南京市2025届高三年级学情调研
数 学 2024.09.19
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x－3＞0}，B＝{x|x2－5x＋4＞0}，则A∩B＝
A．(－∞，1) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(4，＋∞)
2．已知ax＝4，loga3＝y，则a＝
A．5 B．6 C．7 D．12
3．已知|a|＝，|b|＝1．若(a＋2b)⊥a，则cos
＝
A．－ B．－ C． D．
4．已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn．若S3＝6，S6＝3，则S9＝
A．－18 B．－9 C．9 D．18
5．若a是第二象限角，4sin2α＝tanα，则tanα＝
A．－ B．－ C． D．
6．甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)．甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为
A．4 B．6 C．8 D．12
7．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为
A．24 B．32 C．96 D．128
8．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P在C上，点Q在l上．若PF＝2QF，PF⊥QF，则△PFQ的面积为
A． B．25 C． D．55
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z，下列命题正确的是
A．若z＋1∈R，则z∈R B．若z＋i∈R，则z的虚部为－1
C．若|z|＝1，则z＝±1 D．若z2∈R，则z∈R
10．对于随机事件A，B，若P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，则
A．P(AB)＝ B．P(A|B)＝ C．P(A＋B)＝ D．P(B)＝
11．设函数f(x)＝＋，则
A．f(x)的定义域为{x|x≠，k∈Z} B．f(x)的图象关于x＝对称
C．f(x)的最小值为5 D．方程f(x)＝12在(0，2π)上所有根的和为8π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．(2＋)4展开式中的常数项是 ▲ ．
13．与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体．截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 ▲ ．
(第13题图)
14．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，直线BF2与C相交于另一点A．当cos∠F1AB最小时，C的离心率为 ▲ ．
四、解答题；本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
小王早晨7：30从家出发上班，有A，B两个出行方选择，他统计了最近100天分别选择A，B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
8点前到(天数) 8点或8点后到(天数)
A方案 28 12
B方案 30 30
(1)判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；
(2)小王准备下周一选择A方案上班，下周二至下周五选择B方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X．若用频率估计概率，求P(X＝3)．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，
P(χ≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16．(本小题满分15分)
如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，＝2，＝2．
(1)求证：EF∥平面MNB；
(2)若平面ACD⊥平面ABC，求直线BD与平面MNB所成角的正弦值．
(第16题图)
17．(本小题满分15分)
已知数列{an}，{bn}，an＝(－1)n＋2n，bn＝an＋1－λan(λ＞0)，且{bn}为等比数列．
(1)求λ的值；
(2)记数列{bnn2}的前n项和为Tn．若TiTi＋2＝15Ti＋1(i∈N*)，求i的值．
18．(本小题满分17分)
已知 F1，F2是双曲线线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，F1F2＝2，点T(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线l过点D(1，0)，且与C交于A，B两点．
①若＝3，求△F1F2A的面积；
②以线段AB为直径的圆交x轴于P，Q两点，若|PQ|＝2，求直线l的方程．
19．(本小题满分17分)
已知函数f(x)＝e＋ax2－3ax＋1，a∈R．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；
(2)当a＞1时，试判断f(x)在[1，＋∞)上零点的个数，并说明理由；
(3)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．南京市 2025 届高三年级学情调研
数学参考答案 2024.09
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A B A C C B
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0 分．
9 10 11
AB BCD ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
3
12．240 13．3π 14．
3
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
解：（1）假设 H0：8 点前到单位与方案选择无关，
100×(28×30－12×30)2
则 χ2＝ ······································································ 2 分
40×60×42×58
800
＝ ≈3.94＞3.841， ············································································ 4 分
203
所以有 95%的把握认为 8 点前到单位与路线选择有关． ······································ 6 分
（2）选择 A 方案上班，8 点前到单位的概率为 0.7，
选择 B 方案上班，8 点前到单位的概率为 0.5． ················································ 8 分
当 X＝3 时，则分两种情况：
①若周一 8 点前到单位，
21
则 P1＝0.7×C
2
4(1-0.5)2×0.52＝ ． ····························································· 10 分 80
②若周一 8 点前没有到单位，
6
则 P2＝(1-0.7)×C
3
