九年级上册第二十二章二次函数单元考试卷（含解析）

九年级上册 第二十二章 二次函数 单元考试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于二次函数，下列结论正确的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大
2．下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若是二次函数，则（ ）
A．7 B． C．或7 D．以上都不对
5．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．如图， 是等腰直角三角形，，，点 是 边上一动点，沿 的路径移动，过点 作 于点 ，设 ， 的面积为 ，则下列能大致反映 与 函数关系的图象是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知关于的方程有四个不同的实数解，，，，设，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
8．如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线过点，，，且，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，以/的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球飞出 时，达到最大高度．
12． 与x轴最多有一个交点，则的最小值为 ．
13．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点C距水面5m，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ．
14．将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是 ．
15．我们把a，b两个数的较大数记作，一次函数与函数的图象有且只有2个交点，则m的取值或范围为 ．
三、解答题
16．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题．
(1)写出方程的两个根
(2)写出不等式的解集
(3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围．
(4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围．
17．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式：
(1)抛物线过点；
(2)抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为．
18．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点，点在该抛物线上．若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由．
19．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．

（1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）结合图象，请直接写出 时，x的取值范围：_____．
20．已知二次函数的图象如图所示，与坐标轴的交点分别为A、B、C．

(1)求此函数解析式，及A、B、C的坐标，
(2)如果点是此二次函数的图象上一点，若，则的取值范围为______（直接写出结果）
(3)在轴上方的抛物线上是否存在点D，使得的面积为8，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知二次函数，
(1)若二次函数过点，
①求二次函数的表达式；
②当随的增大而减小时，求的取值范围；
(2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值．
22．如图，已知抛物线经过两点．
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标．
(2)直接写出当时，求y的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点，点的坐标是，顶点的坐标是，是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记，的面积分别为，．当，且直线时，求证：点与点关于轴对称．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查的是二次函数的增减性，由，抛物线开口向上，而对称轴为直线，可得答案；
【详解】解：∵二次函数，
由于，抛物线开口向上，
而对称轴为直线，
所以当时，y随x的增大而增大．
故选D
2．B
【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意；
C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B
3．B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用：设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则，根据矩形的面积公式列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设矩形的面积为垂直于墙的矩形的饲养室的边长为，平行于墙的矩形的饲养室的边长则，
则，
∵，
∴开口向下，在时，有最大值，且为，
则能建成的饲养室最大总占地面积为，
故选：B．
4．D
【分析】令的指数为，系数不为，列出方程与不等式解答即可．
【详解】由题意得：；且；
解得或；，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，求出的坐标，顶点式，求得二次函数的解析式即可．
【详解】解：如图，∵对应的两条抛物线关于轴对称，，
∴，
∵轴，，
∴关于对称轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设右轮廓所在抛物线的解析式为，把，代入，得：，
∴右轮廓所在抛物线的解析式为；
故选B．
6．B
【分析】本题考查了动点问题与等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的图象．分类讨论是解题关键，过A点作于H，利用等腰直角三角形的性质得到， ，分类讨论：当时，如图1，易得，根据三角形面积公式得到；当时，如图2，易得，根据三角形面积公式得到，于是可判断当时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】解：过A点作于H，
∵是等腰直角三角形，
∴， ，
当时，如图1，
∵，
∴
∴，
∴；
当时，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】

