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分课时教学设计
第2课时《13.1.2 定理与证明》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 让学生通过实际例子理解基本事实、定理等概念．并会对真命题进行证明．
学习者分析 从实例出发，了解定理的概念．能根据已有的知识和经验去判断一个命题的基本事实、定理．
教学目标 1理解基本事实、定理等概念. 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明．
教学重点 理解证明的概念，并会对真命题进行证明．
教学难点 理解证明的概念，并会对真命题进行证明．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 1、什么是命题？怎样分类？ 命题:判断一件事情的语句叫命题。 (1)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果..，那么...”的形式。 (2)命题的分类: 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评， 借助生活实例让学生独立思考数学问题；从而揭示今天所学的课题， 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题.让学生通过实际例子理解基本事实、定理等概念． 环节二：教师活动2： 2、怎样判断命题的真假？ 判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明(公理和定理都是真命题) 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。 命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等；⑤两个锐角的和是锐角．其中真命题是( ) A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ③⑤ 解：对顶角相等，①是真命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行， ②是真命题； 相等的角不一定是对顶角，③是假命题； 两直线平行，同位角相等，④是假命题； 两个锐角的和是锐角或直角或钝角，⑤是假命题． 故选A． 两点确定一条直线; 两点之间，线段最短; 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理( theorem). 议一议： (1)一位同学在钻研数学题时发现: 2+1=3, 2x3+1=7, 2x3x5+1=31, 2x3x5x7+1=211. 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论： 质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定 也是质数，他的结论正确吗 解：∵2×3×5×7×11×13+1=30031， 30031=59×509， ∴30031是合数，故他的结论不正确． (2)如图13.1.1所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗 画一个钝角三角形试试看. 钝角三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的外部 (3) 我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七 边形等的内角和,得到一个结论：n边形的内角和等于 (n-2) x 180°，这个结论正确吗 是否有一个多边形的 内角和不满足这一规律 正确 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明( proof). 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，理解证明的概念，并会对真命题进行证明．环节三：教师活动3： 例：已知:如图，在△ABC中，∠C= 90°. 求证:∠A+∠B= 90°. 证明:∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角 和等于180°) , 又∵∠C=90°(已知)， ∴∠A+∠B=180°-∠C =90°(等式的性质). 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答． 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，理解证明的概念，并会对真命题进行证明．在实际例子中掌握相关概念.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、给出下列几个命题，其中真命题的个数是( ) ①若a>b则ac2>bc2 ②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c ③内错角相等 ④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3 ⑤垂线段最短 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图，若∠1=∠C，AB//CE，则∠A=∠C.请用推理的方法说明它是真命题． 证明：∵AB//CE(已知)， ∴∠1=∠A(两直线平行，同位角相等)， ∵∠1=∠C(已知)， ∴∠A=∠C(等量代换)． 所以此命题是真命题． 选做题： 3.举反例说明下面的命题是假命题． (1)互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角； (2)两个负数的差一定是负数； (3)两直线被第三条直线所截，同位角相等； (4)一正一负两个数的和为0. 【综合拓展类作业】 4、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题． (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择一个加以证明．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE . 求证∠ B+ ∠D=180°. 证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ). 选做题： 2.证明：邻补角的平分线互相垂直． 已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC． 求证：OE⊥OF． 【综合拓展类作业】 3.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分 ∠BPQ，QH平分∠CQP. 求证PG∥HQ.
教学反思 1、什么是定理？ 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理 2、什么是证明？ 根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明
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（华师大版）八年级
上
13.1.2 定理与证明
全等三角形
第13章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
教学目标：
1、理解基本事实、定理等概念；
2、理解证明的概念，并会对真命题进行证明。
新知讲解
问题：我们学过的哪些命题是真命题﹖
1.两点确定一条直线;
2.两点之间，线段最短;
3.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
4.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
新知讲解
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由题设、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
新知讲解
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间，线段最短；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
这些都是公认的真命题，我们把它视为基本事实.
新知讲解
提炼概念
基本事实：
公认的真命题视为基本事实.
它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
新知讲解
基本事实、定理、命题的关系：
命题
真命题
假命题
基本事实（正确性由实践总结）
定理（正确性通过推理证实）
基本事实与定理的联系与区别：
定理与基本事实都是真命题，都是我们解决问题的依据，
它们的区别是:基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；
定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
新知讲解
思考
（1）一位同学在钻研数学题时发现:
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论:从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加 1 一定也是质数. 他的结论正确吗？
2 + 1 =3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211
计算一下2×3×5×7×11+1与2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
新知讲解
（2）如图所示，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论:任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？
新知讲解
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 ( n -2) ×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明: 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
新知讲解
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．
证明的依据：
典例精析
已知: 如图，在△ABC中，∠C = 90°.
求证: ∠A +∠B = 90°.
例：证明：直角三角形的两个锐角互余.
证明: ∠A ＋∠B +∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
又∵ ∠C = 90°(已知)，
∴ ∠A + ∠B = 180°-∠C = 90°
(等式的性质).
