详见《精准作业》
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21.1 一元二次方程（1）教学设计
教学目标
1.会准确叙述一元二次方程的概念.（难点）
2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
3.能灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
一、创设情景
问题1 在设计人体雕像时，使雕像的上部 AC (腰以上)与下部 BC (腰以下)的高度比，等于下部 BC 与全部 AB (全身)的高度比，可以增加视觉美感.按此比例，假设如图所示的雕像高 AB 为 2 m，下部 BC = x m，请列出方程.
等量关系：AC∶BC = BC∶AB 即 BC2 = AB AC
解：列方程得：x 2=2(2 -x )
整理得： x 2 + 2x - 4 = 0．①
问题2 有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为（100－2x ）cm ，宽为（50－2x） cm．
根据方盒的底面积为3 600 cm2，得
(100－2x)(50－2x)＝3 600，
整理，得
x2－75x＋350＝0．②
问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛
解：设比赛组织者应邀请 x 个队参加比赛，根据题意，
列方程：
化简，得 ③
二、新知探究
1、观察与思考：x2 + 2x - 4 = 0 ①；x2 - 75x＋350 = 0 ② ；x2 - x = 56 ③；
方程 ① ② ③ 有什么共同点？
(1) 方程的两边都是整式；(2) 都只含一个未知数；(3) 未知数的最高次数都是 2.
知识要点1 一元二次方程的概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是一次的方程，叫做一元二次方程.
知识要点2：
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
其中，ax2是二次项， a 是二次项系数． bx 是一次项， b 是一次项系数．c是常数项．
三、新知应用
例1 下列选项中，是关于x 的一元二次方程的是（ C ）
例2 将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：去括号，得
3x2 - 3x = 5x + 10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：3x2 - 8x - 10 = 0.
其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是 -8x，系数是 -8；常数项是 -10.
例3 如图，已知一矩形的长为 200 cm，宽为 150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三. 求挖去的圆的半径x cm 应满足的方程并化为一般形式（其中 π 取 3）；
解：由于圆的半径为 x cm，故其面积为 3x2 cm2.
根据题意，得
整理得x2 - 2500= 0 ：
拓展：例4 a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？
ax2－x = 2x2； (2) (a－1) x |a|+1－2x－7 = 0.
解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0，
所以当 a - 2 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，原方程是一元二次方程.
(2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1 ≠ 0 知，当 a = -1 时，原方程是关于 x 的一元二次方程.
四、随堂练习
1.判断下列方程是否为一元二次方程: （1）（6）
(1) x2 + x = 36； (2) x3 + x2 = 36； (3) x + 3y = 36； （4）
(5) x + 1 = 0； (6) （7）ax2+bx+c=0
2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）3x2＋1＝6x； （2）3x(x－1)=5(x+2)；
解：（1）一般形式：3x2－6x＋1＝0
二次项系数：3 ;一次项系数：－6 ;常数项：1
（2）一般形式：3x2-8x-10=0
二次项系数：3; 一次项系数：-8 ; 常数项：－10
3.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75万辆，两年后增加到108万辆. 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程并化为一般形式.
解：根据题意，得75(1+x)＝108
整理，得25x2+50x-11＝0
4.已知方程 (2a－4)x2-2bx+a = 0.
（1）在什么条件下此方程为关于 x 的一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为关于 x的一元一次方程？
解：(1) 当 2a 4 ≠ 0，即 a ≠ 2 时，是关于 x 的一元二次方程
(2) 当 a = 2 且 b ≠ 0 时，是关于 x 的一元一次方程.
五、归纳总结
1.一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是一次的方程，叫做一元二次方程.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0（ a ≠ 0）
六、作业布置
详见《精准作业》
板书设计
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