第二十一章 一元二次方程 单元检测试题（含答案）2024--2025学年人教版九年级数学上册

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列方程中，①x2+6＝3x；②；③x2﹣x＝0；④2x﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0．是一元二次方程的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程（4x﹣1）2＝1的根为（　　）
A． B．
C．x1＝0， D．，x2＝0
3．用直接开平方的方法解方程(3x＋1)2＝(2x－5)2时，做法正确的是(　　)
A．3x＋1＝2x－5 B．3x＋1＝－(2x－5)
C．3x＋1＝±(2x－5) D．3x＋1＝±2x－5
4．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
5．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则+的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
6. 已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)－8＝0，则m2＋n2的值为(　　)
A. －4或2 B .－2或4 C. 4 D. 2
7．点P的横、纵坐标恰好是方程x2－2x－15＝0的两个根，则经过点P的正比例函数图象一定过(　　)
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第四象限8．设x1，x2为一元二次方程x2＋2tx－t2＝0的两根，则－x1x2＋x1＋x2＋2的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，一块长为a m，宽为b m的矩形土地的周长为18 m，面积为14 m2，现将该矩形土地的长、宽都增加2 m，则扩建后的矩形土地的面积为(　　)
A．32 m2 B．36 m2 C．27 m2 D．38 m2
10．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，有下列结论：①第一轮后共有(x＋1)个人患了流感；②第二轮又增加了(x＋1)2个人患了流感；③依题意可得方程(x＋1)2＝81；④不考虑其他因素，经过三轮传染后一共会有648个人患了流感．其中正确的结论为(　　)
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若是关于的方程的一个根，则的值为 ．
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则字母已知数k的取值范围为 ．
13．若关于x一元二次方程有两个相等实数根，则k值为______．
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0两根分别为m，n，则+值为 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人．
17．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒．
18. 如图，有一块长，宽的矩形纸片，在每个角上截去相同的小正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，若设盒子的高为，则根据题意，可得方程： ．

三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
(1)
(2)；
(3)．
20.已知关于x的方程(m－1)xm ＋1－2x＋3＝0是一元二次方程．
(1)求m的值； (2)解这个一元二次方程．
21.关于x的一元二次方程x2－(3＋m)x＋3m＝0．
(1)试判断该方程根的情况；
(2)若x1，x2是该方程的两个实数根，且2x1－x1x2＋2x2＝12，求m的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23.某水果商场经销一种高档水果，原价为每千克50元，连续两次降价后售价为每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止移动．求：
(1)经过几秒时，BP＝CQ；
(2)链接PQ，经过几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的；
(3)连接BQ，经过几秒时，△BQP是等腰三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C A C B B A B A
二．填空题（共8小题）
11．
12．且
13．．
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．5
17．/
18．
三．解答题（共7小题）
19．(1)，
(2)，
(3)，
20．【解】(1)∵关于x的方程(m－1)xm ＋1－2x＋3＝0是一元二次方程，∴解得m＝－1．
(2)方程为－2x2－2x＋3＝0，即2x2＋2x－3＝0，
∵a＝2，b＝2，c＝－3，
∴Δ＝b2－4ac＝22－4×2×(－3)＝4＋24＝28，
∴x1＝，x2＝．
21.【解】(1)∵Δ＝[－(3＋m)]2－4×3m×1＝m2＋6m＋9－12m＝(m－3)2，
∴当m＝3时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根；
当m≠3时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根．
(2)由题意得x1＋x2＝3＋m，x1x2＝3m，
∵2x1－x1x2＋2x2＝12，
∴2(3＋m)－3m＝12，解得m＝－6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23．解：(1)设每次下降的百分率为a，
根据题意得50(1－a)2＝32，
解得a1＝1.8(不合题意，舍去)，a2＝0.2＝20%.
答：每次下降的百分率为20%.
(2)设每千克应涨价x元，则每千克盈利(10＋x)元，每天可售出(500－20x)千克，
由题意得(10＋x)(500－20x)＝6 000，
整理，得x2－15x＋50＝0，解得x1＝5，x2＝10.
∵商场要尽快减少库存，∴x＝5.
答：每千克应涨价5元．
24．解：(1)设经过t秒时，BP＝CQ，
则CQ＝t厘米，AP＝2t厘米．
∴BP＝AB－AP＝(16－2t)厘米．
∴16－2t＝t，解得t＝.
答：经过秒时，BP＝CQ.
(2)设经过x秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的.此时四边形PBCQ是梯形．
由题意得AP＝2x厘米，CQ＝x厘米．
∴BP＝AB－AP＝(16－2x)厘米．
∵(CQ＋BP)·BC＝AB·BC，
∴×(x＋16－2x)×6＝×16×6，解得x＝.
答：经过秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的.
(3)设经过k(0≤k≤8)秒时，△BQP是等腰三角形．
如图，过点Q作QH⊥BP于点H.
易知四边形BCQH是矩形．
∴BH＝CQ＝k厘米，HQ＝BC＝6厘米．
由题意得AP＝2k厘米，则BP＝(16－2k)厘米．
①当BP＝QP时，
PQ＝，
∴16－2k＝，
整理得5k2－32k＋36＝0，
解得k1＝，k2＝；
②当BP＝BQ时，BQ＝.
则16－2k＝，整理得3k2－64k＋220＝0.
解得k3＝(舍去)，k4＝；
③当QP＝BQ时，H为BP的中点，
∴PH＝BH，即16－2k－k＝k，解得k5＝4.
综上所述，经过秒或4秒或秒时，△BQP是等腰三角形．