新知讲解
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论;
②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;
③用数学语言写出“已知”“求证”;
④找出证明思路;
⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;
⑥检查表达过程是否正确、完整．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1、给出下列几个命题，其中真命题的个数是( )
①若a>b则ac2>bc2
②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c
③内错角相等
④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3
⑤垂线段最短
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.如图，若∠1=∠C，AB//CE，则∠A=∠C.请用推理的方法说明它是真命题．
证明：∵AB//CE(已知)，
∴∠1=∠A(两直线平行，同位角相等)，
∵∠1=∠C(已知)，
∴∠A=∠C(等量代换)．
所以此命题是真命题．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
3.举反例说明下面的命题是假命题．
(1)互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角；
(2)两个负数的差一定是负数；
(3)两直线被第三条直线所截，同位角相等；
(4)一正一负两个数的和为0.
【解析】 (1)根据互为补角的定义举例即可；
(2)被减数大于减数，差是正数；
(3)两直线不是平行线；
(4)这两个数不是互为相反数．
【综合拓展类作业】
课堂练习
4、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题．
(1)你构造的是哪几个命题？
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择一个加以证明．
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：(1)命题1：条件①②，结论③；命题2：条件①③，结论②；命题3：条件②③，结论①．
(2)三个命题都是真命题．选择命题1
证明：∵AB//CD，
∴∠B=∠CDF．
∵∠B=∠C，∴∠C=∠CDF，
∴CE//BF，
∴∠E=∠F．
课堂总结
定理与证明
基本事实
定理的概念
证明：
步骤：(1)根据题意作出图形.
(2)写出已知和求证.
(3)写出证明的过程
概念
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE .
求证∠ B+ ∠D=180°.
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ） ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
等量代换
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
2.证明：邻补角的平分线互相垂直．
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．
求证：OE⊥OF．
证明：∵OE平分∠AOB， ∴∠1＝ ∠AOB.
∵OF平分 ∠BOC， ∴∠2＝ ∠BOC.
∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）
＝ ∠AOC ＝ ×180°＝90°.
∴OE⊥OF（垂直定义）．
作业布置
【综合拓展类作业】
3.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.
求证PG∥HQ.
A
B
C
D
M
N
P
Q
H
G中小学教育资源及组卷应用平台
学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 七年级 学期 秋季
课题 13.1.2 定理与证明
教科书 书 名：义务教育教科书数学七年级上册 出版社：浙江教育出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1理解基本事实、定理等概念. 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明．
课前学习任务
复习引入 1、什么是命题？怎样分类？ 命题:判断一件事情的语句叫命题。 (1)命题的结构:命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果..，那么...”的形式。 (2)命题的分类: 正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。 2、怎样判断命题的真假？ 判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明(公理和定理都是真命题) 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。
课上学习任务
【学习任务一】 探究一： 两点确定一条直线; 两点之间，线段最短; 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理( theorem). 【学习任务二】 探究二： (1)一位同学在钻研数学题时发现: 2+1=3, 2x3+1=7, 2x3x5+1=31, 2x3x5x7+1=211. 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从 质数2开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定 也是质数，他的结论正确吗 计算一下2 x3x5x7x11+1与2x3x5x7x11x13+1，你发现了什么 (2)如图13.1.1所示，一位同学在画图时发现:三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗 图13.1.1 画一个钝角三角形试试看. (3) 我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和,得到一个结论：n边形的内角和等于(n-2) x 180°，这个结论正确吗 是否有一个多边形的内角和不满足这一规律 根据条件定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明( proof). 【学习任务三】 例： 已知:如图13. 1.2，在OABC中，∠C= 90°.求证:∠A+∠B= 90°. 注意：如果要证明一个文字语言叙述的证明题,而没有给出图形、已知、求证, 我们要证明这个命题，必须: 1.首先必须根据命题的要求准确的画出图形，标出字母. 2.再根据要求按照图中所标字母写出数学语言表示的已知和求证. 3.如果命题已给出已知和求证,就可以按照所学有关公理、 定理、性质等直接进行证明 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1、给出下列几个命题，其中真命题的个数是( ) ①若a>b则ac2>bc2 ②三条直线a，b，c，若a//b，b//c则a//c ③内错角相等 ④若直线l1⊥l2，l1⊥l3，则l2//l3 ⑤垂线段最短 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图，若∠1=∠C，AB//CE，则∠A=∠C.请用推理的方法说明它是真命题． 证明：∵AB//CE(已知)， ∴∠1=∠A(两直线平行，同位角相等)， ∵∠1=∠C(已知)， ∴∠A=∠C(等量代换)． 所以此命题是真命题． 选做题： 3.举反例说明下面的命题是假命题． (1)互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角； (2)两个负数的差一定是负数； (3)两直线被第三条直线所截，同位角相等； (4)一正一负两个数的和为0. 【综合拓展类作业】 4、如图，现有以下3句话：①AB//CD；②∠B=∠C；③∠E=∠F.请以其中两句话为条件，第三句话为结论构造命题． (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择一个加以证明． 【知识技能类作业】 必做题： 1.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE . 求证∠ B+ ∠D=180°. 证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ). 选做题： 2.证明：邻补角的平分线互相垂直． 已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC． 求证：OE⊥OF． 【综合拓展类作业】 3.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分 ∠BPQ，QH平分∠CQP. 求证PG∥HQ.
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