广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·南山开学考）在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形的特点和性质，沿对称轴把图形对折两边的图形完全重合，每组对应点到对称轴的距离相等；据此判断：平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；圆既是中心对称图形又是轴对称图形.所以上述五种图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有：菱形、矩形、正方形、圆.故选D.
2．（2024九上·南山开学考）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程中含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
C、方程整理得，满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当时，方程不满足一元二次方程的定义，此项不符题意.
故答案为：C．
【分析】形如“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)”的方程，就是一元二次方程，据此逐一判断得出答案.
3．（2024九上·南山开学考）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：代x=0入原式
得a2-1=0
解得a=1
一元二次方程有意义，a-10，即a1
∴a=-1
故答案为：B
【分析】题目中明确说是关于x的一元二次方程，因此要保证二次项系数不为0.
4．（2024九上·南山开学考）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：连接AC，如图：
∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），
∴AC＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝5，
故答案为：B．
【分析】利用平面内两点间的距离公式算出AC的长，进而根据矩形对角线相等得出BD得长．
5．（2024九上·南山开学考）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：当时，方程化为，解得；
当时，则，解得且，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：C．
【分析】分类讨论：当k=0时，此方程是一元一次方程，有一个实数根；当k≠0时，此方程是一元二次方程，根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，列出不等式求解得出k的取值范围，综上可得答案.
6．（2024九上·南山开学考）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故C符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断.
7．（2024九上·南山开学考）如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF∥l2交DE于点F，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵l1∥l2，BF∥l2，
∴BF∥l1
∴，
∴，
∵BF∥l2，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点B作BF∥l2交DE于点F，根据正多边形的每一个内角都相等及内角和公式可算出∠ABC的度数，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥l1，再由二直线平行，内错角相等求出∠ABF的度数，进而由角的构成算出∠CBF的度数，最后根据二直线平行，同旁内角互补可算出∠2的度数.
8．（2024九上·南山开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；探索规律-图形的递变规律；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：正方形的边长为1，，，四边形、、、都是正方形，
，，每个内角都为，
∴，
，
则，
同理可得：，
故正方形的边长是：，
则正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质四边相等，四个角都是直角得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，每个内角都为，由二直线平行，同位角相等，得∠B2C2E2=∠B3C3E3=60°，根据平角定义及直角三角形量锐角互余可求出∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，由∠D1C1E1的正弦函数可求出D1E1，由∠C2B2E2的余弦函数可求出B2C2，同理求出B3C3，通过观察发现规律正方形AnBnCnDn的边长是：，然后将n=2017代入计算可得答案.
9．（2024九上·南山开学考）因式分解 = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：两项都含有公因式a，由此利用提取公因式法分解因式.
10．（2024九上·南山开学考）将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x2-4化为一般形式是 .
【答案】x2-3x+2=0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：(x-2)(2x+1)=x2-4，去括号得2x2+x-4x-2= x2-4，
移项得2x2+x-4x-2- x2+4=0，
合并同类项得x2-3x+2=0．
故答案为：x2-3x+2=0．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项；从而将原方程通过去括号、移项、合并同类项化为一般形式即可.
11．（2024九上·南山开学考）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 .
【答案】k≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得：k≤1 .
故答案为：k≤1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
12．（2024九上·南山开学考）如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC
∵DE⊥AB，
∴OE＝BD，
∴OB＝OE＝，BD＝2，
在Rt△AOB中，OA＝
∴AC＝2
∴菱形的面积为：＝＝ 2．
故答案为：2．
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易知BD＝2OE＝2；在Rt△AOB中，根据勾股定理可求出AC＝2，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可解答．
13．（2024九上·南山开学考）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长到，使，连接，，
四边形是矩形，
，，，．
．
，，
．
，
，
当点、、共线时，最小，最小值为的长．
最小值为．
，
，
在中，，，
，
最小值为．
故答案为：．
【分析】延长DA到G，使DG=DB，连接FG，CG，由矩形性质得AD∥BC，AD=BC=2，DC=AB=1，∠BAD=∠GDC=90°，由二直线平行，内错角相等得∠GDF=∠EBD，从而由SAS证△DGF≌△BDE，由全等三角形的对应边相等得FG=DE，由等量代换及两点之间线段最短得DE+CF=FG+CF≥GC，故当 G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG的长，然后依次利用勾股定理算出BD、CG即可．
14．（2024九上·南山开学考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：或，
解得或，
∴原方程的解为：，；
（2）解：
整理得，
，
，
∴，
∴或，
∴原方程的解为：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此题形如“(x+a)2=b(b≥0)”的形式，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的根；
（2）首先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
（1）解：
或，
解得或，
∴原方程的解为：，；
（2）解：
，
，
，
∴，
∴或，
∴原方程的解为：，．
15．（2024九上·南山开学考）先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，并将除式的分子、分母分别利用完全平方公式及平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，再计算分式乘法约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值，将符合题意的字母的值代入求解．
16．（2024九上·南山开学考）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所 熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组，并掌握 了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？ 例题：解一元二次不等式 ，分析：了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把写成的形式，从面将转化为， 然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．
解：
可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②
解不等式组①，
解不等式组②，
即一元二次不等式的解集为
拓展应用：
求一元二次不等式的解集．
求分式不等式的解集．
求一元二次不等式的解集．
【答案】解：（1）∵x2-16=(x+4)(x-4)
∴x2-16＞0可化为
(x+4)(x-4)＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①②，
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴(x+4)(x-4)＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或x＜-4；
（2）∵
∴或
解得：.
