江苏省淮安市十校2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题（PDF版，含答案）

江苏省淮安市十校2024-2025学年高三上学期第一
次联考数学试题
2024~2025 学年度第一学期高三年级第一次联考
数学试卷 2024.9
总分：150 分 时间：120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试
卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．设集合 A ={a2 ,0}, B ={a + 2,1}，若 A B ={1}，则 =
A．1 B． 1 C． 0 D． 1
2．若 为第二象限角，则
A． sin2 0 B． cos 2 0 C． sin cos 0 D．sin + cos 0
3．函数 f (x) = ln( x2 + x) 的定义域为
A． ( ,0] [1,+ ) B． (0,1) C．[0,1] D．( ,0] [1,+ )
4.已知圆锥的底面半径为1，侧面积为2 ，则圆锥的体积为
3
A． B． 3 C． 2 D．3
3
5．已知 a = (1,2, 1),b = ( 1, x,1) ，且 a 与b 夹角为锐角，则实数 x的取值范围是
A． ( 2,1) B． ( ,1) C． ( , 2) ( 2,1) D． (1,+ )
6．已知 , 是两个不重合的平面，m,n 为两条不同的直线，给出下列命题，其中是真命题的
个数是
①若m // ,n // ,m ⊥ n，则 ⊥ ②若 // ,m // ,n // ，则m // n
③若m ⊥ ,n ⊥ ,m ⊥ n ，则 ⊥ ④若 ⊥ ,m ⊥ ,n ⊥ ，则m ⊥ n
A．1 B． 2 C．3 D．4
1
log2 x x, x 0
7. 函数 f (x) = 2 有且仅有 4 个零点，则实数a 的取值范围是

ax
2 2x 1, x 0
A． (0,+ ) B． ( 1,+ ) C． ( 1,0) D．[ 1,1]
8．已知正实数 a，b，c ，则“ a = b = c ”是“a lnablnbc lnc a lnbblncc lna ”的
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．下列导数运算正确的是
1 ' 1 1 1
A． ( ) = ． (e x ) ' = e x ' 'B C． (tan x) = D． (ln | x |) =
x x2 cos2 x x
10．设函数 f (x) = ex e x 2x, x R，则下列说法正确的是
A． f (x) 是奇函数 B． f (x) 在 R上是单调函数
C． f (x) 的最小值为 1 D．当 x 0 时， f (x) 0
11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点O 为线段 BD 的中点，且点P 满足
BP = BC + BB1 ，则下列说法正确的是
1
A．若 =1, = 0，则VP A = 1BD 8
B．若 + =1，则D1P // 平面 A1BD
1
C．若 =1, = ，则OP ⊥平面 A1BD
2
2
D．若 =1,0 1时，直线OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则sin [ ,1]
3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分。
sin( ) + cos( )
=
12．已知角 的终边经过点P(2, 3)，则 .
sin( + ) + cos( )
2 2
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 1,0),B(3,0)，点 2C 在二次函数 y = x 6x + k 图象上，
且使得 ABC 的面积为 2，若满足条件的点C 共有两个，则实数 k 的取值范围 .
k
14．函数 xy = ,k 0 与 y = ln x 和 y = e 分别交于 A(x1, y1)， B(x2 , y2 ) 两点，设 y = ln x 在 A处
x
的切线 l1的倾斜角为 ， y = e
x 在B处的切线 l2 的倾斜角为 ，若 = 2 ，则 k = .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
1 a + 2
已知函数 f (x) = x3 x2 + 2ax .
3 2
（1）若 a =1，求函数 f (x) 的极值；
（2）讨论函数 f (x) 的单调性.
▲ ▲ ▲
16．（15 分）
如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AC 与 BD交于点O ，底面 ABCD 是边长为 2 的
正方形，且D1O ⊥底面 ABCD .
（1）证明： AC ⊥CC1 ；
（2）若二面角D1 AB D 的正切值为 2 ，求直线 A1C 与平面 ABCD 所成角的余弦值.
▲ ▲ ▲
17.（15 分）

已知 (0, ), (0, ) .
2 2
5
（1）若 cos 2 + cos = 0 ， sin + cos = ，求cos( + )的值；
2 2 2
+ 1
（2）证明： tan (tan + tan ) .
2 2
▲ ▲ ▲
18．（17 分）
设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱 A1B1C1D1 ABCD ，上部的形状是正四棱锥
P A1B1C1D1，且该帐篷外接于球O （如图所示）.
（1）若正四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 是棱长为 2m 的正方体，求该帐篷的顶点 P 到底面 ABCD 中
心O2 的距离；

