江西省红色十校2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

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名称 江西省红色十校2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-09-23 17:04:55

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文档简介

江西省红色十校2025届高三上学期第一次联考数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则( )
A. B. C. D.
2.从年第届洛杉矶夏季奥运会到年第届巴黎夏季奥运会,我国获得的夏季奥运会金牌数依次为,,,,,,,,,,,这个数据的分位数是( )
A. B. C. D.
3.已知集合,,,则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.若函数在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知,是一元二次方程的两个根,则( )
A. B. C. D.
7.在体积为的三棱锥中,,,平面平面,,,若点,,,都在球的表面上,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.若函数在上恰有个零点,则符合条件的的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知向量,,则( )
A. 若,则 B. 若,共线,则
C. 不可能是单位向量 D. 若,则
10.我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中,设定点为,,动点满足,化简可得卡西尼卵形线,则( )
A. 曲线既是中心对称图形也是轴对称图形 B. 曲线关于直线对称
C. 曲线都在圆内 D. 曲线与椭圆没有公共点
11.已知函数,,若,的图象与直线分别切于点,,与直线分别切于点,,且,相交于点,则( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知点是抛物线上一点,且点到的焦点距离为,则 .
13.已知变量与线性相关,由样本点求得的回归方程为,若点在回归直线上,且,则 .
14.如图,在棱长为的正方体中,点在的边界及其内部运动,且,则的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中,内角,,所对的边分别为,,,且A.
求的值
若,求最大时的面积.
16.本小题分
已知函数.
若在上单调递减,求的取值范围
若,判断是否有最大值,若有,求出最大值若没有,请说明理由.
17.本小题分
如图,在四棱锥中,四边形是平行四边形,,,,,,点在上,且.
证明:平面
求直线与平面所成角的正弦值.
18.本小题分
已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,的右焦点到该渐近线的距离为.
求的方程
若过的直线与的左、右支分别交于点,,与圆交于与,不重合的,两点.
(ⅰ)求直线斜率的取值范围
(ⅱ)求的取值范围.
19.本小题分
记数列中前项的最大值为,数列称为的“数列”,由所有的值组成的集合为.
若,且中有个元素,求的取值范围
若数列,都只有项,为的“数列”,满足,,,且存在,使得,求符合条件的数列的个数
若,的“数列”的前项和为,从,,,,中任取个,记其中能被整除且不能被整除的个数为,求.
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解:因为,
由正弦定理得,
得,
由正弦定理得,所以.
由余弦定理得

当且仅当,即时取等号,
当取最小值时,最大,
此时,,,
的面积为.
16.解:因为,
所以,
因为在上单调递减,
所以恒成立,
所以,得,
所以的取值范围是
当时,,

所以当时,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,
又时,,
所以有最大值,最大值为.
17.证明:因为,,,
所以,,
因为,所以,
因为,、平面,
所以平面,
因为平面,所以,
因为,,,
所以,

取的中点,则,且,
所以点到的最短距离为,
因为,所以点,重合,,
因为,平面,平面,所以平面,
因为在平行四边形中,,所以平面.
解:由知,,,两两垂直,
故以点为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,
设平面的法向量为,
则有得取,得,
设直线与平面所成角为,
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.

18.解:因为的一条渐近线的倾斜角为,
所以,,
则的一条渐近线的方程为,
因为,
所以右焦点到渐近线的距离为,
所以,,所以的方程为.
由知,,设,,
由题意可得直线的斜率存在且不为零,
设直线的方程为,与联立得,
所以,,
,,
又,两点在轴同一侧,所以,此时,即,
又圆的方程为,点到直线的距离,
由得,由得,所以或,
因为直线的斜率,
所以直线斜率的取值范围是


所以

设,,则

所以的取值范围是.
19.解:因为,
所以,
因为随的增大而减小,且时,随的增大而增大,
时,随的增大而减小,
因为中有个元素,所以,,即,,
所以解得,
所以的取值范围是.
若,则,有个,
若且,则,有种可能,有个,
若且,,则,
若,则,若,的值可能是或,
若,的值可能是或或,符合条件的有个,
若,,均不为,则,,
,,的值可能分别为:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
符合条件的有个,
,综上得符合条件的有个.
由题意得
所以,,,
所以,能被整除,
,不能被整除,
,能被整除,不能被整除,
,不能被整除,
所以,,,中能被整除,但不能被整除的有个,
,,
,,

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