湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题（含答案）

湖南省“湘豫联考”2025届高三9月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，为虚数单位，则“，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知双曲线的离心率为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.数据，，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.在一个不透明箱子中装有个大小、质地完全相同的球，其中白球个，黑球个现从中不放回地依次随机摸出两个球，已知第二次摸出的是黑球，则第一次摸出的是白球的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有( )
A. 若X~B(n,),则E(2X+1)=n+1
B. 若X~B(n,),则D(2X+1)=n
C. 若X~B(n,),则P(X=1)=P(X=n-1)
D. 当样本总数远大于抽取数目时,可以用二项分布近似估计超几何分布
10.一块正方体形木料如图所示，其棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则( )
A.
B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C. 截面的面积为
D. 以点为球心，长为半径的球面与截面的交线长为
11.已知为全集，集合，，，满足：，，为的非空子集，且，，对所有满足上述条件的情形，下列说法一定错误的有( )
A. B.
C. D. 不包含于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设正实数，满足，，则 ．
13.如图，函数的部分图象如图所示，已知点，为的图象与轴的交点，点，分别为图象的最高点和最低点，且，则函数的初相 ．
14.已知方程有四个不同的实数根，，，，满足，且在区间和上各存在唯一整数，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
求的值
设的平分线交于点，若的面积为，求线段的长．
16.本小题分
如图，已知三棱柱的所有棱长均为，且．
求直线与平面所成角的正弦值
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知函数，．
令，讨论函数的单调性
若，且在上恒成立，求的最大值．
18.本小题分
已知椭圆与抛物线有一个公共焦点，且的离心率为，设与交于，两点．
求椭圆的标准方程及线段的长
设为上一点不与，重合，满足直线，均不与相切，设直线，与的另一个交点分别为，，证明：直线过定点．
19.本小题分
如果一个严格单调递增数列的每一项都是正整数，且对任意正整数，恒成立，则称数列为“奇特数列”．
设等差数列的首项，公差为若，，，求证：为“奇特数列”
已知数列，，其中为“奇特数列”，，为大于的最小的的正整数倍，．
(ⅰ)求证：为“奇特数列”
(ⅱ)求证：当时，．
参考答案
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15.解：在中，由余弦定理得，
代入已知条件，得
整理，得所以．
由于，
所以．
又，
所以或．
由点在的平分线上，知点到边和边的距离相等．
设这个距离为，则，
所以．
所以或．
16.解：由题意，得四面体是正四面体．
如图，过点作平面的垂线，交平面于点，
连接，，H.由对称性知，点为正三角形的中心．
易得，，所以．
因为平面，平面，所以H.
所以直线与平面所成的角为A.
因为，
又平面平面，所以直线与平面所成角的正弦值为．
因为平面，平面，所以．
又，且，，所以平面H.又平面，
所以又，所以所以四边形为矩形．
所以．
因为，
所以点到平面的距离为．

17.解：因为，所以．
当时，恒成立，在上单调递增．
当时，令，则，
当时，，在上单调递减
当时，，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递增．
结合与题意可得，
即，即
所以
令，，
则，令，则．
当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减．
所以．
所以，即的最大值为．
18.解：易得抛物线的焦点为，
所以椭圆半焦距．
又的离心率为，所以，所以，
所以．
所以椭圆的标准方程为．
联立解得或
所以线段的长为．
由知点，的坐标分别为，不妨设点在点上方记，则．
易知直线，的斜率存在且不为，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
与抛物线方程联立，得：，
解得，．
所以点的坐标为．
同理，设直线的方程为，
则点的坐标为．
若，则点的坐标为或，
所以，或，均满足．
所以点，的横坐标均为，此时直线的方程为，过点．
若，则直线的方程为
令，解得
．
联立直线与直线的方程，解得，．
由点在椭圆上，得．
化简，整理得．
从而对直线，时，．
故直线过定点．
19.解：由题易知数列的每一项都是正整数，由，得，所以，所以为“奇特数列”．
因为为“奇特数列”，所以严格单调递增，且每一项都是正整数因为，所以严格单调递增，且每一项都是正整数．
又所以，所以，即所以为“奇特数列”．
由的定义，设，要证，即证，只需证，即证，又，所以．
所以因为，所以要证，只需证，即证，只需证，即证．
因为，所以．
因为成立，所以又，所以得证．
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