（2）若该帐篷外接球O 的半径3m ，设 POC1 = ， (0, )，该帐篷的体积为V ，则当 cos
2
为何值时，体积V 取得最大值.
▲ ▲ ▲
19．（17 分）
函数 y = f (x) 满足：对任意 x I ， f (x) kx + b 恒成立（或 f (x) kx + b 恒成立），则称直
线 y = kx + b 是函数 y = f (x) 在 x I 上的支撑线.
（1）下列哪些函数在定义域上存在支撑线？选择其中一个证明；
1
① y = x + ② y = x3 x③ y = e ④ y = sin x + cos x
x
（2）动点 P在函数 f (x) = e x + 2 图象上，直线 l : y = a(x 1)是 g(x) = ln x 在定义域上的支撑线，
求点 P到直线 l 的距离最小值；
（ x 23）直线 y = x +1是函数 f (x) = e ax 在 x [0,+ ) 上的支撑线，求实数a 的取值范围.
▲ ▲ ▲
2024~2025 学年度第一学期高三年级第一次联考
数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。
1．A 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分。
9．ACD 10．ABD 11．BC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15分。
12．5 13．(8,10) 14．√3 √3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。
1 3
15．（1） f (x) = x3 x2 + 2x, f ' (x) = (x 1)(x 2) ....................................1 分
3 2
所以 x 1或x 2 时， f ' (x) 0 ； ' 1 x 2 时， f (x) 0
则 f (x) 在 (1,2) 上递减，在 ( ,1),(2,+ )递增....................................4 分
2 5
所以 f (x) 的极小值为 f (2) = ，极大值为 f (1) = ....................................6 分
3 6
（2） f ' (x) = (x a)(x 2) ....................................7 分
当 'a = 2 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 ( ,+ )上递增....................................9 分
当 a 2 时， x 2或x a时， f ' (x) 0 ；2 x a 时， f ' (x) 0
所以 f (x) 在 ( ,2),(a,+ ) 上递增，在 (2,a)上递减....................................11 分
当 a 2 时， x a或x 2时， f ' (x) 0 ； ' a x 2 时， f (x) 0
所以 f (x) 在 ( ,a),(2,+ ) 上递增；在 (a,2)上递减.....................................13 分
16.（1）证明： 正方形 ABCD ， AC ⊥ BD ...................................1 分
D1O ⊥底面 ABCD ， AC 面 ABCD ， D1O ⊥ AC ....................................3 分
AC ⊥ BD， D1O ⊥ AC ，BD, D1O 面 BDD1B1 ， BD D1O =O
AC ⊥面 BDD1B1 ....................................5 分
又 DD1 面BDD1B1 ， AC ⊥ DD1 ....................................6 分
又平行六面体 ABCD A1B1C1D1， DD1 // CC1
AC ⊥ CC1 ....................................7 分
（2）法一：综合法（略）；
法二：向量法
取 AB中点H ，连接D1H ,OH
正方形 ABCD ， OH ⊥ AB
D1O ⊥底面 ABCD ， AB 面 ABCD ， D1O ⊥ AB
AB ⊥OH ， D1O ⊥ AB，OH , D1O 面 D1OH ，OH D1O =O
AB ⊥面 D1OH
又 D1H 面D1OH ， AB ⊥ D1H
D1HO 是二面角D1 AB D 的平面角...................................10 分
又二面角D1 AB D 的正切值为 2 ， D1O =1 ....................................11 分
建立如图所示的空间直角坐标系
则 D1(0,0,1),D(0, 1,0), A(1,0,0),C( 1,0,0)
A1C = A1A+ AC = D1D + AC = (0, 1, 1) + ( 2,0,0) = ( 2, 1, 1)
D1O ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 的一个法向量为 OD1 = (0,0,1) ....................................13 分
6
设直线 A1C 与平面 ABCD 所成角为 ， （0，）,sin =| cos A1C,OD1 |= ....................14 分
2 6
30
cos = 1 sin 2 = ....................................15 分
6
1
17.（1） cos 2 + cos = 0, 2cos2 + cos 1= 0, cos = 1或cos = ......................2 分
2

(0, ), = ....................................3 分
2 3
5 5 1
sin + cos = , 1+ sin = , sin = ....................................5 分
2 2 2 4 4

