辽宁省沈阳市郊联体2025届高三上学期开学联考数学试题（含答案）

辽宁省沈阳市郊联体2025届高三高三上学期开学联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知是无穷数列，，则“对任意的”，都有”是“是等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则( )
A. B. C. D.
5.通常用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．定义声音的声强衰减到原来的所需的时间为，则约为( ) 附：，．
A. B. C. D.
6.已知数列的前项和为若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，对任意的都有，且，则下列说法不正确的是( )
A. B. 是奇函数
C. 是上的增函数 D.
8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则
11.若定义在上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是( )
A. 是偶函数 B. 是周期为的周期函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正实数，满足，则的最大值为________．
13.设集合，若，则________．
14.已知且时，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调递减区间；
若是函数的极小值点，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求曲线的对称轴；
已知，，求的值．
17.本小题分
如图，已知斜三棱柱中，侧面侧面，侧面是矩形，侧面是菱形，，，点，，分别为棱，，的中点．
证明：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知正项数列满足，，且对于任意，满足．
求出数列的通项公式；
设，证明：数列的前项和；
设，证明：．
19.本小题分
对于数列，定义：若存在函数，使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”．
设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
设，，判断数列是否是“控制数列”，并说明理由；
仿照上述定义，我们还可以定义：若存在实数，使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”设，其中，证明：数列是“特控数列”．
参考答案
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15.解：当时，，
，
由，解得，
所以函数的单调递减区间为；
，时，或，
若，
当或时，，
当时，，
因此时，函数取极小值；
若，
当或时，，
因此不是函数的极值点；
若，
当或时，，
当时，，
因此时，函数取极大值
综上，实数的取值范围为．

16.解：
，
令，，则，，
故函数的对称轴为，；
因为，
所以，，
即，
所以，
则
．
17.【小问详解】
证明：因为点分别为棱的中点，
连接，则，
且平面，平面，可得平面，
又因为平面，平面，可得平面，
且，平面，可得平面平面，
由平面，所以平面．
【小问详解】
因为侧面是矩形，所以，
又因为侧面侧面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以
菱形中，，所以是等边三角形，
又是的中点，所以，得，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
因为，所以，
因此，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，令，得，
设平面的法向量为，
由，得，
由，得，令，得，
．
所以二面角的余弦值为．

18.解：由，，且对于任意，满足．
计算得，
由，可得，
相减可知，
整理可得，
所以为定值，
定值为为等差数列，故；
证明：由得，所以，
当时，，
则；
证明：，
因为，
所以
．
19.解：证明：不妨设等差数列的首项为，公差为，前项和为，
则，
取，，，则，
即存在，使得等差数列是“控制数列”得证；
数列是“控制数列”，理由如下：
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，
即，当时取等号，
设数列的前项和为，
则，
即数列是“控制数列”；
证明：要证数列是”特控数列“，
即证，
，，，
对两边取对数可得：
，
即证，
即证，
由知当时，，
则当时，有，
即证，即证，
令，，
则，
在上单调递减，
，即得证，
故，
即数列是”特控数列“得证．
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