力学专题实验——《探究单摆的运动》专项提升
一、典型例题 方法赏析
1．（2024高三上·北京市开学考）在不计空气阻力作用的条件下，下列说法中正确的是（ ）
A．自由下落的小球，其所受合外力的方向与其速度方向相同
B．做平抛运动的小球，其所受合外力的方向不断改变
C．做匀速圆周运动的小球，其所受合外力的方向一定指向圆心
D．做简谐运动的单摆小球，其所受合外力的方向总与速度方向相同
2．（2024高二下·清远期末）振动是自然界中普遍存在的运动形式，简谐运动是最简单、最基本的振动。关于简谐运动，甲、乙图对应的说法正确的是（ ）
A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动
B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子偏离平衡位置时的加速度方向永远指向平衡位置O点
C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力
D．图乙中单摆的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小
3．（2024高二下·龙马潭期末）如图所示，单摆在竖直平面内的、之间做简谐运动，点为单摆的固定悬点，点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（ ）
A．摆球在点时，动能最大，回复力最大
B．摆球由点向点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
C．摆球在点和点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大
D．摆球在点时，重力势能最小，机械能最小
4．（2024高二下·南沙期中）用图示装置完成“探究单摆周期与摆长的关系”：
（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径d为 cm。
（2）实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为 。
（3） 实验中用米尺测得摆线长为L，则当地的重力加速度g= （用测得物理量的符号表示）。
二、夯实基础 提升能力
5．（2024高二下·广州期中）几个同学在玩荡秋千时，感到秋千往返摆动的时间是有规律的。于是对“哪些因素影响秋千往返摆动的时间”提出下列猜想：
①可能与秋千的摆长l有关；
②可能与人和秋千坐垫的总质量有关；
③可能与秋千摆幅（摆动时人离开中心点B的最大距离）有关。于是进行了如图实验，将细绳一端固定在O点，另一端拴一小球制成一个摆，让小球自由往返摆动，记录数据如下表。请回答下列问题：
实验序号 摆长L/m 摆球质量/g 摆幅/m 往返摆动一次的时间/s
1 0.7 20 0.05 1.7
2 1.0 20 0.08 2.0
3 1.0 30 0.05 2.0
4 1.0 30 0.08 2.0
5 1.3 20 0.05 2.3
（1）实验序号3、4探究的是摆往返摆动一次的时间跟 （选填“摆长”“摆球质量”或“摆幅”）的关系；
（2）从本次实验可以得到的结论是：摆往返摆动一次的时间由 决定；
（3）本实验利用式可以测重力加速度g，为了更精确地测量出结果，是否需要把摆角拉得大一些？ （填“需要”或“不需要”）；
（4）摆钟是利用本实验的原理制成的。某一摆钟变慢了，要调准它，应将摆钟的摆长调 （选填“长”或“短”）。
6．（2024高二下·湖北期中）用图示装置完成“探究单摆周期与摆长的关系”：
（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径d为 cm。
（2）实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为 。
（3）多次改变细线的长度L（悬点到小球上方的距离），做出L与单摆周期的平方之间的关系图像如图丁所示，则当地的重力加速度大小为 （用a、d表示）。
7．（2024高二下·龙马潭期中）如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（ ）
A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s
8．（2024高二上·郫都月考）某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中。
（1）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图甲所示，则d= mm；
（2）若完成n次全振动的时间为t，用题目所测物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g= ；
（3）该组同学测出几组单摆振动周期T与摆长L的数据，并作出T2-L关系如图乙。则根据图像可得重力加速度g= m/s2。(结果保留2位小数)
三、思维提升 创新应用
9．（2024高二下·阳山月考）某同学在探究单摆运动中，图a是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图b是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F﹣t图像，根据图b的信息，（），下列说法不正确的是（ ）
