第二十一章 一元二次方程 单元检测试题（含答案）2024--2025学年人教版九年级数学上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．解一元二次方程x2﹣2x＝4，配方后正确的是（　　）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝5 C．（x﹣1）2＝4 D．（x﹣1）2＝8
4．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
5.关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论正确的是(　　)
A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根，一个负根 D.无实数根
6.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2－4x＋k＝0的两个根，则k的值为(　　)
A.3 B.4 C.3或4 D.7
7.已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且α2＋β2＝12，那么m的值为(　　)
A.－1 B.－4 C.－4或1 D.－1或4
8．已知a+，则的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．不能确定
9、某厂今年3月的产值为40万元，5月上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是（ ）
A. 40(1+x)＝72　　 B. 40(1+x)+40(1+x)2＝72
C. 40(1+x)×2＝72　　 D. 40(1+x)2＝72
10、一个长80cm，宽70cm的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm时，可根据下列方程（ ）
A. (80-x)(70-x)＝3000　　 B. (80-2x)(70-2x)＝3000
C. 80×70-4x2＝3000　　　 D. 80×70-4x2-(80+70)x＝3000
二、填空题(每题3分，共24分)
11．将一元二次方程化成一般形式是_____．
12．将一元二次方程变形为的形式为________．
13．方程的根___，___．
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0两根分别为m，n，则+值为 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为　 　．
18．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　 　cm2．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
(1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1=; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a是常数)
20．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k－5＝0有两个实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程的一个实数根为4，求k的值和另一个实数根．
（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m-2=0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根是-1时，求m的值．
23、我们知道：x2-6x＝(x2-6x+9)-9＝(x-3)2-9；-x2+10＝-(x2-10x+25)+25＝-(x-5)2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
(1)按上面材料提示的方法填空：a2-4a＝_____＝_____．-a2+12a＝_____＝_____．
(2)探究：当a取不同的实数时在得到的代数式a2-4a的值中是否存在最小值？请说明理由．
(3)应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
24、因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．
(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；
(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A C B B C D B
二．填空题（共8小题）
（1）3，；（2）；（3）1，2a-1
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
17．解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
故答案是：．
18．解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x） x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
可得x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）方程整理得：2（5x﹣1）2﹣5（5x﹣1）＝0，
分解因式得：（5x﹣1）[2（5x﹣1）﹣5]＝0，
可得5x﹣1＝0或10x﹣7＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.7；
（3）分解因式得：（x+3+2x﹣3）（x+3﹣2x+3）＝0，
可得3x＝0或﹣x+6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6；
（4）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．解：设方程另一个根为x1，
根据题意得2x1＝﹣6，解得x1＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
21．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有两个实数根，
∴△＝22﹣4×1×（2k﹣5）＝﹣8k+24≥0，
解得：k≤3，
∴k的取值范围是k≤3.
（2）解：设方程的另一个根为m，
∴4+m=－2，
解得：m=－6，
∴2k﹣5＝4×（－6）
∴k＝－ ，
∴k的值为－ ，另一个根为－6．
（3）解：∵k为正整数，且k≤3，
∴k＝1或k＝2或k＝3，
当k＝1时，原方程为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
当k＝2时，原方程为x2+2x－1＝0，解得x1＝－1+ ，x2＝－1－ ，（舍去）
当k＝3时，原方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝－1，
∴k的值为1或3．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案；
（3）由（1）可得k≤3，根据k为正整数可得k=1，k=2或k=3，分别代入方程，求出方程的根，根据该方程的根都是整数即可得答案.
22．【答案】（1）证明：∵△=（2m+1）2-4×1×（m-2）
=4m2+4m+1-4m+8=4m2+9>0
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根
（2）解：把x=-1代入方程x2+（2m+1）x+m-2=0，
∴1-（2m+1）+m-2=0．
∴m=-2．
【解析】【分析】（1）此题就是证根的判别式b2-4ac恒大于0即可；
（2）把x=-1代入一元二次方程中，得到关于m的一元一次方程，解出m即可解决问题.
23、答案：（1），；（2）当时，代数式存在最小值为；（3）时，最大值为
分析：（1）原式配方即可得到结果；
（2）利用非负数的性质确定出结果即可；
（3）根据题意列出S与x的关系式，配方后利用非负数的性质即可得到结果．
解答：（1）根据题意得：a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4；-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36；
故答案为：a2-4a+4-4；（a-2）2-4；-（a2-12a+36）+36；-（a-6）2+36；
（2）∵a2-4a=a2-4a+4-4=（a-2）2-4≥-4，-a2+12a=-（a2-12a+36）+36=-（a-6）2+36≤36，
∴当a=2时，代数式a2-4a存在最小值为-4；
（3）根据题意得：S=x（6-x）=-x2+6x=-（x-3）2+9≤9，
则x=3时，S最大值为9．
24、答案：(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.
分析：（1）根据题意设平均增长率为未知数x，再根据题意建立方程式求解.（2）根据题意设每碗售价为未知数y，再根据题意建立方程式求解.
解答：(1)设平均增长率为，则
解得：(舍)·
答：年平均增长率为20%
(2)设每碗售价定为元时，每天利润为6300元
[300+30(25-y)]=6300·
解得：·
∵每碗售价不超过20元，所以.