5.4.函数的奇偶性（讲义）-高中数学苏教版（2019）必修第一册（无答案）

练习主题 函数的奇偶性
观察函数f(x)=x2和f(x)=(x≠0)的图象，我们发现，函数f(x)=x2的图象关于y轴对称，而函数f(x)=的图象关于原点对称. 对于函数f(x)=x2，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等.例如： f(-2)=4=f(2)， f(-1)=1=f(1)， 实际上，对于函数f(x)=x2定义域R内任意一个x，都有f(-x)=x2=f(x).这时我们称函数f(x)=x2为偶函数. 对于函数f(x)=(x≠0)，当自变量取一对相反数时，它们的函数值也互为相反数.例如： f(-2)==-f(2)， f(-1)=1=-f(1)， 实际上，对于函数f(x)=定义域{x∣x∈R，x≠0}内任意一个x，都有f(-x)==-f(x).这时我们称函数f(x)=(x≠0)为奇函数. 奇函数的的图像特征（几何意义） 如果一个函数是奇函数，那么这个函数的图像关于原点对称；反之，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 偶函数的图像特征（几何意义） 如果一个函数是偶函数，那么这个函数的图像关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数. 例1、判定下列函数是否为偶函数或奇函数： （1）f(x)=x2-1； （2）f(x)=2x； （3）f(x)=； 对应练习： 1、函数f(x)=0(x∈R)是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2、（多选）下列说法中正确的是（ ） A.图象关于坐标原点对称的函数是奇函数 B.图象关于y轴对称的函数是偶函数 C.奇函数的图象一定过坐标原点 D.偶函数的图象一定与y轴相交 3、如图，表示具有奇偶性的函数图象是（ ） A. B. C. D. 4、函数f(x)=x2+的奇偶性为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5、下列函数中是奇函数的是（ ） A.f(x)=x2-2x B.f(x)=2x+1 C.f(x)=x3+x D.f(x)=x3+1 例2、（1）若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a= ，b= . （2）若函数f(x)=为奇函数，则a= . （3）已知函数f(x)= 为奇函数，则a+b= . 对应练习： 1、若函数y=（3x+1）（x-a）为偶函数，则a的值为 . 2、已知函数f(x)=+a（a∈R）为奇函数，则实数a的值是 ． 3、f（x）=ax2+bx-4a是偶函数，其定义域为[a-1，-2a]，则a= ，b= . 奇、偶函数的单调性 根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论： （1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.如若f(x)是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，则f(x)在（-∞，0）上也是减函数；若f(x)是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则f(x)在（-∞，0）上增减函数； （2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取得最值的时候，自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的期间数十年该取得的最值互为相反数，取得最值时，自变量也互为相反数. 奇、偶函数的图象问题 例3、（1）奇函数y=f(x)的局部图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为 . （2）已知f(x)是定义在[-2，0）∪（0，2]上的奇函数，当x＞0时，f(x)的图像如图所示，那么f(x)的值域是 . 对应练习： 1、已知f（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么（ ） A.f(2)=2 B.f(2)=-2 C.f(2)＞-2 D.f(2)＜-2 2、已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域都是[-3，3]，且它们在区间[0，3]的图像如图所示，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 . 例4、（1）已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=-2x2+3x+1，求f(x)的解析式； （2）已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＜0时，f(x)=x（x-1），求当x＞0时f(x)的解析式. 对应练习： 1、设函数f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x2-2x-3，求函数f(x)在R上的解析式． 2、设f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x3+x+1，求函数f(x)在R上的解析式． 巩固练习： 1、下列四个函数中为偶函数的是（ ） A.y=2x B.y= C.y=x2-2x D.y=∣x∣ 2、函数f(x)=的图像关于（ ） A．y轴对称 B．直线y=-x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称 3、函数f(x)=（ ） A.是奇函数 B.是偶函数 C.是非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 4、函数y=x∣x∣+px，x∈R是（ ） A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与p有关 5、已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)=x-2，则f()的值为（ ） A. B. C. D. 6、已知函数f(x)=为奇函数，则实数a=（ ） A.-1 B.1 C.0 D.-2 7、已知定义在[m-5，1-2m]上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=x2-2x，则f（m）= A.-8 B.8 C.-24 D.24 8、已知奇函数f（x）在x≥0时的图像如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ） A.（-2，-1）∪（1，2） B.（-2，-1） C.（-1，0）∪（1，2） D.（-1，0） 9、已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x3+2x2-1，则当x＜0时，f(x)= . 10、已知函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数，则m的值是 ． 11、若函数f（x）=（k-2）x2+（k-1）x+3是偶函数，则f（x）的单调递减区间是 . 12、已知函数f（x）=，若f（a）=1，则f（-a）= . 13、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x2+x-2，则f(x)= ，g(x)= . 14、已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=. （1）求当x＜0时，f（x）的解析式； （2）试确定函数y=f（x）（x≥0）的单调区间，并证明你的结论. 15、已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x-3. （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在[t,t+2]（t∈R）上的最大值M（t）.