（3）∵2x2-3x=x（2x-3）
∴2x2-3x＜0可化为 x（2x-3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得或，
解不等式组①，得0＜x＜，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2-3x＜0的解集为0＜x＜．
【知识点】解一元一次不等式组；数学思想
【解析】【分析】（1）模仿题干给出的例子，求解即可；
（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）首先举哀那个原不等式整理成一般形式，然后将一元二次不等式的左边利用提取公因式法因式分解，进而根据“两数相乘，异号得负”化为两个一元一次不等式组求解即可.
17．（2024九上·南山开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
【答案】（1）证明：∵ DE∥AC，CE∥BD ，
四边形OCED是平行四边形，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
平行四边形OCED是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB=CD，
又∵，，
，
，
连接OE，交CD于点F，
四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，OE=2OF
为BD中点，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的对角线相等且互相平分求出OC=OD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）根据含30°角直角三角形性质得BC=2，进而根据勾股定理及矩形的对边相等得AB=DC=2；连接OE，交CD于点F，根据菱形的对角线互相平分得出F为CD中点，由三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”求出OF=BC=1，则OE=2OF=2，最后根据菱形面积等于两对角线乘积的一半求出菱形的面积．
18．（2024九上·南山开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．
素材二 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二 探究等腰三角形面积 假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式．
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值」
【答案】任务一：解：他的说法对，理由如下：
作于点，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
．
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务二：解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形，且点A到的距离为1.2米，米，
，
等腰三角形的面积为（平方米），
．
任务三：解：米，米．
长方形的面积为（平方米），
甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
又甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形，
，
解得，
长度的最大值为米．
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一，作BH⊥DC于点H，由矩形性质及垂直定义可得∠BHC=∠DGC，从而可由AAS判断出△BHC≌△GDC，进而根据全等三角形的对应边相等可得DG=BH，从而可得结论；
任务二，利用三角形面积公式，即可建立S关于x的函数表达式；
任务三，利用总费用为制作三角形部分所需费用加上制作矩形部分所需费用及总费用不超过180元，建立不等式求解，并求出最大值即可.
19．（2024九上·南山开学考）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形中，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（不需要证明）
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取的中点H，连接，则，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立：______（填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为边上（不含点B，C）的某一点时，，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标______，以及的面积______．
【答案】（1）证明： 小颖的观点正确 ，理由如下：
如图2，在上截取，连接，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
四边形是正方形，
，，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）是
（3），
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（2）解：如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE．
，，
，
，
四边形是正方形
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：是；
（3）解：如图4，在BA上截取BH=BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于点M，
设点，
，
，
由（1）可得，根据等腰直角三角形性质得，
，
平分，
，
，
，
，
，
点，
点F恰好落在直线上，
，
，
点，点，
在中，
，
在中，
，
．
故答案为：，．
【分析】（1）在AB上截取BH=BE，连接HE，由正方形的性质得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，由角平分线的定义、等腰直角三角形性质及邻补角可推出∠AHE=∠ECF=135°，由等量减去等量差相等推出AH=CE，由同角的余角相等推出∠FEC=∠EAH，从而用ASA判断出△AHE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等，得AE=EF；
（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，由等量加等量和相等推出BN=BE，由等腰直角三角形性质及角平分线定义得∠N=∠FCE=45°，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠BEA，由等量加等量和相等推出∠NAE=∠CEF，从而由ASA证△ANE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等得AE=EF；
（3）如图4，在BA上截取BH=BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可得△AHE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等得，进而再根据等腰直角三角形的性质得，则BM=1+a，从而可得F（1+a，a），将点F的坐标代入直线y=-2x+3可求出a的值，从而得到点E、F的坐标，然后利用勾股定理算出AE、EF，最后根据三角形面积计算公式算出△AEF的面积即可.