解：关于的方程有四个不同的实数解，，，，
与的交点有四个不同的实数解，，，，
如图所示，画出与的图象，易得，
与都关于轴对称，
，，故排除A．
与轴交点为，，易得，故排除B．
当时，与的交点横坐标为，，
即方程有两个大于零的解，
，
即，，故选C．
观察图像，当，显然，故排除D
故选：C
8．C
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，
.
故②正确.
图象与轴交于点，
，.
.
.
故③正确.
，
.
当时，，
.
，
，
.
故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点.
9．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键．
【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），
每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件，
每件电子产品售价为（元）时，销售量为件，
与之间的函数解析式为，
故选：C．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握抛物线的对称性和增减性，开口方向，是解决问题的关键．
根据抛物线的开口向下，对称轴是直线，得到抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就越大，由，，，知，与在对称轴两侧，可得，解此不等式即得．
【详解】∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就越大，
∵，
∴离对称轴最近，次之，离对称轴最远，
且与在对称轴两侧，
∴对称轴在直线和之间，
即，
∴．
故选：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，把二次函数化为顶点式即可得解．
【详解】解：，
小球飞出时，达到最大高度．最大高度．
故答案为：．
12．3
【分析】根据抛物线与轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标在轴上方或在轴上，根据当时，，得到，则，即可作答．本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点问题，熟悉这些性质是解题的关键．
【详解】解： 抛物线与轴最多有一个交点，且抛物线开口向上，
抛物线的顶点坐标在轴上方或在轴上，
当时，，
，
，
即
，
，
的最小值为3，
故答案为：3．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出的取值范围．
【详解】解：，，
点的坐标为．
点，的坐标分别为，．
，
可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为．
又此时抛物线过，
．
．
运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为．
令，
．
或（舍去）．
．
该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，
当抛物线过点时，顶点为．
此时，把代入，得．
同理，当抛物线过点时，，
由点在之间得的取值范围为．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意二次函数的图像与几何变换的关键．设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，设对称轴与轴交于点，可得，，然后根据题意得到，即，进而求解即可．
【详解】解：∵，
设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，
则，，，
设对称轴与轴交于点，则，可得，，
∵抛物线顶点为，由抛物线对称性可知，
∴，
∴，即，
解得，(舍)，
∴顶点的坐标为．
15．/
【分析】本题主要考查二次函数与一元一次不等式间的关系，根据题意判断直线的位置是关键，学会用转化的思想解决问题，结合x的范围画出函数的图象，由直线与该函数图象只有两个交点且，判断直线的位置得直线经过点时可以求出m；即找到临界点即可求解．
【详解】解：根据题意的：即，
解得：，
故当时，；当或时，；
函数图象如下：
由图象可知，
∵直线与函数的图象有且只有2个交点，且，
直线经过点时，
，
此时直线与函数的图象有且只有1个交点；
根据图象得：
当时，此时直线与函数的图象有且只有2个交点；
综上，时，一次函数与函数的图象有且只有2个交点，
故答案为：．
16．(1)1或3
(2)或
(3)
(4)
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
（1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可；
（2）看x轴下方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；
（3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；
（4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的交点为，，
∴方程的两个根为；
（2）∵由图象可知或时，二次函数的图象在x轴下方，
∴不等式的解集为或；
（3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是；
（4）∵由图象可知二次函数图象的顶点坐标为，
当直线在的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点，
∴当时，方程有两个不相等的实数根．
17．(1)
(2)
【分析】（1）把代入抛物线的解析式，从而可得答案；
（2）根据抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，可得，结合顶点为，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴抛物线为：；
（2）∵抛物线与的开口大小相同，开口方向相反，
∴，
∴抛物线为，
∵顶点为．
∴，
∴抛物线为：；
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，熟记待定系数法的方法与步骤是解本题的关键．
18．，理由见解析
【分析】设抛物线对称轴为直线，根据抛物线的增减性判断即可；
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握抛物线的增减性求解.
【详解】设抛物线对称轴为直线，则抛物线上点关于对称轴的对称点为，
存在，恰好使．
，即．
抛物线开口向上，
在对称轴的左侧随增大而减小．
又关于对称轴的对称点为且，
点，都在对称轴左侧，且，
19．（1）；；（2）（，）；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式，求得交点坐标即可；
（3）根据解得坐标，结合图象即可求得．
【详解】解：（1）将点和点代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为．
二次函数的对称轴为直线，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：，
解之得或，
点D的坐标为，，
（3）由图象可知，当或时，有．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点，自变量取值范围等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
20．(1)函数解析式为，，，
(2)
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）由题意知，，解得，，，解得，，（舍去），即，当，，即，当，，解得，，即，；
（2）由，可得对称轴为直线，由，可知当时，最小，，当时，最大，，进而可得；
（3）设，则，即，解得，，进而可求点坐标．
【详解】（1）解：由题意知，，解得，，
，解得，，（舍去），
∴，
当，，即，
当，，解得，，即，，
∴函数解析式为，，，；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴当时，最小，，
当时，最大，，
∴，
故答案为：；
（3）解：设，则，
∴，
解得，，
∴存在，点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21．(1)①；②
(2)8
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
（1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围；
（2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可．
【详解】（1）解：①二次函数过点
二次函数的表达式为；
②
时，随的增大而减小
即当随的增大而减小时，的取值范围为；
（2）二次函数
抛物线的对称轴为
点 和点关于对称轴对称
把点代入得
解得
.
22．(1)，顶点坐标
(2)
【分析】（1）将，两点坐标代入解析式，待定系数法就可求出，的值，再由化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）当时，由图象可直接得出y的取值范围
【详解】（1）解：将将，两点坐标代入，
可得：，
解得：，
，
化为顶点式：，则顶点坐标为．
（2）由图得当时，
∴，函数取最小值，
当时，，
当时，，
所以y的取值范围为：
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，以及图象与性质，牢固掌握待定系数法及其性质是解题的关键．
23．(1)该抛物线的解析式为
(2)见解析
【分析】（1）将点的坐标是，顶点的坐标是代入求解即可得到答案；
（2）过点作轴，垂足为，根据得到，设点的坐标为并求出，再求出直线的解析式，结合求出的解析式，根据交点求出点N的坐标即可得到答案；
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，顶点的坐标是，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴，垂足为，

当与都以为底时，
∵，
∴，
当时，则，解得，
∵点的坐标是，
∴，
∴，，
设点的坐标为，
∵点在第一象限，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式，
∵，
∴，即直线的解析式为，将其代入中，得，
解得或-1，
∵点在第二象限，，
∵，
∴点与点关于轴对称；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数解析式，利用方程思想求解．
答案第1页，共2页
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