2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：第11章 解三角形（含解析）

2024-2025学年高一数学苏教版必修第二册单元测试：第11章 解三角形
一、选择题
1．中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,,则B的大小为( )
A. B. C.或 D.或
2．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的形状为( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则( )
A. B. C. D.
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则( )
A. B. C.或 D.或
5．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
6．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,,则( )
A. B. C. D.
7．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为45°，，则两山顶A、C之间的距离为( )
A. B. C. D.
8．如图，在平面四边形中，若，，，，则( )
A. B.2 C. D.
二、多项选择题
9．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，， ，则b＝( )
A.2 B.3 C.4 D.
10．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则b的值可能是( )
A.1 B. C. D.2
11．据统计,从1932年至1990年,历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动,打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具:测角仪 米尺 量角器.下面是四个小组设计的测量方案,其中可能测量出大佛高度的方案有( )
A.把两只佛脚底部看作M,N两点,分别测量佛顶的仰角,和的距离
B.在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为,再面对大佛前行S米,测得佛顶的仰角为
C.高为h的同学站在佛脚平台上,在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角,
D.在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角,,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部的张角
三、填空题
12．在中,,,,的角平分线交AB于D,则__________.
13．在中,角A,B,C所对的分别为a,b,若角A为锐角,,,则的周长可能为__________.(写出一个符合题意的答案即可)
14．如图，一栋建筑物AB高，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为，则通信塔CD的高为_______m.
四、解答题
15．在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知.
(1)求角A;
(2)设边BC的中点为D,若,且的面积为,求AD的长.
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝7，.
（1）若，求b的值；
（2）若，求的面积.
17．如图,在平面四边形ABCD中,,,,.
(1)若,,求的大小;
(2)若,求四边形ABCD面积的最大值.
18．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
(1)求C;
(2)若,求的面积的最大值.
19．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若,求C;
(2)证明：
参考答案
1．答案：D
解析：由正弦定理可得,
由于,,所以或,
故选:D
2．答案：D
解析：,,
,
,
或,或,
故选:D.
3．答案：B
解析：在中，由正弦定理可得，即，
解得，且不等于0，
当A为锐角时，，
当A为钝角时，.
综上所述：.
故选：B.
4．答案：C
解析：由题意，的面积，则，又，所以，所以或.故选：C.
5．答案：C
解析：由正弦定理边角互化可知化简为，即，，，，解得：，根据面积公式可知.故选：C.
6．答案：B
解析：由余弦定理,可得,即.
故选:B
7．答案：B
解析：过A作，垂足为F，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
在中，，
在直角三角形中，，
所以.
故选：B.
8．答案：D
解析：在中，由余弦定理，
得，所以，
因为，所以，
在中，，
由正弦定理，得，所以.
故选:D.
9．答案：AC
解析：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，
由余弦定理，得，，即，或.
故选：AC.
10．答案：AD
解析：在中，，，，由余弦定理得：
，即，解得或，
所以b的值可能是1或2.
故选：AD.
11．答案：BCD
解析：对于A:如果M,N两点与佛像底部不在一条直线上时,就不能测量出旗杆的高度,故A不正确．
对于B:
在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为,再面对大佛前行米,测得佛顶的仰角为,佛像高度为CD,
在中,,
在中,,
所以,即,佛像高度,故B正确;
对于C:如下图,
在中由正弦定理求AD,则佛像的高,故C正确;
对于D:如下图,
在佛脚平台上寻找两点A,B分别测量佛顶的仰角,,再测量A,B两点间距离和两点相对于大佛底部的张角,
在直角三角形ADC,BDC中用CD来表示AC,BC,在中由余弦定理就可以计算出佛像高度CD,故D正确;
故选:BCD.
12．答案：
解析：因为在中,,,,
由余弦定理可得:,解得
由正弦定理可得:,即,解得:,
因为的角平分线交AB于D,所以,由角平分线性质可得:,所以,
在中,由正弦定理可得:,即,解得:
故答案为:
13．答案：9
解析：由余弦定理可得,
即,
又角A为锐角,所以,则,
所以,则的周长.
14．答案：60
解析：由题意可知：，，由三角形内角和定理可知，在中，，在中，由正弦定理可知，在，
.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,结合正弦定理得,
于是,,
因为,得;
(2),得,
由,得,所以,
又,所以.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中，因为，且，所以，根据正弦定理，及，，解得.
（2）在中，因为，所以.
当时，根据余弦定理，及，，
得，所以，所以解得或.
所以的面积.
当时，根据余弦定理，及，，得，此时方程组无解.
综上，的面积为.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知,,得,
所以
在中,因为,,所以,又,
由正弦定理得,得,
又,所以.
(2)在中,由已知,,,
所以,
由余弦定理,
在中,因为,
又,所以,
所以,
所以ABCD的面积,
因为,所以,当,即时,,故四边形ABCD面积的最大值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
由正弦定理可得,则,
且,所以.
(2)由余弦定理可得,即,
可得,即,
当且仅当时,等号成立,
所以的面积的最大值为.
19．答案：(1);
(2)证明见解析.
解析：(1)由,可得,,而,
所以,即有,而,,显然,所以,,
而,,所以.
(2)由可得,
,再由正弦定理可得,
,然后根据余弦定理可知,
,
化简得：,故原等式成立.