（1）证明：如图2，在上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图3，在的延长线上取一点，使，连接．
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：是．
（3）解：如图4，在上截取，连接，过点作轴于点，
设点，
，
，
由（1）可得，
，
平分，
，
，
，
，
，
点，
点F恰好落在直线上，
，
，
点，点，
在中，
，
在中，
，
．
故答案为：，．
20．（2024九上·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在直线折叠，点B落在点D处，与轴相交于点，矩形的边，的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．
（1）线段______，______；
（2）求证：，并求出线段的长；
（3）直接写出点D的坐标______；
（4）若F是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8，4
（2）证明：四边形是矩形，
，，
把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
，
∴，
，
即，
；
（3）
（4）解：存在，点P的坐标为：，，，
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）解方程，
∴(x-8)(x-4)=0，
∴x-8=0或x-4=0，
∴，，
，
，；
故答案为：8；4；
（3）过作轴于，
则，
，
，
∴，
，，
，
；
故答案为：；
（4）解：存在，
∵以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，
∴由菱形的四边相等得，以点E，C，F为顶点的三角形是等腰三角形，
在中，由勾股定理得，
①，
由（1）（2）得，，
∴在中，由勾股定理得，
而，
∴，
∴此时点F与点A重合，
此时为菱形，
∴
∴；
②，点F在x轴上方，过点作，
则，
∴
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样，
∵，，，
∴，
③，点F在x轴下方，
同上可求，
同上可求；
④当时，
设直线的表达式为：，
代入点得，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设，
由得，，
解得：，
∴，
同理由平移得，，
综上所述，点P的坐标为：，，，．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程求出方程的两根，再结合OA＞OC可得答案；
（2）由矩形性质得到AB=OC，，根据折叠的性质得到，，从而由AAS判断出△ADE≌△COE，由全等三角形的对应边相等得AE=CE，最后在△OCE中，利用勾股定理建立方程可求出OE的长；
（3）过D作DM⊥x轴于M，由垂直同一直线的两条直线互相平行得OE∥DM，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OCE∽△MCD，由相似三角形对应边建立方程求出CM、DM的长，于是得到结论；
（4）将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，①，此时点F与点A重合，此时为菱形，由得；②，点F在x轴上方，过点作，则，故，解得：，可求，由平移性质得到；③，点F在x轴下方，同上可求，同上可求；④当时，求得直线的表达式为：，设，由得，，解得：，故，同理由平移得，．
（1）解：解方程
得，，，
，
，；
（2）证明：四边形是矩形，
，，
把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
，
∴，
，
即，
；
（3）解：过作轴于，
则，
，
，
∴，
，，
，
；
（4）解：存在，
∵以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，
∴由菱形的四边相等得，以点E，C，F为顶点的三角形是等腰三角形，
在中，由勾股定理得，
①，
由（1）（2）得，，
∴在中，由勾股定理得，
而，
∴，
∴此时点F与点A重合，
此时为菱形，
∴
∴；
②，点F在x轴上方，过点作，
则，
∴
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样，
∵，，，
∴，
③，点F在x轴下方，
同上可求，
同上可求；
④当时，
设直线的表达式为：，
代入点得，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设，
由得，，
解得：，
∴，
同理由平移得，，
综上所述，点P的坐标为：，，，．
1 / 1广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·南山开学考）在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024九上·南山开学考）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·南山开学考）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．
4．（2024九上·南山开学考）如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），则BD的长是（ ）
A． B．5 C．3 D．4
5．（2024九上·南山开学考）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
6．（2024九上·南山开学考）下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
7．（2024九上·南山开学考）如图，五边形是正五边形，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·南山开学考）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·南山开学考）因式分解 = .
10．（2024九上·南山开学考）将一元二次方程(x-2)(2x+1)=x2-4化为一般形式是 .
11．（2024九上·南山开学考）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是 .