A．用米尺量得细线长度L，即摆长为L
B．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力
C．从t=0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为0.1s
D．由图可计算出单摆的摆长为0.64m
10．（2024高二上·杭州期末） 在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
（1）该实验中用于测量时间的工具是____；
A． B． C．
（2）如图甲所示小明用游标卡尺测量小球的直径为 ；
（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是____；
A．摆线的长度应适当长些
B．单摆的摆角应尽量大些
C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置
D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期
（4）手机中集成了许多传感器，如光传感器、加速度传感器等，如图乙所示小明在家尝试用单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球摆动时会引起手机光传感器的曝光值改变。如图丙所示某次实验测得单摆4次全振动的时间为7.203s，已知单摆摆长为0.8m，可以计算出当地的重力加速度为 。（结果保留三位有效数字）
11．（2024高二下·普陀期中）将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法正确的是（ ）
A．秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为
D．该地的重力加速度
12．（2023高三上·廊坊月考）某滑板运动场地为一圆弧形滑道，其示意图如图所示，某同学用一辆滑板车和手机估测滑道的半径R（滑板车的长度远小于滑道的轨道半径），当地的重力加速度大小为g。
（1）在实验中，需要测量的物理量有____。
A．滑板车的质量m
B．圆弧形滑道的长度s
C．找出滑道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次往返运动的时间t
（2）若将滑板车的运动视为简谐运动，则该轨道的半径 （用已知和测量的物理量符号表示）。
四、直击高考 达成素养
13．（2023高三上·绥棱月考）在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径为 cm．
（2）实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为 ．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径为原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将 （填“变大”“不变”或“变小”）．
14．（2023高二上·射阳月考）
（1）小明同学在做“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，将摆球悬挂于铁架台上，下列各图中悬挂方式正确的是 ；测量小球直径时游标卡尺如图所示，其读数为 。
（2）小杨同学在“用插针法测定玻璃砖折射率”的实验中，在线段上正确地插好两枚大头针后，插上大头针时应采取的正确操作 ；正确操作后绘出的玻璃砖和三个针孔、、的位置如图所示。请结合所学的知识判断出其出射的光线应过 填“”或“”点。
15．（2024高二下·天心开学考）单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球构成单摆。
（1）某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程图，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片。从摆球离开左侧最高点时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从位置由静止运动到右侧最高点的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知____。
A．和位置等高，说明摆球在运动过程中机械能守恒
B．摆球在点的所受合力大小大于在点的合力
C．摆球经过点前后瞬间加速度大小不变
D．摆球从点到点的过程中重力做功的功率，等于摆球从点到点的过程中克服重力做功的功率
（2）甲、乙两位同学利用如图所示的实验器材探究单摆摆长与周期的关系。
(ⅰ)关于实验操作，下列说法正确的是 ；
A.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大
D.用刻度尺测量摆线的长度，这就是单摆的摆长
E.释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做次全振动所用的时间，则单摆周期
