四川省乐山市沙湾区2024年九年级数学调研考试试卷
1．（2024·沙湾模拟）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-2的相反数为2.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义进行求解，即可得到答案.
2．（2024·沙湾模拟）计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项的法则进行计算，即可得到答案.
3．（2024·沙湾模拟）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AB//CD，EF⊥AB，∠1=60°，
∴EF⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∴∠2=180°-∠AFE-60°=30°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质以及垂直的定义得到∠AFE=90°，利用三角形内角和即可求得∠2的度数.
4．（2024·沙湾模拟）方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-x=0，
x(x-1)=0，
x=0，x-1=0，
x1=0，x2=1，
故答案为：C．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
5．（2024·沙湾模拟）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设甲乙两人相遇时间为t，则甲斜向北偏东走了（7t-10）步，乙走了3t步，
根据题意可知，，
即，
∴3t=10.5，
故乙走的步数是10.5步.
故答案为：D.
【分析】设甲乙两人相遇时间为t，则甲斜向北偏东走了（7t-10）步，乙走了3t步，根据题意列出关于t的一元二次方程，解方程代入3t即可得到答案.
6．（2024·沙湾模拟）如图，在半径为的⊙O中，弦，点是优弧上一点(不与，重合)，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AO交圆与点D，连接BD，
∴AD为 ⊙O 的直径，
∴∠ABD=90°，
∵AD=10，AB=6，
在中，
，
∵∠ADB与∠ACB同弧，
∴∠D=∠C，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接AO交圆与点D，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD的长，再利用圆周角定理以及余弦定理即可得到答案.
7．（2024·沙湾模拟）若，、，在函数的图象上，则、的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵ 1>-2，
∴a故答案为：C.
【分析】根据一次函数的增减性，得到y随x的增大而减小，比较A、B两点的横坐标即可得到答案.
8．（2024·沙湾模拟）从、 、、…、这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：、 、、…、这五个数中无理数为，，
∴从中随机抽取一个数，抽到无理数的概率为.
故答案为：B.
【分析】从5个数中找出无理数的个数，根据概率公式即可得到答案.
9．（2024·沙湾模拟） 如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：
连接AC，，
∵， ，
∴，
∴，，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接AC，，根据勾股定理求出AC的长，根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得到答案.
10．（2024·沙湾模拟）如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：作BE⊥y轴于E，作CF⊥y轴于F，设直线与x轴交于点D，如图，
当y=0时，，
∴，即，
当x=0时，y=b，
∴A（0，b），即OA=b，
∵，
∴∠ADO=30°，
∵ 直线与双曲线在第一象限交于、两点，
∴，
即，
∵，即，
∵，
∴，，
∵AB·AC=4，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】作BE⊥y轴于E，作CF⊥y轴于F，设直线与x轴交于点D，分别求出OA与OD的长，利用特殊角的三角函数值得到∠ADO=30°，再根据直线与双曲线在第一象限交于、两点，得到，根据韦达定理得到，利用特殊角的三角函数值表示出AB与AC的值，根据列出关于k的方程，解方程即可得到答案.
11．（2024·沙湾模拟）的算术平方根 .
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根为3.
故答案为：3.
【分析】根据算术平方根的定义进行求解，即可得到答案.
12．（2024·沙湾模拟）设＝，＝，用的式子表示 .
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵＝，＝ ，
∴.
故答案为：3ab.
【分析】将原式化为最简二次根式，将＝，＝ 代入化简后的式子即可得到答案.
13．（2024·沙湾模拟）如图，小华用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，若小华离树的距离米，小华的身高米，则这棵树的高度 .
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，∠BED=90°，∠DBE=30°，四边形ABCE为矩形，
∴BE=AC=6，，
∴，
∴，
∴，
∴ 这棵树的高度米.
故答案为： .
【分析】根据题意得到∠BED=90°，∠DBE=30°，四边形ABCE为矩形，求出BE、CE的长，根据锐角三角函数的定义求出，即可得到CD的长，即可求解.
14．（2024·沙湾模拟）已知的三边分别为，化简＝ .