12．（2024九上·南山开学考）如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为 ．
13．（2024九上·南山开学考）如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为 ．
14．（2024九上·南山开学考）解方程：
（1）；
（2）．
15．（2024九上·南山开学考）先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．
16．（2024九上·南山开学考）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所 熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组，并掌握 了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？ 例题：解一元二次不等式 ，分析：了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把写成的形式，从面将转化为， 然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．
解：
可化为
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②
解不等式组①，
解不等式组②，
即一元二次不等式的解集为
拓展应用：
求一元二次不等式的解集．
求分式不等式的解集．
求一元二次不等式的解集．
17．（2024九上·南山开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．
18．（2024九上·南山开学考）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拍照打卡板
素材一 设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点B，F，G，C四点共线．其中，点A到的距离为1.2米，米，米．
素材二 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
问题解决
任务一 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务二 探究等腰三角形面积 假设长度为x米，等腰三角形的面积为S．求S关于x的函数表达式．
任务三 确定拍照打卡板 小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定长度的最大值」
19．（2024九上·南山开学考）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形中，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（不需要证明）
经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取的中点H，连接，则，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边的中点”改为“点E是边上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立：______（填“是”或“否”）；
（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为边上（不含点B，C）的某一点时，，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标______，以及的面积______．
20．（2024九上·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在直线折叠，点B落在点D处，与轴相交于点，矩形的边，的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．
（1）线段______，______；
（2）求证：，并求出线段的长；
（3）直接写出点D的坐标______；
（4）若F是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形的特点和性质，沿对称轴把图形对折两边的图形完全重合，每组对应点到对称轴的距离相等；据此判断：平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；圆既是中心对称图形又是轴对称图形.所以上述五种图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有：菱形、矩形、正方形、圆.故选D.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、方程中含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程中含有2个未知数，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
C、方程整理得，满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当时，方程不满足一元二次方程的定义，此项不符题意.
故答案为：C．
【分析】形如“ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)”的方程，就是一元二次方程，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：代x=0入原式
得a2-1=0
解得a=1
一元二次方程有意义，a-10，即a1
∴a=-1
故答案为：B
【分析】题目中明确说是关于x的一元二次方程，因此要保证二次项系数不为0.
4．【答案】B
【知识点】矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：连接AC，如图：
∵点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（﹣2，4），
∴AC＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝5，
故答案为：B．
【分析】利用平面内两点间的距离公式算出AC的长，进而根据矩形对角线相等得出BD得长．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：当时，方程化为，解得；
当时，则，解得且，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：C．
【分析】分类讨论：当k=0时，此方程是一元一次方程，有一个实数根；当k≠0时，此方程是一元二次方程，根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，列出不等式求解得出k的取值范围，综上可得答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故B不符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，故C符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF∥l2交DE于点F，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵l1∥l2，BF∥l2，
∴BF∥l1
∴，
∴，
∵BF∥l2，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点B作BF∥l2交DE于点F，根据正多边形的每一个内角都相等及内角和公式可算出∠ABC的度数，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥l1，再由二直线平行，内错角相等求出∠ABF的度数，进而由角的构成算出∠CBF的度数，最后根据二直线平行，同旁内角互补可算出∠2的度数.
8．【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；探索规律-图形的递变规律；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：正方形的边长为1，，，四边形、、、都是正方形，
，，每个内角都为，
∴，
，
则，
同理可得：，
故正方形的边长是：，
则正方形的边长为：，
故答案为：A．
【分析】由正方形的性质四边相等，四个角都是直角得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，每个内角都为，由二直线平行，同位角相等，得∠B2C2E2=∠B3C3E3=60°，根据平角定义及直角三角形量锐角互余可求出∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，由∠D1C1E1的正弦函数可求出D1E1，由∠C2B2E2的余弦函数可求出B2C2，同理求出B3C3，通过观察发现规律正方形AnBnCnDn的边长是：，然后将n=2017代入计算可得答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：两项都含有公因式a，由此利用提取公因式法分解因式.
10．【答案】x2-3x+2=0
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：(x-2)(2x+1)=x2-4，去括号得2x2+x-4x-2= x2-4，
移项得2x2+x-4x-2- x2+4=0，
合并同类项得x2-3x+2=0．
故答案为：x2-3x+2=0．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项；从而将原方程通过去括号、移项、合并同类项化为一般形式即可.
11．【答案】k≤1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： 关于x的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得：k≤1 .