4(1-0.5)×0.53＝ ． ·························································· 12 分 80
1
{#{QQABZYAEogCgAIBAARgCEwXKCkOQkACCAagGBEAEoAABgQNABAA=}#}
27
综上，P(X＝3)＝P1＋P2＝ ． ····································································· 13 分 80
16．(本小题满分 15 分)
解：（1）因为 E，F 分别为线段 AB，BC 中点，
所以 EF∥AC． ························································································· 2 分
→ → → → DM DN 1
因为AM＝2MD，CN＝2ND，即 ＝ ＝ ，
DA DC 3
所以 MN∥AC，所以 EF∥MN． ···································································· 4 分
又 MN 平面 MNB，EF 平面 MNB，
所以 EF∥平面 MNB． ················································································· 6 分
（2）取 AC 中点 O，连接 DO，OE． z
因为△ACD 为正三角形，所以 DO⊥AC． D
N
因为平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC＝ M
AC，DO 平面 ACD，
A
所以 DO⊥平面 ABC． ··························································O·· ················C·· ···y 8 分
F
因为 O，E 分别为 AC，AB 中点，则 OE∥BC． E
x B
又因为 AC⊥BC，所以 OE⊥AC．
以 O 为坐标原点，OE，OC，OD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
······································································································· 10 分
3 3 3 1 1
则 D(0，0， )，B(3， ，0)，M(0，－ ， 3)，N(0， ， 3)，
2 2 2 2
→ → → 3 3 3
故BM＝(－3，－2， 3)，MN＝(0，1，0)，BD＝(－3，－ ， )．
2 2
设平面 MNB 的法向量为 n＝(x，y，z)，直线 BD 与平面 MNB 所成角为 θ，
→n·BM＝0， －3x－2y＋ 3z＝0，
则 即
→ n·MN＝0，
y＝0．
取 n＝( 3，0，3)． ··················································································· 12 分
9 3 3 3
→ |－3 3＋0＋ |
→ |BD·n| 2 2 2
则 sinθ＝|cos|＝ ＝ ＝ ＝ ，
→ 9 27 3 2×2 3 8
|BD ||n| 9＋ ＋ × 3＋9
4 4
2
所以 BD 与平面 MNB 所成角的正弦值为 ． ·················································· 15 分
8
2
{#{QQABZYAEogCgAIBAARgCEwXKCkOQkACCAagGBEAEoAABgQNABAA=}#}
17．(本小题满分 15 分)
解：(1)因为 a n nn＝(－1) ＋2 ，则 a1＝1，a2＝5，a3＝7，a4＝17．
又 bn＝a －λa ， n＋1 n
则 b1＝a2－λa1＝5－λ，b2＝a3－λa2＝7－5λ，b3＝a4－λa3＝17－7λ． ····················· 2 分
因为{b }为等比数列，则 b 2＝b ·b ，所以(7－5λ)2n 2 1 3 ＝(5－λ)(17－7λ)，…………………4 分
整理得 λ2－λ－2＝0，解得 λ＝－1 或 2．
因为 λ＞0，故 λ＝2．
n＋1 n＋1
当 λ＝2 时，bn＝a ＋ －2an＝(－1) ＋2 －2[(－1)
n＋2n]
n 1
n＋1 n＋1
＝(－1)×(－1)n＋2 －2×(－1)n－2 ＝－3×(－1)n． ····································· 6 分
b n＋1
n＋1 －3×(－1)
则 ＝ ＝－1，故{bn}为等比数列， bn －3×(－1)n
所以 λ＝2 符合题意． ············································································· 7 分
(2) b ·n2n ＝－3×(－1)n·n2，
当 n 为偶数时，Tn＝－3×[－12＋22－32＋42－52＋62－…－(n－1)2＋n2]
3
＝－3×(1＋2＋…＋n)＝－ n(n＋1)． ······················································ 10 分
2
3
当 n 为奇数时，Tn＝T －bn＋1(n＋1)2＝－ (n＋1)(n＋2)＋3(n＋1)2
n＋1 2
3
＝ n(n＋1)．······················································································· 12 分
2
3
n(n＋1)，n为奇数，2
综上，Tn＝ 3
－ n(n＋1)，n为偶数．2
因为 Ti·Ti＋2＞0，又 Ti·Ti＋2＝15Ti＋1，
故 Ti＋1＞0，所以 i 为偶数． ··································································· 13 分
3 3 3
所以[－ i(i＋1)]·[－ (i＋2)(i＋3)]＝15× (i＋1)(i＋2)，
2 2 2
整理得 i2＋3i－10＝0，解得 i＝2 或 i＝－5(舍)，
所以 i＝2． ························································································ 15 分
18．(本小题满分 17 分)
解：（1）由题意可知 c＝ 6，点 T 在 C 上，根据双曲线的定义可知|TF1|－|TF2|＝2a，
即 2a＝ (3 6)2＋( 10)2－ ( 6)2＋( 10)2＝4，所以 a＝2， ··························· 2 分
3
{#{QQABZYAEogCgAIBAARgCEwXKCkOQkACCAagGBEAEoAABgQNABAA=}#}
则 b2＝c2－a2＝2，
x2 y2
所以 C 的方程为 － ＝1． ····································································· 3 分
4 2
→
（2）①设 B(x0，y0)，DB＝(x0－1，y0)．
→ → →
因为DA＝3DB，所以DA＝(3x0－3，3y0)，
所以 A 点坐标为(3x0－2，3y0)， ··································································· 5 分
x2 y2
0 0－ ＝1，4 2
因为 A，B 在双曲线 C 上，所以 (3x0－2)2 (3y 20)
－ ＝1，4 2