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵的三边分别为，
∴3∴x-3>0，x-7<0，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据三角形三边关系得到x的取值范围，即x-3>0，x-7<0，再将原式化简即可得到答案.
15．（2024·沙湾模拟）如图，将矩形沿、折叠，点落在处，点恰好落在上的点处，若，，， 则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，，
∴，
∵，
∴∠AEF=∠BCE，
∵∠A=∠B=90°，
∴，
∵，， ，
∴AB=CD=4，BC=AD=2，
∴AE=AB-BE=3，
∴，
即，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质得到，根据三角形内角和得到，即∠AEF=∠BCE，证明，求出AE的长，根据相似三角形的性质得到，求出AF的长，根据勾股定理即可得到答案.
16．（2024·沙湾模拟）二次函数、、为常数，的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④顶点坐标为，.请将正确结论的番号都写出来 .
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ① 根据题意可得，a<0，b>0，c>0，则abc<0，故①错误；
②∵对称轴为x=1，
∴，
∴b=-2a，
∴当x=-1时，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c=0，故②正确；
③∵该抛物线与x轴的一个交点是(-1，0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，
当-1<0<3时图象在x轴的上方，即y>0，故③正确；
④当x=-1时，y=a-b+c=a+2a+c=0，
∴c=-3a，
∴，
当x=1时，y=a-2a-3a=-4a，
∴顶点坐标为(1，-4a)，故④正确.
故答案为： ②③④ .
【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，根据抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再利用对称轴与x轴的交点情况进行判断，即可得到答案.
17．（2024·沙湾模拟）计算：.
【答案】解：原式=2+1-1-2=0.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂以及立方根进行计算，即可得到答案.
18．（2024·沙湾模拟）化简求值：，其中.
【答案】解：原式，
∵ ，
∴.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将原式化简得到，计算出x的值，代入化简后的式子进行计算即可得到答案.
19．（2024·沙湾模拟）解方程：.
【答案】解：，
，
解得 ，
经检验：为增根，
∴方程的根为.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】将方程去分母得到，即，因式分解求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解.
20．（2024·沙湾模拟）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯!自2021年2月1日起，旨在维护 国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施.中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点处测得与斜坡坡脚点的距离为米，测得岛礁顶端的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高(即点到海平面的铅垂高度).
(结果保留整数)(参考数据： )
【答案】解：如图，
，
在中，∠D=30.96°，BD=169+9x，
∴，
解得，，
∴，
∴ 该岛礁的高为312米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】，表示出BD的长，根据的值得到关于x的方程，解方程即可得到答案.
21．（2024·沙湾模拟）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，甲、乙两校参加区教育局举办的“中国诗词大会”竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整
的统计图表．
甲校成绩统计表
分 数 7 分 8 分 9 分 10 分
人 数 11 0 8
（1）在图中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）填空：
①甲校的平均分是 ，中位数是 ；
②乙校的平均分是8.3分， 中位数是 ；③若从平均分和标准差的角度判断，哪所学校的成绩较为稳定？ 答： 校．
（4）如果区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？
【答案】（1）144°
（2）解：，得分8分的人数为：20-8-4-5=3，
∴补全条形统计图如下：
（3）8.3；7；8；乙校
（4）解：根据题意可知，甲校得10分的有8人，乙校得10分的有5人，所以应选甲校.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）“9分”所在扇形的圆心角为360°×20％=72°，∴“7分”所在扇形的圆心角为360°-90°-54°=144°；
（3） ① 得分为9分的人数为：20-11-8=1，
∴甲校的平均分为，
将成绩从小到大排列，第10、11位成绩为7，即中位数为；
②将成绩从小到大排列，第10、11位成绩为8，即中位数为；
③∵甲校与乙校平均分相等，
∴，
，
∴，
∴从平均分和标准差的角度判断，乙校的成绩更为稳定；
【分析】（1）根据扇形“9分”所占的比例求出其圆心角，即可求出“7分”所在扇形的圆心角；
（2）根据10分的圆心角度数求出其占比，即可得到总人数，再求出8分的人数，补全条形统计图即可得到答案；
（3） ①根据平均数与中位数的定义即可得到答案；
②根据中位数的定义即可得到答案；
③两校的平均分相同，分别计算出两校的标准差进行比较，根据标准差较小的成绩较为稳定，即可得到答案；
（4）根据两校的高分人数进行判断，即可得到答案.
