2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：本册综合复习与测试（含解析）

2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：本册综合复习与测试
一、选择题
1．已知和的夹角为,且,,则( )
A. B. C.3 D.9
2．如图所示,在平行四边形中,,G为的中点,则( )
A. B.
C. D.
3．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为( )
A. B. C. D.
4．为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分（十分制）如图所示,假设得分值的中位数为,众数为,平均值为,则( )
A. B. C. D.
5．设,则( )
A. B. C. D.
6．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，交于点D，且，，则a的值为( )
A. B. C.6 D.3
7．已知向量，，且两向量夹角为，则( )
A.18 B.9 C. D.
8．如图，在正四棱锥中，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．甲、乙、丙、丁四人共同参加4项体育比赛,每项比赛的第一名到第四名的得分依次为5分,3分,2分,1分.比赛结束甲获得16分为第一名,乙获得14分为第二名,且没有同分的情况.则( )
A.第三名可能获得10分
B.第四名可能获得6分
C.第三名可能获得某一项比赛的第一名
D.第四名可能在某一项比赛中拿到3分
10．甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和2个白球(两箱中的球除颜色外,没有其他区别),先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球;再从乙箱中随机取出两球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球,则( )
A. B. C. D.
11．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形是( )
A.① B.② C.③ D.④
三、填空题
12．如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是_________.
13．已知某初中七年级有男生600人，女生500人.为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为22的样本进行调查.若样本按比例分配，则抽取的男生人数为________.
14．已知P为空间中任意一点,A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数x的值为______________.
四、解答题
15．如图，在平面四边形中，角，，，.设.
（1）用表示四边形对角线的长；
（2）是否存在使四边形对角线最长，若存在求出及四边形对角线最长的值，若不存在请说明理由.
16．设锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，
（1）求角C；
（2）若边，面积为，求的周长.
17．计算的5次方根.
18．甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（1）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（2）求在第一轮比赛中团体总分为4分的概率；
（3）若团体总分不小于4分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.
19．如图，在中，点P满足，O是线段的中点，过点O的直线与边，分别交于点E，F.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：
故选:C
2．答案：B
解析：
.
故选：B.
3．答案：C
解析：由题意知棱台的两底面面积分别为和，高为，所以棱台的体积，故选C.
4．答案：D
解析：由图,得分从小到大,中位数为第15和16名的平均值,则,
而众数为,平均数,
所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意可得,
则.
故选：B.
6．答案：A
解析：依题意，，即，
则，所以.
故选：A
7．答案：B
解析：依题意，.
故选：B
8．答案：B
解析：连接交于O，连接，
由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.
以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，不妨设，则，，
在中，，
则，，，，，则，
，，
则，
由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由题设,
第一名16分,情况如{2个第一,2个第二}、{3个第一,1个第四},
第二名14分,情况如{1个第一,3个第二}、{2个第一,2个第三},{2个第一,1个第二,1个第四},
所以,第一名与第二名各比赛项目组合情况如下：
第一种情况为：第一名{2个第一,2个第二},第二名{2个第一,2个第三},或{2个第一,1个第二,1个第四},
第二种情况为：第一名{3个第一,1个第四},第二名{1个第一,3个第二},
综上,第三名最好成绩为{2个第二,2个第三},即最高分为10分,故A正确,C错误;
当第三名{2个第二,2个第四},则第四名{2个第三,2个第四}时,此时第四名获得6分,故B正确;
当第三名{1个第二,2个第三,1个第四},则第四名{1个第二,3个第四}时,此时第四名在某一项比赛中拿到3分,故D正确;
故选：ABD.
10．答案：ABD
解析：,A对,,B对.
,C错.
,D对.
11．答案：BD
解析：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.”
根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线；
在图①中，由G、M均为棱的中点可知：；
在图③中，G、M均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交.
故选：BD.
12．答案：3
解析：半径为的半圆弧长为,
圆锥的底面圆的周长为,
圆锥的底面半径为：,所以圆锥的高：,
故答案为：3.
13．答案：12
解析：依题意，样本按比例分配，抽取的男生人数为.
故答案为：12
14．答案：-1
解析：P为空间中任意一点,A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,
但四点共面,且,
则根据向量共面定理,,即.
故答案为：-1.
15．答案：（1）
（2）存在，，的最大值为
解析：（1）设，在三角形中，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，
在中，，所以，
在三角形中，
由余弦定理得
.
（2）存在，理由如下：
由（1）得，
所以当，时，取得最大值为，
此时.
16．答案：（1）；
（2）20.
解析：（1）由及正弦定理，得，
又，得，
所以，又C为锐角，所以；
（2）由（1）得，则，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以的周长为.
17．答案：，，1，2，3，4
解析：设的5次方根为，，
所以，
即，
所以，得，
所以的5次方根是5个复数，记为，，1，2，3，4.
18．答案：（1），
（2）
（3）
解析：（1）三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，
甲、乙都闯关成功的概率为，
甲、丙都闯关成功的概率为，
设乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，
根据独立事件同时发生的概率公式得，
解得，
即乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为.
（2）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一人没过关，
设“团体总分为4分”为事件A，
则，
即团体总分为4分的概率；
（3）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，
设“团体总分不小于4分”为事件B，
由（2）可知团体总分为4分的概率，
团体总分为6分，即3人闯关都成功的概率为，
所以参加下一轮比赛的概率为，
即该小组参加下一轮比赛的概率为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
因为O是线段的中点，所以，
设，则有，
因为C，O，E三点共线，所以，
解得，即，所以，所以；
（2）因为，同理可得，
由（1）可知，，所以，
因为E，O，F三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.