(ⅱ)如图所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径 。
(ⅲ)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出一组对应的与的数据，并作出图线，如图所示，图线上、两点的坐标分别为，，则可以得重力加速度 ；
(iv)同学乙发现计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是 。
A.测摆长时，摆线拉得过紧
B.误将次全振动记数为次
C.将摆线长度当着摆长来计算
D.摆动的摆角偏小
E.摆球的质量偏大
答案解析部分
1．【答案】A,C
【知识点】自由落体运动；平抛运动；匀速圆周运动；探究单摆的运动
【解析】【解答】A．本题考查了物体的运动情况，对物体正确受力分析即可正确解题。自由下落的物体，合力即重力方向竖直向下，加速度方向竖直向下，两者方向相同，A正确；
B．不计空气阻力，做平抛运动的物体，只受重力作用，合力恒定不变，B错误；
C．做匀速圆周运动的小球，其所受合外力的方向一定指向圆心，因为速度大小不变，所以切向加速度为零，只有向心加速度，即合力时时刻刻指向圆心，C正确；
D．做简谐运动的单摆小球，其所受合外力一部分充当切向加速度，一部分充当向心加速度，合力方向与速度方向不同，D错误。
故选AC。
【分析】对物体进行受力分析，然后根据小球的运动情况分析答题。
2．【答案】B,D
【知识点】简谐运动；探究单摆的运动
【解析】【解答】A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，所以弹簧振子在弹簧弹力作用下做变加速运动，故A项错误；
B．弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变速直线运动，故B项正确；
C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，故C项错误；
D．图乙中O点为单摆的平衡位置，在该位置单摆的回复力最小为零，且该点处速度最大，故D项正确。
故选：BD。
【分析】弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动；弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变加速直线运动；单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力；单摆在最低点时，其速度最大，回复力最小且为零。
3．【答案】C
【知识点】单摆及其回复力与周期；探究单摆的运动
4．【答案】（1）1.87
（2）
（3）
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）摆球的直径为
（2）单摆一周期经过两次平衡位置，由图可知，该单摆的周期为
（3）由单摆的周期公式
则当地的重力加速度大小为
【分析】读数时注意仪器的分度值及是否需要估读。根据图丙确定单摆运动的周期。根据题意确定单摆的摆长，再根据单摆周期公式确定当地的重力加速度。
5．【答案】（1）摆幅
（2）摆长
（3）不需要
（4）短
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）由实验数据知，在实验序号3、4中绳长和质量都相同，摆动幅度不同，所以研究的是摆往返摆动一次的时间跟摆幅的关系。
（2）往返摆动的时间在摆动幅度、质量变化时，摆长不变，摆动的时间不变；只有在摆长改变了，往返摆动的时间才改变；所以可得结论：往返摆动的时间与摆长有关，与小球质量和摆动幅度无关。
（3）单摆的摆角不超过5°，否则就不是简谐振动，因此不需要把摆角拉得大一些；
（4）某一摆钟变慢了，因往返摆动的时间受摆长的影响，钟摆越长，摆动越慢，所以要调准它即把摆长调短一些。
【分析】根据图表确定各组实验数据中物理量的异同，确定各实验组所研究的物理量，再根据实验结果得出实验结论，单摆的摆角不超过5°，再根据单摆周期公式确定修真摆钟的方法。
6．【答案】（1）1.87
（2）
（3）
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】(1) 游标卡尺分度值为0.1mm，摆球直径为
(2)摆球运动到最低点时R变大，由图可知周期为2t0；
(3)由单摆的周期公式
可得题图丁的函数关系式为
当图像与横坐标交点为a时有
解得当地的重力加速度大小为
【分析】(1)先明确分度值，再根据游标卡尺的读数方法进行读数；
(2)结合图像即可分析出摆球运动的周期；
(3)根据单摆周期公式及图丁，即可用a、d表达出当地的重力加速度大小。
7．【答案】C
【知识点】单摆及其回复力与周期；竖直平面的圆周运动；动能定理的综合应用；探究单摆的运动
8．【答案】（1）14.5
（2）
（3）9.86(9.83~9.89)
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）[1]10分度游标卡尺的精确值为，由图可知摆球直径为
（2）[2]若完成n次全振动的时间为t，则周期为
根据单摆周期公式
又
联立可得重力加速度的表达式为
（3）[3]根据单摆周期公式
可得
可知图像的斜率为
解得重力加速度为
【分析】根据单摆周期表达式求解重力加速度表达式，而且注意摆长等于摆线长加上小球半径。