22．（2024·沙湾模拟）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每个60元销售，那么每天可卖出20个.通过市场调查发现，每个小商品的售价每降低5元，日销售量就增加10个.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件商品的售价应定为多少元？
（2）小杨的线下实体商店也在销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小杨决定对该商品进行打折销售。若使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）解：设每件商品的销售定为x元，则利润为(x-40)元，
根据题意可得，，
整理得，，
解得（舍去），
∴ 每件商品的售价应定为50元；
（2）解：设该商品至少需要打m折销售，
根据题意可得，，
解得，
∵m为正数，
∴m最小值为8，
∴该商品至少需要打八折销售.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件商品的销售定为x元，则利润为(x-40)元，根据题意得到关于x的方程，解方程即可得到答案；
（2）设该商品至少需要打m折销售，根据销售价格不超过50元，得到关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到答案.
23．（2024·沙湾模拟）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，的外角平分线交⊙O于，与
⊙O相切，交的延长线于.
（1）判断直线和是否平行，并说明理由；
（2）若，，分别求线段和的长
【答案】（1）解：平行，理由如下：
连接OD，如图，
∵是⊙O的直径，点在⊙O上，
∴AC⊥CE，
∵与⊙O相切，
∴DE⊥OD，
∵BD平分∠OBE，
∴∠OBD=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD//BE，
∴BE⊥DE，
即DE⊥CE，
∴∠ACE=∠DEC=90°，
∴AC//DE；
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=60°，
∴；
∴∠ODB=∠OBD=60°，
∴∠DOB=60°，
∴为等边三角形，
在中，BE=1，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；勾股定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意得到AC⊥CE，DE⊥OD，根据角平分线的性质得到∠OBD=∠DBE，根据等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD，等量代换即∠ODB=∠DBE，内错角相等，两直线平行得到OD//BE，即可得到BE⊥DE，即可证明AC//DE；
（2）根据∠A的度数求出∠ABC=60°，利用三角形的外角性质得到，进而得到∠DOB=60°，在中，根据特殊角的三角函数值求出BD的长，根据勾股定理求出DE的长，再利用弧长公式即可求出的长 .
24．（2024·沙湾模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 ，两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设直线与y轴交于点，若点在轴上，使，请写出点的坐标．
【答案】（1）解：∵ 反比例函数的图象交于 ，两点，
∴，
即m=-3，
∴，
当x=1时，n=-3，
∴B（1，-3），
将A、B两点的坐标代入一次函数，
∴，
即，
∴y=-x-2；
（2）解：∵ 直线与y轴交于点，
∴当x=0时，y=-2，即C（0，-2），
∴，
设P（a，0），
∵BP=AC，
∴，
∴a=4或a=-2，
∴P（4，0）或P（-2，0）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，即可得到反比例函数解析式，将A、B两点的坐标代入一次函数，根据待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）当x=0时，y=-2，求出点C的坐标，根据勾股定理求出AC的值，设P（a，0），根据两点间距离公式得到，求出a的值，即可得到点P的坐标.
25．（2024·沙湾模拟）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，.
（1）如图1，连接、，的延长线交于，交于点.求证：①≌，②；
（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，.
①求证：∽，
②的面积是 ▲ .
【答案】（1）证明：①∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵ ，
∴∠BAE=∠CAD，
在中，
，
∴；
②∵，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠AFB=∠CFP，
∴，
∴∠FPC=∠BAF=90°，
∴BP⊥CD；
（2）解：①
由（1）得，∠BAE=∠CAD，
在中，
，
∴
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BDP=∠ADC，
∴∽；
②.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②在中，AE=AD=3，
在中，∠BAC=90°，
∴，
在中，，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=∠DAC=90°，
∵∠PAE=∠ACD，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴.
