【能力提优】人教版高中数学高一上 第二章一元二次函数、方程和不等式章末检测试题（含解析）

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第二章 一元二次函数、方程和不等式章末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列命题为真命题的是( )
A.若aC.若a>b,c>d，则ac>bd D.若a>b>c>0，则
2.若f(x)= 3x2﹣x + 1，g(x)= 2x2 + x﹣1，则f(x)与g(x)的大小关系为(　　　)
A．f(x)> g(x) B．f(x)= g(x) C．f(x)≤g(x) D．f(x)< g(x)
3.若，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．9 D．
4.已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A. {x|x<-1或x>} B.{x|-1C．{x|-21}
5.已知对于任意实数x,kx2-2x+k>0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>1 B．-1-1
6.不等式的解集为( )
A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1] (0,+∞）
7.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-1,4) B．[-4,1] C．(-∞,-1] [4,+∞) D．[-1,4]
8.已知正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)
A．x2＋x－2>0 B．
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
10.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A．a2+b2≥8 B．≥2 C． D．
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}，则（ ）
A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C．a+b+c>0 D．不等式cx2-bx+a<0的解集为
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，那么y的最大值为_________.
13.学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植
花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面
积的一半，则花卉带宽度的取值范围是 .（单位：米）
14.当m∈[－1，1]时，不等式2x2＋mx－3＜0恒成立，则实数x的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知关于x的不等式ax 2﹣3x + 2 > 0的解集为{x|x < 1或x > b}(b > 1)．
⑴求a，b的值；
⑵当x > 0，y > 0，且满足时，有2x + y ≥ k2 + k + 2恒成立，求k的取值范围．
16.（本题满分15分）
⑴已知x，y满足，0⑵设a>b>0，试用不同方法比较与的大小（要求：至少用两种方法）.
17.（本题满分15分）
已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②这两个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：
⑴定义A－B＝{x|x∈A且x B}，当m＝0时，求A－B；
⑵设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.（本题满分17分）
某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且
R(x)＝ ,
通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
⑴求出今年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
⑵今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
19.（本题满分17分）
已知函数y=mx2-mx-1．
⑴若y<0时，对任意的x∈R都成立，求实数m的取值范围；
⑵求关于x的不等式y<(1-m)x-1的解集．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题为真命题的是( )
A.若aC.若a>b,c>d，则ac>bd D.若a>b>c>0，则
【答案】D
【解析】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2=0，A错误；
对于选项B,当aab>b2，B错误；
对于选项C,取a=2，b=1，c=-2，d=-3满足a>b,c>d，而ac=-4，bd=-3，此时ac对于选项D,当a>b>0时，则ab>0，所以，即，又c>0，，D正确.
故选D.
2.若f(x)= 3x2﹣x + 1，g(x)= 2x2 + x﹣1，则f(x)与g(x)的大小关系为(　　　)
A．f(x)> g(x) B．f(x)= g(x) C．f(x)≤g(x) D．f(x)< g(x)
【答案】A
【解析】∵f(x)-g(x)=(3x2﹣x + 1)-(2x2 + x﹣1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)> g(x).故选A.
3.若，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】∵，∴3x-5>0，则，当且仅当3x-5=2时，等号成立，故的最小值为，故选C．
4.已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A. {x|x<-1或x>} B.{x|-1C．{x|-21}
【答案】B　
【解析】 由不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1不等式2x2＋bx＋a<0即为2x2+x-1<0,解得-15.已知对于任意实数x,kx2-2x+k>0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>1 B．-1-1
【答案】A
【解析】方法1：∵对于任意实数x,kx2-2x+k>0恒成立，∴,解得k>1,故选A.
方法2：∵当k=0时，不等式kx2-2x+k>0对于任意实数x不恒成立，∴k≠0，即B,D选项都错误；当k=-2时,不等式kx2-2x+k>0变为-2x2-2x-2>0，即x2+x+1<0,这个不等式恒不成立，∴k≠2，C选项错误.故选A.
6.不等式的解集为( )
A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1] (0,+∞）
【答案】A
【解析】∵，即，,,等价于,解得-1≤x<0.故选A.
7.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-1,4) B．[-4,1] C．(-∞,-1] [4,+∞) D．[-1,4]
【答案】D.
【解析】方法1：∵已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，即x2-4x+a2-3a≤0在上有解，
只需y=x2-4x+a2-3a的图象与x轴有公共点，
∴，即a2-3a-4≤0，解得-1≤a≤4，
∴实数a的取值范围是[-1,4]，故选D.
方法2：∵函数y=-x2+4x的最大值为4，
∴要关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则
a2-3a≤4，即a2-3a-4≤0，解得-1≤a≤4，
∴实数a的取值范围是[-1,4]，故选D.
8.已知正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正数x，y满足x+y=1，∴(2x+2)+(1+2y)=5，
∴
.
当且仅当，即，时取等号，
故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有(　　)
A．x2＋x－2>0 B．
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
【答案】BCD
【解析】 不等式x2－x＋2>0的解集为R,不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<-2或x>1};不等式可化为2x2+3>x2+1,即x2+2>0,其解集为R;不等式－x2＋x－2<0和2x2－3x＋2>0 的解集都为R .故选BCD.
