江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题（含答案）

江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为( )
A. B. C. D.
3.设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
4.命题，若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设是定义域为的奇函数，，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.我们知道当或时，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.函数，对任意，，且，都有，则的范围是( )
A. B. C. D.
8.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在单调递增
B. 有两个零点
C. 的最小值为
D. 在点处切线为
10.设偶函数的定义域为，若为奇函数，则( )
A.
B.
C. 函数的一个周期是
D.
11.已知，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则 ．
13.设幂函数，则不等式的解集为 ．
14.已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某品牌空调销售商发现：月份到月份，空调月销售量单位：台与月份线性相关根据统计得下表：
月份
销量
计算得月份与销量满足试估计月份该品牌空调的销售量
该销售商从当年的前个月中随机选取个月，记为销量不低于前个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
设公比为正的等比数列前项和为，，且，，成等差数列．
求的通项
若数列满足，，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，是中点，是中点．
证明：直线平面
设，求平面与平面的夹角．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆在第一象限上的点满足，点关于轴的对称点为．
求点的坐标
在轴上任取一点，直线交直线于点，求的最大值
设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程
当时，证明：曲线是轴对称图形
若函数在上单调递减，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：，
，
又回归直线过样本中心点，所以，得，
所以，当时，，
所以预测当年月份该品牌的空调可以销售台；
因为，所以销量不低于前个月的月平均销量的月份数为，，，
所以，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
故数学期望．
16.解：设的公比为，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
又因为，，成等差数列，
所以，
即，
得，所以；
因为，
所以，可得，，，，
因为，
所以，
所以，
所以．
17.证明：取的中点为，连接，，
，分别为，的中点，
且．
又，，
故且，
故四边形为平行四边形，，
平面，平面，
故直线平面；
由底面，且四边形为正方形，得直线，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
所以
令，得．
设平面的法向量为，
因为，
所以，
又因为，
所以
令，得，
所以，．
所以平面与平面的夹角为．
18.解：由椭圆的左，右焦点分别为，，
设，，，因为，可得，
整理得，又因为，
联立方程组
解得，，
所以点坐标为
设点坐标为，则可得点坐标为，
由，
当时，取最大值，最大值为．
点的坐标为，点的坐标为，
则点到线段的距离，若，则点到线段的距离应为，
故点的纵坐标为或，代入椭圆方程，
解得点纵坐标为时，
点的纵坐标为时，
故点的坐标为或

19.解：当时，，所以，
可得，所以，
所以曲线在点处的切线方程为；
证明：当时，，令，
设关于对称，则，
因为，即，
所以，所以时，，所以曲线关于对称；
解：函数的定义域为：，
其导数为，
所以，因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
当时，，不符；
当时，记，
因为，所以，即在上单调递减，所以，
所以函数在上单调递减，
综上，实数的取值范围是．
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