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，根据两三角形有公共顶点得到∠BAE=∠CAD，利用SAS即可证明；
②根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD，证明，根据相似三角形的性质得到∠FPC=∠BAF=90°，即可证明BP⊥CD；
（2）①证明，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD，利用相似三角形的判定定理即可证明∽；
②根据等腰三角形的性质求出AE的长，根据勾股定理求出AB、CD的长，证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出PE、PC的长，再利用三角形面积公式即可求出的面积.
26．（2024·沙湾模拟）如图，已知抛物线与轴交于两点，与y轴交于C点，经过 三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于，抛物线的顶点为．
（1）求的值及抛物线的解析式；
（2）；
（3）探究坐标轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知C（0，－3），，
∴ 抛物线的解析式为 ，
过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN= 1，，
∴ CN= 2，于是m=－1．
同理可求得B（3，0），
∴ a×32－2－2a×3－3 = 0，得 a= 1，
∴ 抛物线的解析式为y= x2－2x－3．
（2）解：由（1）得 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．
在 Rt 中， ，
$即
Rt Rt ， 得 ，因此 .
（3）解：显然，此时点P1（0，0）．
过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得．
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．
故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到C（0，－3），，过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN= 1，，求出m的值，同理求出点B的坐标，代入抛物线解析式即可得到答案；
（2）由（1）得到点 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1），得到，判断Rt Rt ，得到，进而即可求出的值；
（3）根据题意得到，得到P1（0，0），过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，根据相似三角形的性质得到，过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，根据相似三角形的性质得到P3（9，0），即可得到答案．
1 / 1四川省乐山市沙湾区2024年九年级数学调研考试试卷
1．（2024·沙湾模拟）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·沙湾模拟）计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·沙湾模拟）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·沙湾模拟）方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
5．（2024·沙湾模拟）《九章算术》中有这样题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙各行几何？”大意是说： 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.问甲、乙各走了多少步？请问乙走的步数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·沙湾模拟）如图，在半径为的⊙O中，弦，点是优弧上一点(不与，重合)，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·沙湾模拟）若，、，在函数的图象上，则、的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
8．（2024·沙湾模拟）从、 、、…、这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·沙湾模拟） 如图，矩形中，，，现将矩形绕点顺时针旋转后得到矩形，则边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·沙湾模拟）如图，直线与轴交于点，与双曲线在第一象限交于、两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·沙湾模拟）的算术平方根 .
12．（2024·沙湾模拟）设＝，＝，用的式子表示 .
13．（2024·沙湾模拟）如图，小华用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，若小华离树的距离米，小华的身高米，则这棵树的高度 .
14．（2024·沙湾模拟）已知的三边分别为，化简＝ .
15．（2024·沙湾模拟）如图，将矩形沿、折叠，点落在处，点恰好落在上的点处，若，，， 则的长为 .
16．（2024·沙湾模拟）二次函数、、为常数，的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④顶点坐标为，.请将正确结论的番号都写出来 .
17．（2024·沙湾模拟）计算：.
18．（2024·沙湾模拟）化简求值：，其中.
19．（2024·沙湾模拟）解方程：.
20．（2024·沙湾模拟）钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯!自2021年2月1日起，旨在维护 国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施.中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措.如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点处测得与斜坡坡脚点的距离为米，测得岛礁顶端的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高(即点到海平面的铅垂高度).
(结果保留整数)(参考数据： )
21．（2024·沙湾模拟）中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，甲、乙两校参加区教育局举办的“中国诗词大会”竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整
的统计图表．
甲校成绩统计表
分 数 7 分 8 分 9 分 10 分
人 数 11 0 8
（1）在图中，“7分”所在扇形的圆心角等于 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）填空：
①甲校的平均分是 ，中位数是 ；
②乙校的平均分是8.3分， 中位数是 ；③若从平均分和标准差的角度判断，哪所学校的成绩较为稳定？ 答： 校．
（4）如果区教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？
22．（2024·沙湾模拟）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每个60元销售，那么每天可卖出20个.通过市场调查发现，每个小商品的售价每降低5元，日销售量就增加10个.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，则每件商品的售价应定为多少元？
（2）小杨的线下实体商店也在销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小杨决定对该商品进行打折销售。若使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
23．（2024·沙湾模拟）如图，是⊙O的直径，点在⊙O上，的外角平分线交⊙O于，与
⊙O相切，交的延长线于.