10
解得 x0＝3，y0＝± ， ········································································ 7 分 2
3 10
所以 A 点坐标为(7，± )，
2
1 1 3 10
所以 S ＝ |yA|×|F1F2|＝ × ×2 6＝3 15． ··································· 8 分
ΔF1F2A 2 2 2
②当直线 l 与 y 轴垂直时，此时 PQ＝4 不满足条件．
设直线 l 的方程为 x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(xP，0)，Q(xQ，0)．
2 2
x y － ＝1，
直线 l 与 C 联立 4 2 消去 x，得(t2－2)y2＋2ty－3＝0，
x＝ty＋1，
2t 3
所以 y1＋y2＝－ 2 ，y1y2＝－ 2 ． ····················································· 10 分 t －2 t －2
Δ＝4t2＋12(t2－2)＞0， 3
由 2 ，得 t
2＞ 且 t2≠2．
t －2≠0． 2
以 AB 为直径的圆方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
令 y＝0，可得 x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，则 xP，xQ 为方程的两个根，
所以 xP＋xQ＝x1＋x2，xPxQ＝x1x2＋y1y2， ··················································· 13 分
所以 PQ＝|x 2 2P－xQ|＝ (xP＋xQ) －4xPxQ＝ (x1＋x2) －4(x1x2＋y1y2)
＝ (x1－x 2 2 22) －4y1y2＝ t (y1－y2) －4y1y2
4t4 12(t2＋1)
＝ t2(y 21＋y2) －4(t2＋1)y1y2＝
(t2
＋
－2)2 t2－2
16t4－12t2－24
＝ 2 2 ＝2． ··························································· 15 分 (t －2)
5 15
解得 t2＝－2(舍)或 t2＝ ，即 t＝± ，
3 3
所以直线 l 的方程为：3x± 15y－3＝0． ·················································· 17 分
4
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19．(本小题满分 17 分)
－ －
解：（1）当a＝1时，f(x)＝ex 1＋x2－3x＋1，则f'(x)＝ex 1＋2x－3，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率k＝f'(1)＝0．
又因为f(1)＝0，
所以曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程为y＝0． ··················································· 3分
－ － －
（2） f(1)＝e1 a－2a＋1，f'(x)＝ex a＋2ax－3a，则f'(1)＝e1 a－a，
x－当a＞1时，f''(x)＝e a＋2a＞0，则f'(x)在(1，＋∞)上单调递增．
－ －
因为f'(1)＝e1 a－a＜e1 1－1＝0，f'(a)＝1＋2a2－3a＝(2a－1)(a－1)＞0，
所以存在唯一的x0∈(1，a)，使得f'(x0)＝0． ······················································· 5分
当x∈(1，x0)时，f'(x)＜0，所以f(x)在[1，x0)上单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x0，＋∞)上单调递增．
又因为 f(1)＝e1
－a－2a＋1＜e0－2＋1＝0，所以f(x0)＜f(1)＜0．
－
又因为 f(3)＝e3 a＋1＞0，
所以当a＞1时，f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．··································· 8分
－
（3）①当a＞1时，f(1)＝e1 a－2a＋1＜e0－2＋1＝0，与当x≥0时，f(x)≥0矛盾，
所以a＞1不满足题意． ··········································································· 9分
－
②当a≤1时，f(0)＝e a＋1＞0，
－ － －
f'(x)＝ex a＋2ax－3a，f''(x)＝ex a＋2a，f''(0)＝e a＋2a．
－
记函数q(x)＝e x＋2x，x≤1，
－
则q'(x)＝－e x＋2，
当x∈(－ln2，1)时，q'(x)＞0，所以q(x)在(－ln2，1)单调递增；
当x∈(－∞，－ln2)时，q'(x)＜0，所以q(x)在(－∞，－ln2)单调递减，
所以q(x)≥q(－ln2)＝2－2ln2＞0，所以f''(0)＞0．
又因为f''(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以f''(x)≥f''(0)＞0，所以f'(x)在[0，＋∞)上单调递增． ································ 11分
－
(i)若f'(0)＝e a－3a≥0，
则f'(x)≥f'(0)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
则f(x)≥f(0)＞0，符合题意； ··································································· 13分
－
(ii)若f'(0)＝e a－3a＜0，可得a＞0，则0＜a≤1．
－
因为f'(1)＝e1 a－a≥0，且f'(x)在[0，＋∞)上单调递增，
5
{#{QQABZYAEogCgAIBAARgCEwXKCkOQkACCAagGBEAEoAABgQNABAA=}#}
所以存在唯一的x1∈(0，1]，使得f'(x1)＝0．
当x∈(0，x1)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，x1)上单调递减，
当x∈(x1，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(x1，＋∞)上单调递增，
x －a
其中x1∈(0，1]，且
1
e ＋2ax1－3a＝0． ························································ 15分
x －a
所以 1f(x)≥f(x1)＝e ＋ax 21 －3ax1＋1
＝3a－2ax1＋ax 21 －3ax1＋1＝ax 2 21 －5ax1＋3a＋1＝a(x1 －5x1＋3)＋1，
因为x1∈(0，1]，所以x 21 －5x1＋3∈[－1，3)．
又因为a∈(0，1]，所以a(x 21 －5x1＋3)≥－1，
所以f(x)≥0，满足题意．
结合①②可知，当a≤1时，满足题意．
综上，a的取值范围为(－∞，1]． ····························································· 17分
6
{#{QQABZYAEogCgAIBAARgCEwXKCkOQkACCAagGBEAEoAABgQNABAA=}#}