9．【答案】A,B,C
【知识点】单摆及其回复力与周期；探究单摆的运动
10．【答案】（1）B
（2）14.3或14.4
（3）A；D
（4）9.72—9.76
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）该实验中用于测量时间需要准确的时间，则选用秒表。
故答案为：B。
（2）游标卡尺的读数为
（3）A、摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，故A正确；
B、单摆的摆角不能过大，需要满足摆角θ< 5°，故B错误；
C、测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，故C错误；
D、测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，故D正确；
故答案为：AD。
（4）根据单摆的周期公式
，
得
【分析】熟悉掌握探究单摆周期与摆长的关系实验的操作步骤及注意事项。读数时注意仪器的分度值及是否需要幅度。试验时单摆的摆角不能过大，需要满足摆角θ< 5°。测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，且需多次测量求平均值可以减小误差。再根据单摆周期公式进行数据处理。
11．【答案】D
【知识点】受迫振动和共振；单摆及其回复力与周期；探究单摆的运动
【解析】【解答】A．振幅不断减小，为阻尼振动，故A错误；
B．在最低点，根据牛顿第二定律
支持力大于手机所受的重力，故B错误；
C．两次经过最低点，有两次向心加速度最大，故周期为
故C错误；
D．根据单摆周期公式
可得当地重力加速度
故D正确。
故选D。
【分析】振幅不断减小，为阻尼振动，秋千的周期为从最大振幅偏角到另外一最大振幅偏角位置再回到最大振幅偏角位置所用得时间。
12．【答案】（1）C
（2）
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）滑板车在滑道上的“摆角”小于5°时，其运动可视为简谐运动。找出滑道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次往返运动的时间t，C正确。
故答案为：C。
（2）滑板车做往复运动的周期
根据单摆的周期公式
解得
【分析】本实验为单摆运动的拓展运用。根据机械能守恒定律确定滑板车在圆弧轨道做往复运动，其运动轨迹类似于单摆，确定其摆长，并根据单摆实验确定其周期。再结合单摆周期公式进行解答。
13．【答案】（1）2.06
（2）；变大
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）根据题意，由图甲可知，摆球的直径为d = 2cm+6×0.Imm = 2.06cm
（2）一个周期内小球两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，由题图丙可得，周期为
2to，从最低点到重新以相同方向返回最低点才是一个周期，
（3）改用直径大的小球后，摆长变长，根据单摆周期公式可知，周期变大。
【分析】（1）游标卡尺不用估读；
（2）周期等于一个完整全振动过程；
（3）利用单摆周期公式求解。
14．【答案】（1）C；19.0
（2）透过玻璃砖后挡住、的像；e
【知识点】测定玻璃的折射率；探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）为防止摆动过程中摆长发生变化，应用夹子夹住，C正确，游标卡尺的读数为
（2） 插上大头针时应采取的正确操作透过玻璃砖后挡住、的像，出射光线与入射光线平行，则光线应过点e。
【分析】（1）摆动过程中摆角不太大，摆长不变才能看做单摆运动，游标卡尺的读数应先读主尺再读游标尺，注意游标尺的分度值。
（2）利用光路的可逆性，应使c挡住a和b的像，光线透过平行板玻璃砖，入射光线与出射光线平行。
15．【答案】（1）A
（2）AB；2.06；；AB
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）A.摆球在A和B位置等高，且速度均为零，故摆球在这两点的动能和重力势能都相等，说明机械能守恒，A符合题意；
B.设绳与竖直方向夹角为，则摆球在最高点受到的合力大小为
由于则摆球在A点绳与竖直方向夹角小于摆球在B点绳与竖直方向夹角，则摆球在A点的所受合力大小小于在B点的合力，B不符合题意；
C.摆球经过O点的向心加速度为
摆球经过O点前后瞬间速度不变，但运动半径发生变化，故加速度发生变化，C不符合题意；
D.根据单摆的周期公式
可知摆球从A点到O点的过程中摆长较大，则周期较大，运动时间较长，根据
可知重力做功的功率较大，D不符合题意。
故答案为：A。
（2）（i）A.为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些，A符合题意；
B.为减小空气阻力带来的误差，摆球应尽量选择质量大些、体积小些的，B符合题意；
C.只有当摆角小于5°时，单摆才可以视为简谐运动，周期公式才成立，C不符合题意；
D.摆线的长度应等于摆线长于摆球半径之和，D不符合题意；
E.释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做次全振动所用的时间，则单摆周期
