2024-2025学年江苏省南京航空航天大学苏州附中高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京航空航天大学苏州附中高三（上）期初
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的公差大于，，，则的前项和为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：及圆：，则“”是“直线与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知向量，则( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的离心率为，若椭圆的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则( )
A. B.
C. D. 无法比较与的大小
6.已知，随机变量服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打局，当两人获胜局数不少于局时，则认为这轮训练过关；否则不过关若甲、乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据，，，的平均数为，另一组数据，，，的平均数为若数据，，，，，，，的平均数为，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
10.已知定义在上的函数，导函数为，且满足，，则( )
A. B.
C. 一定为偶函数 D. 一定为奇函数
11.已知三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则( )
A. 平面
B. 当时，平面平面
C. 当时，二面角的最小值为
D. 当时，点到平面的距离小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为______．
13.已知圆台的母线与底面所成角为，下底面的半径为，其体积为，则该圆台的高等于______．
14.在平面直角坐标系中，曲线：的图象是四叶草曲线，设为上任意一点，且满足或，则任取一点，该点为格点横、纵坐标均为整数的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，分别在棱，上，．
判断与平面的位置关系并证明；
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，，点在上，满足，．
若，求的面积；
求余弦值的最小值．
17.本小题分
已知双曲线：的左、右顶点分别为，，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为．
求双曲线的标准方程．
当直线与双曲线交于异于，的两点，时，记直线的斜率为，直线的斜率为是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数为自然对数的底数，．
求函数的最小值；
已知，
若在定义域上单调递增，求实数的取值范围；
若直线与曲线相切，求实数的值．
19.本小题分
有无穷多个首项均为的等比数列，记第个等比数列的第项为，公比为．
若，求的值；
若为给定的值，且对任意有，证明：存在实数，，满足，；
若为等比数列，证明：．
参考答案
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15.解：平面，
证明如下：
以，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
由，
，所以，所以是共面向量．
因为，平面，平面内，
故BD平面；
设平面的一个法向量为，
则，不妨令，得，，
则平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，，，
，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：设，则，，
在中，，
在中，，解得，故，
所以；
设，，则，，
因为，所以，
即，整理得，
在中，
，
当且仅当，即，时取等号，
经检验，此时三角形存在，符合题意，
所以余弦值的最小值为．
17.解：，
，
故当直线过与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行，
设直线：，即，则点到直线的距离为，解得，
双曲线的标准方程为；
由题可知，直线的斜率不等于，
设直线：，，，
由得：，
成立，
，
，
，
，
存在实数，使得成立．
18.解：，定义域为．
，令，得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故的最小值为．
，．
，则．
若在定义域上单调递增，则，
即恒成立，所以，又，解得，即的取值范围为．
若直线与曲线相切，设切点为，则
即化简得
令，
则．
若，则时，，在单调递减，有，
与矛盾，舍去．
若，则时，，在单调递减，有，
与矛盾，舍去．
若，解得或 舍去，经检验符合题意．
综上，所求实数的值为．
19.解：依题意，，所以．
由，得，则，
因此，又，则，
所以存在实数，，满足，．
由为等比数列，得，其中为的公比，则，
当时，，
，而，，
因此，又，则，
于是，即，
所以．
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