（1）判断直线和是否平行，并说明理由；
（2）若，，分别求线段和的长
24．（2024·沙湾模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 ，两点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设直线与y轴交于点，若点在轴上，使，请写出点的坐标．
25．（2024·沙湾模拟）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，.
（1）如图1，连接、，的延长线交于，交于点.求证：①≌，②；
（2）如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，.
①求证：∽，
②的面积是 ▲ .
26．（2024·沙湾模拟）如图，已知抛物线与轴交于两点，与y轴交于C点，经过 三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与y轴交于，抛物线的顶点为．
（1）求的值及抛物线的解析式；
（2）；
（3）探究坐标轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请指出点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-2的相反数为2.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义进行求解，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项的法则进行计算，即可得到答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵AB//CD，EF⊥AB，∠1=60°，
∴EF⊥CD，
∴∠AFE=90°，
∴∠2=180°-∠AFE-60°=30°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质以及垂直的定义得到∠AFE=90°，利用三角形内角和即可求得∠2的度数.
4．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-x=0，
x(x-1)=0，
x=0，x-1=0，
x1=0，x2=1，
故答案为：C．
【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设甲乙两人相遇时间为t，则甲斜向北偏东走了（7t-10）步，乙走了3t步，
根据题意可知，，
即，
∴3t=10.5，
故乙走的步数是10.5步.
故答案为：D.
【分析】设甲乙两人相遇时间为t，则甲斜向北偏东走了（7t-10）步，乙走了3t步，根据题意列出关于t的一元二次方程，解方程代入3t即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图，连接AO交圆与点D，连接BD，
∴AD为 ⊙O 的直径，
∴∠ABD=90°，
∵AD=10，AB=6，
在中，
，
∵∠ADB与∠ACB同弧，
∴∠D=∠C，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接AO交圆与点D，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD的长，再利用圆周角定理以及余弦定理即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵ 1>-2，
∴a故答案为：C.
【分析】根据一次函数的增减性，得到y随x的增大而减小，比较A、B两点的横坐标即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：、 、、…、这五个数中无理数为，，
∴从中随机抽取一个数，抽到无理数的概率为.
故答案为：B.
【分析】从5个数中找出无理数的个数，根据概率公式即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：
连接AC，，
∵， ，
∴，
∴，，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接AC，，根据勾股定理求出AC的长，根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：作BE⊥y轴于E，作CF⊥y轴于F，设直线与x轴交于点D，如图，
当y=0时，，
∴，即，
当x=0时，y=b，
∴A（0，b），即OA=b，
∵，
∴∠ADO=30°，
∵ 直线与双曲线在第一象限交于、两点，
∴，
即，
∵，即，
∵，
∴，，
∵AB·AC=4，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】作BE⊥y轴于E，作CF⊥y轴于F，设直线与x轴交于点D，分别求出OA与OD的长，利用特殊角的三角函数值得到∠ADO=30°，再根据直线与双曲线在第一象限交于、两点，得到，根据韦达定理得到，利用特殊角的三角函数值表示出AB与AC的值，根据列出关于k的方程，解方程即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根为3.
故答案为：3.
【分析】根据算术平方根的定义进行求解，即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，
∵＝，＝ ，
∴.
故答案为：3ab.
【分析】将原式化为最简二次根式，将＝，＝ 代入化简后的式子即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知，∠BED=90°，∠DBE=30°，四边形ABCE为矩形，
∴BE=AC=6，，
∴，
∴，
∴，
∴ 这棵树的高度米.
故答案为： .