故答案为：k≤1.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC
∵DE⊥AB，
∴OE＝BD，
∴OB＝OE＝，BD＝2，
在Rt△AOB中，OA＝
∴AC＝2
∴菱形的面积为：＝＝ 2．
故答案为：2．
【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易知BD＝2OE＝2；在Rt△AOB中，根据勾股定理可求出AC＝2，最后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可解答．
13．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长到，使，连接，，
四边形是矩形，
，，，．
．
，，
．
，
，
当点、、共线时，最小，最小值为的长．
最小值为．
，
，
在中，，，
，
最小值为．
故答案为：．
【分析】延长DA到G，使DG=DB，连接FG，CG，由矩形性质得AD∥BC，AD=BC=2，DC=AB=1，∠BAD=∠GDC=90°，由二直线平行，内错角相等得∠GDF=∠EBD，从而由SAS证△DGF≌△BDE，由全等三角形的对应边相等得FG=DE，由等量代换及两点之间线段最短得DE+CF=FG+CF≥GC，故当 G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG的长，然后依次利用勾股定理算出BD、CG即可．
14．【答案】（1）解：或，
解得或，
∴原方程的解为：，；
（2）解：
整理得，
，
，
∴，
∴或，
∴原方程的解为：，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此题形如“(x+a)2=b(b≥0)”的形式，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的根；
（2）首先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
（1）解：
或，
解得或，
∴原方程的解为：，；
（2）解：
，
，
，
∴，
∴或，
∴原方程的解为：，．
15．【答案】解：
，
∵，，
∴当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，并将除式的分子、分母分别利用完全平方公式及平方差公式分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，将除法转变为乘法，再计算分式乘法约分化简，最后根据分式有意义的条件确定a的值，将符合题意的字母的值代入求解．
16．【答案】解：（1）∵x2-16=(x+4)(x-4)
∴x2-16＞0可化为
(x+4)(x-4)＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①②，
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴(x+4)(x-4)＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x2-16＞0的解集为x＞4或x＜-4；
（2）∵
∴或
解得：.
（3）∵2x2-3x=x（2x-3）
∴2x2-3x＜0可化为 x（2x-3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得或，
解不等式组①，得0＜x＜，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x2-3x＜0的解集为0＜x＜．
【知识点】解一元一次不等式组；数学思想
【解析】【分析】（1）模仿题干给出的例子，求解即可；
（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）首先举哀那个原不等式整理成一般形式，然后将一元二次不等式的左边利用提取公因式法因式分解，进而根据“两数相乘，异号得负”化为两个一元一次不等式组求解即可.
17．【答案】（1）证明：∵ DE∥AC，CE∥BD ，
四边形OCED是平行四边形，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
平行四边形OCED是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB=CD，
又∵，，
，
，
连接OE，交CD于点F，
四边形OCED为菱形，
∴F为CD中点，OE=2OF
为BD中点，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的对角线相等且互相平分求出OC=OD，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）根据含30°角直角三角形性质得BC=2，进而根据勾股定理及矩形的对边相等得AB=DC=2；连接OE，交CD于点F，根据菱形的对角线互相平分得出F为CD中点，由三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”求出OF=BC=1，则OE=2OF=2，最后根据菱形面积等于两对角线乘积的一半求出菱形的面积．
18．【答案】任务一：解：他的说法对，理由如下：
作于点，
，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
．
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务二：解：该打卡板是轴对称图形，四边形是长方形，且点A到的距离为1.2米，米，
，
等腰三角形的面积为（平方米），
．
任务三：解：米，米．
长方形的面积为（平方米），
甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．
又甲、乙两种材料分别制作长方形与等腰三角形，
，
解得，
长度的最大值为米．
【知识点】一元一次不等式的应用；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】任务一，作BH⊥DC于点H，由矩形性质及垂直定义可得∠BHC=∠DGC，从而可由AAS判断出△BHC≌△GDC，进而根据全等三角形的对应边相等可得DG=BH，从而可得结论；
任务二，利用三角形面积公式，即可建立S关于x的函数表达式；
任务三，利用总费用为制作三角形部分所需费用加上制作矩形部分所需费用及总费用不超过180元，建立不等式求解，并求出最大值即可.
