湖南省常德市桃源县第一中学2025届高三8月模块考试数学试题（含答案）

湖南省桃源县第一中学2025届高三8月模块考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.求值：( )
A. B. C. D.
3.复数满足：其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知离心率为的双曲线与椭圆有相同的焦点，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.定义：为集合相对常数的“余弦方差”，若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在处的切线方程为 ．
13.已知向量，，若，则 ．
14.若函数满足在定义域内的某个集合上，对任意，都有是一个常数，则称在上具有性质．设是在区间上具有性质的函数，且对于任意，都有成立，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记是公差不为的等差数列的前项和，若．
求数列的通项公式；
求使成立的的最小值．
16.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期和单调递减区间．
在锐角中，内角，，的对边分别是，，，且，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值，
18.本小题分
如图，在四边形中，，，，．

求的大小；
求的面积的最大值
若，求的面积．
19.本小题分
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”
若为实数，函数，是“跃点”函数，求的取值范围；
若为非零实数，函数，是“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求的值：
若为实数，函数是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：．
由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为．

16.解：
，
所以函数的最小正周期为，
令，得，，
所以函数的单调递减区间是．
由，得，即得，
又在锐角中，所以，
，解得，
，
，
所以的取值范围是．

17.解：在正方形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
取的中点，连接，由，，，
所以四边形为正方形，则，，即，
又是平面内两条相交直线，
所以平面．
，，
，又平面，
易得两两互相垂直，
以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，，
由知为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则，得，令，解得，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

18.解：在中，由正弦定理可得，
因为，，所以，
因为，所以，所以，
所以；
在中，，
由余弦定理可得
，即，当且仅当时取等号，
所以，
故的面积的最大值为；
因为，所以，
所以
，
在中，由正弦定理可得，即，
所以，
所以，
所以的面积为．

19.解：函数的导函数为，
若函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
又因为，故，即．
因为，所以，
若该函数是“跃点”函数，则方程有解，
即有解，
由因式分解可得，
当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根；
当时，，
当即时，方程为，即方程有两个相等的实数根，
此时方程的根为，则函数有两个不同的“跃点”；
当即时，方程无解，此时方程的根为，则函数有一个“跃点”；
当即时，方程有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“跃点”，
则其中一个是实数根为，则，解得：．
综上：的值为或．
函数，，
若该函数是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，
则方程，即恰有一个实数根，
即，，
令，解得：；令，解得：且，
故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数．
且，
当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图：

故当时，恰有一个实数根，
即时，恰有一个实数根，
所以的取值范围为．

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