上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷（含答案）

上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测
高三 数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．直线的倾斜角大小为__________．
2．在的展开式中，含项的系数为__________．
3．已知集合，集合，则__________．
4．若关于x，y的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是__________．
5．已知x，，则“”是“”的____________________条件．
6．已知，的最小值为__________．
7．从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为__________．
8．已知函数，且，则方程的解是__________．
9．已知集合，，若，则m的取值范围是__________．
10．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．
11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点且，则直线OM斜率的取值范围是__________．
12．对于定义在D上的函数，若同时满足：
（1）对任意的，均有；
（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．若实数a，b满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分，则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
15．如图所示，在正方体中，M是棱上一点，若平面与棱交于点N，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直 B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行 D．任意平面与平面垂直
16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）
A．，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列
B．，，，…，为等比数列，，，，…，为等差数列
C．，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列
D．，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，．
（1）在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；
（2）若四棱锥的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）
阶段 0、准备 1、人的反应 2、系统反应 3、制动
时间 秒 秒
距离 米 米
（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间．（精确到0.1秒）
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、、点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为k的直线l交椭圆于M、N两点，若，O为坐标原点，求直线l的方程；
（3）点P、Q为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，若直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数，直线l是曲线在点处的切线．
（1）当，求单调区间；
（2）求证：l不经过；
（3）当时，设点，，，B为l与y轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A使得成立？若存在，这样的点A有几个？
上海市青浦高级中学2024学年第一学期9月质量检测
高三 数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1． 2．5 3． 4．
5．必要不充分 6．12 7． 8．3
9． 10． 11． 12．①③
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．C 14．D 15．D 16．C
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
解：（1）不能．
因为梯形ABCD中，，，，
所以AD不平行于BC，则AD与BC必相交于一点，设为M，
面，在侧面PBC中不能作AD的平行线．
（2）过点B作于H，连接PH，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
所以平面PCD，所以PH是BE在平面PCD内的射影，
所以是直线BP与平面PCD所成角，
因为中，，，所以是等边三角形，
所以，，
又因为，所以，所以，
所以中，，，
又因为四棱锥的体积是，
所以，解得，
所以中，，，，
直线BP与平面PCD所成角大小是．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
解：（1），
当时，，作差，
累加得，满足，．
（2），．
19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
解：（1）由题意得，，
当时，，（秒）．
（2）根据题意，要求对于任意，恒成立，
即对于任意，，即恒成立，
由得，，即，
解得，（米/秒），（千米/小时），
汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）椭圆的左右焦点分别为、，
点在椭圆上，且．
，解得，椭圆的方程．
（2）设，，
根据题意得，，与联立，
整理可得，
根据韦达定理可得①
②
将①代入②，解得，即直线l的方程为或．
（3）证明：设直线，联立方程组，得，
，
又直线，同理可得，
为定值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
解：（1）当时，，
得的单调增区间是，单调减区间是．
（2），，
，
整理得，
假设l过原点，，
设，，
所以在上严格增，，与*式矛盾．所以l不经过原点．
（3），，由（2）知时，，
，，，
即，
设，，，
极大值，极小值，
又，所以在上有两个零点．
存在点A使得且点A有两个．