19．【答案】（1）证明： 小颖的观点正确 ，理由如下：
如图2，在上截取，连接，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
四边形是正方形，
，，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）是
（3），
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（2）解：如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE．
，，
，
，
四边形是正方形
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：是；
（3）解：如图4，在BA上截取BH=BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于点M，
设点，
，
，
由（1）可得，根据等腰直角三角形性质得，
，
平分，
，
，
，
，
，
点，
点F恰好落在直线上，
，
，
点，点，
在中，
，
在中，
，
．
故答案为：，．
【分析】（1）在AB上截取BH=BE，连接HE，由正方形的性质得AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，由角平分线的定义、等腰直角三角形性质及邻补角可推出∠AHE=∠ECF=135°，由等量减去等量差相等推出AH=CE，由同角的余角相等推出∠FEC=∠EAH，从而用ASA判断出△AHE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等，得AE=EF；
（2）如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，由等量加等量和相等推出BN=BE，由等腰直角三角形性质及角平分线定义得∠N=∠FCE=45°，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠BEA，由等量加等量和相等推出∠NAE=∠CEF，从而由ASA证△ANE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等得AE=EF；
（3）如图4，在BA上截取BH=BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于点M，由（1）可得△AHE≌△ECF，由全等三角形的对应边相等得，进而再根据等腰直角三角形的性质得，则BM=1+a，从而可得F（1+a，a），将点F的坐标代入直线y=-2x+3可求出a的值，从而得到点E、F的坐标，然后利用勾股定理算出AE、EF，最后根据三角形面积计算公式算出△AEF的面积即可.
（1）证明：如图2，在上截取，连接，
四边形是正方形，
，，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图3，在的延长线上取一点，使，连接．
，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：是．
（3）解：如图4，在上截取，连接，过点作轴于点，
设点，
，
，
由（1）可得，
，
平分，
，
，
，
，
，
点，
点F恰好落在直线上，
，
，
点，点，
在中，
，
在中，
，
．
故答案为：，．
20．【答案】（1）8，4
（2）证明：四边形是矩形，
，，
把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
，
∴，
，
即，
；
（3）
（4）解：存在，点P的坐标为：，，，
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）解方程，
∴(x-8)(x-4)=0，
∴x-8=0或x-4=0，
∴，，
，
，；
故答案为：8；4；
（3）过作轴于，
则，
，
，
∴，
，，
，
；
故答案为：；
（4）解：存在，
∵以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，
∴由菱形的四边相等得，以点E，C，F为顶点的三角形是等腰三角形，
在中，由勾股定理得，
①，
由（1）（2）得，，
∴在中，由勾股定理得，
而，
∴，
∴此时点F与点A重合，
此时为菱形，
∴
∴；
②，点F在x轴上方，过点作，
则，
∴
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样，
∵，，，
∴，
③，点F在x轴下方，
同上可求，
同上可求；
④当时，
设直线的表达式为：，
代入点得，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设，
由得，，
解得：，
∴，
同理由平移得，，
综上所述，点P的坐标为：，，，．
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程求出方程的两根，再结合OA＞OC可得答案；
（2）由矩形性质得到AB=OC，，根据折叠的性质得到，，从而由AAS判断出△ADE≌△COE，由全等三角形的对应边相等得AE=CE，最后在△OCE中，利用勾股定理建立方程可求出OE的长；
（3）过D作DM⊥x轴于M，由垂直同一直线的两条直线互相平行得OE∥DM，由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OCE∽△MCD，由相似三角形对应边建立方程求出CM、DM的长，于是得到结论；
（4）将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，①，此时点F与点A重合，此时为菱形，由得；②，点F在x轴上方，过点作，则，故，解得：，可求，由平移性质得到；③，点F在x轴下方，同上可求，同上可求；④当时，求得直线的表达式为：，设，由得，，解得：，故，同理由平移得，．
（1）解：解方程
得，，，
，
，；
（2）证明：四边形是矩形，
，，
把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
，
∴，
，
即，
；
（3）解：过作轴于，
则，
，
，
∴，
，，
，
；
（4）解：存在，
∵以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，
∴由菱形的四边相等得，以点E，C，F为顶点的三角形是等腰三角形，
在中，由勾股定理得，
①，
由（1）（2）得，，
∴在中，由勾股定理得，
而，
∴，
∴此时点F与点A重合，
此时为菱形，
∴
∴；
②，点F在x轴上方，过点作，
则，
∴
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样，
∵，，，
∴，
③，点F在x轴下方，
同上可求，
同上可求；
④当时，
设直线的表达式为：，
代入点得，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设，
由得，，
解得：，
∴，
同理由平移得，，
综上所述，点P的坐标为：，，，．
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