(0, ), cos = 1 sin 2
15
= ...................................6 分
2 4
15 3
cos( + ) = cos cos sin sin = ....................................7 分
8
+
sin
+ 1 2 1 sin sin （2）欲证 tan (tan + tan ) ，即证 ( + )
2 2 + 2 cos cos
cos
2
+ + +
sin sin cos
2 1 sin cos + cos sin 1 sin( + )即证 ( ) = = 2 2
+ 2 cos cos 2 cos cos cos cos
cos
2
+ +
(0, ), (0, ),sin 0,cos 0,
2 2 2 2
+
cos
1
即证 2
+ cos cos
cos
2
+
即证 cos2 cos cos
2
1+ cos( + )
即证 cos cos
2
即证1 cos cos + sin sin = cos( + ) ，证毕.....................................15 分
18.（1） 正四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 是棱长为2m 的正方体
R =OA1 =OP = 3 .....................................2 分
O2P =OP +OO2 = 3 +1 .....................................4 分

（2） POC1 = ， (0, ), OO1 = 3cos ,O1C1 = 3sin
2
O1P = 3 3cos , AB = 3 2 sin .....................................7 分
1
V = AB2 AA1 + AB
2 O P =18sin 21 (1+ 5cos ) =18(1 cos
2 )(1+ 5cos ) .................10 分
3
令 t = cos (0,1), V =18(1 t 2 )(1+ 5t) .....................................12 分
' 2( 19 1) V =18( 15t 2 2t + 5) = 0, t =
15
2( 19 1) 2( 19 1)
V 在 (0, )上递增，在 ( ,1) 递减.....................................16 分
15 15
2( 19 1)
cos = 时，体积V 取得最大值.....................................17 分
15
19.（1） ③ y = e x ④ y = sin x + cos x

证明： y = sin x + cos x = 2 sin(x + ) 2 ， y = 2 是一条支撑线.....................................3 分
4
（ y = e x x +1或y = e x ex ）
（2）直线 l : y = a(x 1)是 g(x) = ln x在定义域上的支撑线
若 a 0 ，则0 x 1时， l : y = a(x 1) 0 ln x ； x 1时， l : y = a(x 1) 0 ln x，不合题意
a 0 ....................................4 分
直线 l : y = a(x 1)是 g(x) = ln x在定义域上的支撑线， ln x a(x 1)恒成立
1 ax 1
令 h(x) = ln x a(x 1)， h ' (x) = = 0, x =
x a
1 1
0 x 时， h ' (x) 0； x 时， h ' (x) 0
a a
1 1
h(x) 在 (0, )上递增，在 ( ，+ ) 上递减
a a
1 1
h(x) 的最大值为 h( ) = ln a a( 1) = a ln a 1 0
a a
又易证 y = a ln a 1在 (0,1) 上递减，在 (1，+ ) 上递增
a ln a 1 0, a =1 .....................................7 分
设 xP(x0 ,e
0 + 2)， f (x) = ex + 2在 P处的切线斜率为 xe 0
所以当在 P处的切线斜率为 xe 0 =1即 x0 = 0时，
4
点 P到直线 l : y = x 1的距离取得最小值为d = = 2 2 .....................................9 分
2
（3）直线 y = x +1是函数 f (x) = ex ax2 在 x [0,+ ) 上的支撑线
①若 f (x) = ex ax2 x +1在 x [0,+ ) 上恒成立
x 2 ax
2 + x +1
e ax + x +1, 1
ex
ax2 + x +1 x( ax + 2a 1)
记 h(x) = , x 0, h ' (x) =
ex ex
' x( ax + 2a 1) h (x) = .....................................10 分
ex
x
当 a = 0 时， h ' (x) = 0 ，h(x) 在[0,+ ) 上单调递减，h(x) h(0) =1，符合题意.........11 分
ex
当 a 0 时， ex x +1 ax2 + x +1，符合题意.....................................13 分
1
当 0 a 时， h ' (x) 0，h(x) 在[0,+ ) 上单调递减，h(x) h(0) =1，符合题意............14 分
2
1 2a 1 2a 1 2a 1
当 a 时，h(x) 在[0, ) 上单调递增，( ,+ )上单调递减，h( ) h(0) =1，不符
2 a a a
合题意.....................................15 分
②若 f (x) = ex ax2 x +1在 x [0,+ ) 上恒成立
a + a2 + 4
在 x (max{ ,2},+ )上 f (x) = ex ax2 x3 ax2 +1 x +1不符合题意
2
1
综上， a 符合题意......................................17 分
2