2025届全国高考分科模拟调研卷数学(一)（含答案）

2025届全国高考分科模拟调研卷数学 (一)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.双曲线的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.如图，向量，，若，，，为线段的等分点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，“是锐角三角形”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知点，若，是直线上的两点，且对任意，恒成立，则线段的长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.下列结论正确的是( )
A. 若平面，，满足，，则
B. 若直线平面，点，则过点有且仅有一条直线
C. 若，为异面直线，则过有且仅有一个平面与直线平行
D. 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等或互补
8.设，是函数的两个极值点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于复数，，下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 为偶函数 B. 是以为周期的函数
C. 的最大值为 D. 在上单调递减
11.如图，已知正方体的棱长为，点在线段上运动，则( )
A. 平面
B. 存在唯一点，使得与所成角的大小为
C. 与平面所成的角随的增大先变大再变小
D. 若为棱上一动点，则的周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个变量，的一组样本数据如下表所示：
若关于的回归直线方程为，则上表中，行中数据的第分位数为 ．
13.在中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是
14.已知，为椭圆上两动点，为坐标原点，直线与直线的斜率之积为，动点满足，则点的轨迹方程为 若点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
疫情结束以来，为缓解就业压力、解决生计问题，很多城市放开了夜市地推经济很多小朋友对夜市中的“套圈”比较感兴趣在一个“套圈”的摊位上，摊主规定：成功套中商品次或套次后游戏结束，每套一次圈需花费元，每次套中商品的概率为用随机变量表示某位小朋友的“套圈”次数．
求的分布列和数学期望
若“套圈”摊位中，每件商品的平均价格为元，调查发现，一个套圈摊位，每天约有名小朋友玩“套圈”，用数学期望估计该摊主每天的利润保留整数．
16.本小题分
如图，在几何体中，底面为平行四边形，平面，平面平面．
证明：四边形为菱形
若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值．
17.本小题分
已知抛物线，在点处的切线交轴于点．
求的方程
若直线与交于相异两点，均不与点重合，且以线段为直径的圆恒过点，求证：直线过定点．
18.本小题分
在有穷数列中，若满足，，，，，，则称为对称数列．
设是一个项的“对称数列”，其中，，，是以为首项，为公差的等差数列，若，求的值
已知对称数列，，，，，，，，，，设该数列所有项的和为，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性
若，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：的可能取值为，，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以．
小朋友没成功套中商品的概率为，则小朋友能成功套中商品的概率为．
设摊主的利润为，则所以该摊主每天的利润估计为元．
16.解：证明：设，连接，作，交于点，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面
所以
因为平面，平面
所以，
又，平面，且，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为平行四边形，所以四边形为菱形
解：因为平面，，平面，所以，，
又，所以，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设，则，所以，，，，，故，，，．
设平面的一个法向量，则即令，得，，所以，
设平面的一个法向量，则即令，得，，所以，
设平面与平面的夹角大小为，则，，所以．

17.解：由，当时，，所以，所以，
所以在点处的切线方程为，将点代入，得，解得，
所以的方程为．
证明：由题意知与轴不垂直，设的方程为，，，联立方程，得消去并整理，得，则，且，．
由知，则，，若以为直径的圆恒过点，则恒成立，即恒成立，
所以
，
所以，或，
所以，或，由题意知不经过点，所以，
所以，所以的方程为，即，所以直线过定点．
18.解：当，即时，，，
所以，
所以，不合题意，由对称性知，当时，也不合题意
当，即时，，
，
所以，
化简得，解得，或综上所述，或．
，
所以，
所以
令，则，两式相减，得，所以，
令，则，
所以．
19.解：的定义域为，．
若，即，则，所以在上单调递增
若，即，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增
当时，在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以在上恒成立．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上存在唯一零点，即，，
所以，
所以当时，，即
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
令，则方程等价于，
又在上单调递增，当时，，
所以当时，必有，故．
又，，所以，．
所以．
所以，即，故实数的取值范围为．
第1页，共1页