2024-2025学年北京市昌平区东方红学校高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市昌平区东方红学校高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数是虚数单位，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.二项式的展开式中的常数项是( )
A. B. C. D.
4.设，是非零向量，则“或”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
6.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. 在上单调递增
C. 在上的最小值为 D. 直线是图象的一条对称轴
7.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
9.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知集合，若，，且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.已知双曲线：，则的右焦点的坐标为 ；的焦点到其渐近线的距离是 ．
13.在中，若，，，则 ______．
14.已知两点，，点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ．
15.若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立或和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”已知函数，，有下列命题：
直线为和的“隔离直线”．
若为和的“隔离直线”，则的范围为
存在实数，使得和有且仅有唯一的“隔离直线”．
和之间一定存在“隔离直线”，且的最小值为．
其中所有正确命题的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，其中再从条件、条件、条件中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
Ⅰ求的值；
Ⅱ当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件：；
条件：是的一个零点；
条件：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上含的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据单位：
甲：，，，，，，，，；
乙：，，，，，；
丙：，，，．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？结论不要求证明
19.本小题分
已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，当时，求的值．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ设，讨论函数在上的单调性；
Ⅲ证明：对任意的，，有．
21.本小题分
已知是无穷数列．给出两个性质：
对于中任意两项，，在中都存在一项，使得；
对于中任意一项，在中都存在两项，，使得．
Ⅰ若，判断数列是否满足性质，说明理由；
Ⅱ若，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；
Ⅲ若是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
答案不唯一

15.
16.解：证明：在三棱柱中，因为平面，平面，
所以．
又，分别为，的中点，则，
所以，
因为，为中点，所以，
又，平面，平面，
所以平面．
由知，，．
又平面，所以平面．
因为平面，所以，
所以，，两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，
于是．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：Ⅰ选时，，即，
最小值是，故选条件时，不存在；
选时，，
即，
所以，，或，．
即，，或，，
因为，所以；
选时，，．
即，
即，
整理得，
利用辅助角公式得，即，由选同理可知；
Ⅱ由Ⅰ可知，则，
此时画出在上的图象，如下所示：
由与直线恰有一个公共点可知或．
18.解：已知甲以往的次成绩中有次获得优秀奖，
若用频率估计概率，
则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为；
若用频率估计概率，
则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
易知的所有可能取值为，，，，
则，，
，，
所以；
易知乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为，
又丙投出过三人成绩中的最大值，在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
19.解：Ⅰ由题意得，
，，，，
椭圆的方程为．
Ⅱ设过点的直线为，，，
联立得，即，
直线与椭圆相交，，，
由韦达定理得，，
，直线为，
令，则，，同理，
，
，，
．
20.解：Ⅰ对函数求导可得：，
将代入原函数可得，将代入导函数可得：，
故在处切线斜率为，故，化简得：；
Ⅱ由Ⅰ有：，
，
令，令，
设，恒成立，
故在上单调递增，又因为，
故在上恒成立，故，
故在上单调递增；
Ⅲ证明：由Ⅱ有在上单调递增，又，
故在恒成立，故在上单调递增，
设，，
由Ⅱ有在单调递增，又因为，所以，
故单调递增，又因为，故，
即：，又因为函数，
故，得证．
21.解：Ⅰ不满足，理由：，不存在一项使得．
Ⅱ数列同时满足性质和性质，
理由：对于任意的和，满足，
因为，且，
所以，则必存在，此时，且满足，性质成立，
对于任意的，欲满足，满足即可，因为，，且，
所以可表示所有正整数，所以必有一组，使，即满足，性质成立．
Ⅲ首先，先证明数列恒正或恒负，
反证法：假设这个递增数列先负后正，
那么必有一项绝对值最小或者有与同时取得绝对值最小，
如仅有一项绝对值最小，此时必有一项，此时
与前提矛盾，
如有两项与 同时取得绝对值最小值，那么必有，
此时，与前提条件矛盾，
所以数列必然恒正或恒负，
在数列恒正的情况下，由知，存在，使得，
因为是递增数列，，
即，所以，此时，，成等比数列，
数学归纳法：
已证时，满足是等比数列，公比，
假设时，也满足是等比数列，公比，
那么由知等于数列的某一项，证明这一项为即可，
反证法：
假设这一项不是，因为是递增数列，所以该项，
那么，由等比数列得，
由性质得，同时，所以，
所以，分别是等比数列中两项，即，，
原式变为，
所以，又因为，，，不存在这组解，所以矛盾，
所以知，前为等比数列，
由数学归纳法知，是等比数列得证，
同理，数列恒负，也是等比数列．
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