【分析】根据题意得到∠BED=90°，∠DBE=30°，四边形ABCE为矩形，求出BE、CE的长，根据锐角三角函数的定义求出，即可得到CD的长，即可求解.
14．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵的三边分别为，
∴3∴x-3>0，x-7<0，
∴.
故答案为：4.
【分析】根据三角形三边关系得到x的取值范围，即x-3>0，x-7<0，再将原式化简即可得到答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，，，
∴，
∵，
∴∠AEF=∠BCE，
∵∠A=∠B=90°，
∴，
∵，， ，
∴AB=CD=4，BC=AD=2，
∴AE=AB-BE=3，
∴，
即，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质得到，根据三角形内角和得到，即∠AEF=∠BCE，证明，求出AE的长，根据相似三角形的性质得到，求出AF的长，根据勾股定理即可得到答案.
16．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ① 根据题意可得，a<0，b>0，c>0，则abc<0，故①错误；
②∵对称轴为x=1，
∴，
∴b=-2a，
∴当x=-1时，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c=0，故②正确；
③∵该抛物线与x轴的一个交点是(-1，0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，
当-1<0<3时图象在x轴的上方，即y>0，故③正确；
④当x=-1时，y=a-b+c=a+2a+c=0，
∴c=-3a，
∴，
当x=1时，y=a-2a-3a=-4a，
∴顶点坐标为(1，-4a)，故④正确.
故答案为： ②③④ .
【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，根据抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再利用对称轴与x轴的交点情况进行判断，即可得到答案.
17．【答案】解：原式=2+1-1-2=0.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂以及立方根进行计算，即可得到答案.
18．【答案】解：原式，
∵ ，
∴.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将原式化简得到，计算出x的值，代入化简后的式子进行计算即可得到答案.
19．【答案】解：，
，
解得 ，
经检验：为增根，
∴方程的根为.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】将方程去分母得到，即，因式分解求出方程的解，经检验即可得到分式方程的解.
20．【答案】解：如图，
，
在中，∠D=30.96°，BD=169+9x，
∴，
解得，，
∴，
∴ 该岛礁的高为312米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】，表示出BD的长，根据的值得到关于x的方程，解方程即可得到答案.
21．【答案】（1）144°
（2）解：，得分8分的人数为：20-8-4-5=3，
∴补全条形统计图如下：
（3）8.3；7；8；乙校
（4）解：根据题意可知，甲校得10分的有8人，乙校得10分的有5人，所以应选甲校.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）“9分”所在扇形的圆心角为360°×20％=72°，∴“7分”所在扇形的圆心角为360°-90°-54°=144°；
（3） ① 得分为9分的人数为：20-11-8=1，
∴甲校的平均分为，
将成绩从小到大排列，第10、11位成绩为7，即中位数为；
②将成绩从小到大排列，第10、11位成绩为8，即中位数为；
③∵甲校与乙校平均分相等，
∴，
，
∴，
∴从平均分和标准差的角度判断，乙校的成绩更为稳定；
【分析】（1）根据扇形“9分”所占的比例求出其圆心角，即可求出“7分”所在扇形的圆心角；
（2）根据10分的圆心角度数求出其占比，即可得到总人数，再求出8分的人数，补全条形统计图即可得到答案；
（3） ①根据平均数与中位数的定义即可得到答案；
②根据中位数的定义即可得到答案；
③两校的平均分相同，分别计算出两校的标准差进行比较，根据标准差较小的成绩较为稳定，即可得到答案；
（4）根据两校的高分人数进行判断，即可得到答案.
22．【答案】（1）解：设每件商品的销售定为x元，则利润为(x-40)元，
根据题意可得，，
整理得，，
解得（舍去），
∴ 每件商品的售价应定为50元；
（2）解：设该商品至少需要打m折销售，
根据题意可得，，
解得，
∵m为正数，
∴m最小值为8，
∴该商品至少需要打八折销售.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件商品的销售定为x元，则利润为(x-40)元，根据题意得到关于x的方程，解方程即可得到答案；
（2）设该商品至少需要打m折销售，根据销售价格不超过50元，得到关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到答案.