10.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A．a2+b2≥8 B．≥2 C． D．
【答案】AC
【解析】当a=1,b=3时，，所以BD选项错误.
∵，当且仅当a=b=2时，等号成立，A正确.
又=4，∴，当且仅当a=b=2时，等号成立，C正确.
故选AC.
11.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3}，则（ ）
A．a>0 B．不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C．a+b+c>0 D．不等式cx2-bx+a<0的解集为
【答案】ABD
【解析】∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},∴a>0,A选项正确；
且－2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根，由韦达定理得，则b=-a,c=-6a，则a+b+c=-6a<0，C选项错误；
不等式bx+c>0即为-ax-6a>0，解得x<-6,B选项正确；
不等式cx2-bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0，即6x2-x-1>0，解得或,D选项正确.
故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，那么y的最大值为_________.
【答案】-4.
【解析】∵x<0， ∴-x>0,
∴，
当且仅当，即时取等号． 故y的最大值为-4.
13.学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花
卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面
积的一半，则花卉带宽度的取值范围是 .（单位：米）
【答案】(0,5]
【解析】设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是(40-2x)米，(30-2x)米，则
,解得0则花卉带宽度的取值范围是(0,5]（单位：米）.
14.当m∈[－1，1]时，不等式2x2＋mx－3＜0恒成立，则实数x的取值范围是 ．
【答案】(－1,1).
【解析】构造函数f(m)＝xm＋2x2－3.
∵m∈[－1,1]时，不等式2x2＋mx－3＜0恒成立，
∴,即,解得-1∴实数x的取值范围是(－1,1)．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知关于x的不等式ax 2﹣3x + 2 > 0的解集为{x|x < 1或x > b}(b > 1)．
⑴求a，b的值；
⑵当x > 0，y > 0，且满足时，有2x + y ≥ k2 + k + 2恒成立，求k的取值范围．
【答案】⑴a＝1，b＝2;⑵[-3,2].
【解析】⑴根据题意得,
解得a＝1，b＝2.
⑵由a＝1，b＝2，即为,
又∵x > 0，y > 0，
∴2x + y=,
当且仅当时，即x=2,y=4时等号成立，
∴2x + y的最小值为8.
∵当x > 0，y > 0，且满足时，有2x + y ≥ k2 + k + 2恒成立，
∴k2 + k + 2≤8，解得-3≤k≤2,
则k的取值范围是[-3,2].
16.⑴已知x，y满足，0⑵设a>b>0，试用不同方法比较与的大小（要求：至少用两种方法）.
【答案】详见解析
【解析】⑴∵3x-y=(x+y)+2(x-y),
又∵，0∴-1<3x-y<2,
则3x-y的取值范围(-1,2).
⑵方法1：作差法
－＝ ＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0. ∴>0，∴>.
方法2：作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1. ∴>.
方法3：基本不等式法
∵a>b>0，∴,∴,
∴
又∵a-b>0,∴,即.
17.已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}(m为常数)，从①②这两个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：
⑴定义A－B＝{x|x∈A且x B}，当m＝0时，求A－B；
⑵设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】⑴(－1,0]∪[1,3)；⑵[－1,2].
【解析】⑴选①：
可化为,即,,
等价于(x-3)(x+1)<0
∴的解集为(－1,3)，故A＝(－1,3)，
由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选②：
x2－2x－3<0，解得－1故A＝(－1,3)，
由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
⑵由⑴可知，条件①②求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，
即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因为p是q成立的必要不充分条件，所以B A，所以
或
解得－1≤m≤2，
故m的取值范围为[－1,2]．
18.某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且
R(x)＝ ,
通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
⑴求出今年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
⑵今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】详见解析.
【解析】⑴当0当x≥40时，W(x)＝700x－＝，
∴W(x)＝
⑵若0W(x)＝－10(x－30)2＋8700，
当x＝30时，W(x)max＝8700(万元)．
若x≥40，W(x)＝≤9 150－2＝8950，
当且仅当时，即x＝100时，取等号．
∴W(x)max＝8 950(万元)．
∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．
19.已知函数y=mx2-mx-1．
⑴若y<0时，对任意的x∈R都成立，求实数m的取值范围；
⑵求关于x的不等式y<(1-m)x-1的解集．
【答案】⑴-4【解析】⑴因为y<0时，对任意的x∈R都成立，
当m=0时，则有-1<0,合乎题意；
当m≠0时，即mx2-mx-1<0对任意的x∈R都成立，则
,解得-4综上所述，实数m的取值范围是-4⑵由y<(1-m)x-1可得mx2-mx-1<(1-m)x-1，
即mx2-x=x(mx-1)<0，
当m=0时，解得x>0，则原不等式解集为{x|x>0}；
当m>0时，即，可得，则原不等式解集为;
当m<0时，即，可得，则原不等式的解集为.
综上所述：当m=0时，原不等式解集为{x|x>0}；
当m>0时，原不等式解集为;
当m<0时，原不等式的解集为.
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