23．【答案】（1）解：平行，理由如下：
连接OD，如图，
∵是⊙O的直径，点在⊙O上，
∴AC⊥CE，
∵与⊙O相切，
∴DE⊥OD，
∵BD平分∠OBE，
∴∠OBD=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODB=∠DBE，
∴OD//BE，
∴BE⊥DE，
即DE⊥CE，
∴∠ACE=∠DEC=90°，
∴AC//DE；
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠ABC=180°-∠C-∠A=60°，
∴；
∴∠ODB=∠OBD=60°，
∴∠DOB=60°，
∴为等边三角形，
在中，BE=1，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；勾股定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连接OD，根据题意得到AC⊥CE，DE⊥OD，根据角平分线的性质得到∠OBD=∠DBE，根据等腰三角形的性质得到∠ODB=∠OBD，等量代换即∠ODB=∠DBE，内错角相等，两直线平行得到OD//BE，即可得到BE⊥DE，即可证明AC//DE；
（2）根据∠A的度数求出∠ABC=60°，利用三角形的外角性质得到，进而得到∠DOB=60°，在中，根据特殊角的三角函数值求出BD的长，根据勾股定理求出DE的长，再利用弧长公式即可求出的长 .
24．【答案】（1）解：∵ 反比例函数的图象交于 ，两点，
∴，
即m=-3，
∴，
当x=1时，n=-3，
∴B（1，-3），
将A、B两点的坐标代入一次函数，
∴，
即，
∴y=-x-2；
（2）解：∵ 直线与y轴交于点，
∴当x=0时，y=-2，即C（0，-2），
∴，
设P（a，0），
∵BP=AC，
∴，
∴a=4或a=-2，
∴P（4，0）或P（-2，0）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式，求出m的值，即可得到反比例函数解析式，将A、B两点的坐标代入一次函数，根据待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）当x=0时，y=-2，求出点C的坐标，根据勾股定理求出AC的值，设P（a，0），根据两点间距离公式得到，求出a的值，即可得到点P的坐标.
25．【答案】（1）证明：①∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵ ，
∴∠BAE=∠CAD，
在中，
，
∴；
②∵，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠AFB=∠CFP，
∴，
∴∠FPC=∠BAF=90°，
∴BP⊥CD；
（2）解：①
由（1）得，∠BAE=∠CAD，
在中，
，
∴
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠BDP=∠ADC，
∴∽；
②.
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②在中，AE=AD=3，
在中，∠BAC=90°，
∴，
在中，，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC=∠DAC=90°，
∵∠PAE=∠ACD，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴.
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，根据两三角形有公共顶点得到∠BAE=∠CAD，利用SAS即可证明；
②根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD，证明，根据相似三角形的性质得到∠FPC=∠BAF=90°，即可证明BP⊥CD；
（2）①证明，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD，利用相似三角形的判定定理即可证明∽；
②根据等腰三角形的性质求出AE的长，根据勾股定理求出AB、CD的长，证明，根据相似三角形的性质得到，即可求出PE、PC的长，再利用三角形面积公式即可求出的面积.
26．【答案】（1）解：由题意可知C（0，－3），，
∴ 抛物线的解析式为 ，
过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN= 1，，
∴ CN= 2，于是m=－1．
同理可求得B（3，0），
∴ a×32－2－2a×3－3 = 0，得 a= 1，
∴ 抛物线的解析式为y= x2－2x－3．
（2）解：由（1）得 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．
在 Rt 中， ，
$即
Rt Rt ， 得 ，因此 .
（3）解：显然，此时点P1（0，0）．
过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得．
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．
故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似．
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到C（0，－3），，过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN= 1，，求出m的值，同理求出点B的坐标，代入抛物线解析式即可得到答案；
（2）由（1）得到点 A（－1，0），E（1，－4），D（0，1），得到，判断Rt Rt ，得到，进而即可求出的值；
（3）根据题意得到，得到P1（0，0），过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，根据相似三角形的性质得到，过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，根据相似三角形的性质得到P3（9，0），即可得到答案．
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