E不符合题意。
故答案为：AB。
（ii）图中游标卡尺的精确度为0.1mm，主尺读数为20mm，可动尺读数为0.1mm×6=0.6mm，故摆球直径为
d=20mm+0.6mm=20.6mm=2.06cm
(ⅲ) 根据单摆的周期公式
可得
结合图像的斜率可得
解得重力加速度
（iv）A.测摆长时，摆线拉得过紧，则摆长的测量值大于真实值，根据
可知重力加速度值偏大，A符合题意；
B.误将29次全振动记数为30次，则周期的测量值偏小，根据，可知重力加速度值偏大，B符合题意；
C.将摆线长度当做摆长来计算，则摆长测量值偏小，根据，可知则重力加速度值偏小，C不符合题意；
DE.摆角偏小、质量偏大，根据，可知不影响实验结果，DE不符合题意。
故答案为：AB。
【分析】（1）根据单摆的概念和简谐运动的特点分析判断；（2）（i）根据实验原理和注意事项分析；（ii）根据游标卡尺读数规则读数；(ⅲ) 由单摆的周期公式推导的表达式，z结合图像的斜率，求出重力加速度的值； (iv) 根据重力加速度的表达分析实验误差。
1 / 1力学专题实验——《探究单摆的运动》专项提升
一、典型例题 方法赏析
1．（2024高三上·北京市开学考）在不计空气阻力作用的条件下，下列说法中正确的是（ ）
A．自由下落的小球，其所受合外力的方向与其速度方向相同
B．做平抛运动的小球，其所受合外力的方向不断改变
C．做匀速圆周运动的小球，其所受合外力的方向一定指向圆心
D．做简谐运动的单摆小球，其所受合外力的方向总与速度方向相同
【答案】A,C
【知识点】自由落体运动；平抛运动；匀速圆周运动；探究单摆的运动
【解析】【解答】A．本题考查了物体的运动情况，对物体正确受力分析即可正确解题。自由下落的物体，合力即重力方向竖直向下，加速度方向竖直向下，两者方向相同，A正确；
B．不计空气阻力，做平抛运动的物体，只受重力作用，合力恒定不变，B错误；
C．做匀速圆周运动的小球，其所受合外力的方向一定指向圆心，因为速度大小不变，所以切向加速度为零，只有向心加速度，即合力时时刻刻指向圆心，C正确；
D．做简谐运动的单摆小球，其所受合外力一部分充当切向加速度，一部分充当向心加速度，合力方向与速度方向不同，D错误。
故选AC。
【分析】对物体进行受力分析，然后根据小球的运动情况分析答题。
2．（2024高二下·清远期末）振动是自然界中普遍存在的运动形式，简谐运动是最简单、最基本的振动。关于简谐运动，甲、乙图对应的说法正确的是（ ）
A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动
B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子偏离平衡位置时的加速度方向永远指向平衡位置O点
C．图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力和细线拉力的合力
D．图乙中单摆的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小
【答案】B,D
【知识点】简谐运动；探究单摆的运动
【解析】【解答】A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，所以弹簧振子在弹簧弹力作用下做变加速运动，故A项错误；
B．弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变速直线运动，故B项正确；
C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，故C项错误；
D．图乙中O点为单摆的平衡位置，在该位置单摆的回复力最小为零，且该点处速度最大，故D项正确。
故选：BD。
【分析】弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动；弹簧振子在弹簧弹力作用下做加速度方向永远指向平衡位置O点的变加速直线运动；单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力；单摆在最低点时，其速度最大，回复力最小且为零。
3．（2024高二下·龙马潭期末）如图所示，单摆在竖直平面内的、之间做简谐运动，点为单摆的固定悬点，点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（ ）
A．摆球在点时，动能最大，回复力最大
B．摆球由点向点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
C．摆球在点和点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大
D．摆球在点时，重力势能最小，机械能最小
【答案】C
【知识点】单摆及其回复力与周期；探究单摆的运动
4．（2024高二下·南沙期中）用图示装置完成“探究单摆周期与摆长的关系”：
（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径d为 cm。
（2）实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为 。
（3） 实验中用米尺测得摆线长为L，则当地的重力加速度g= （用测得物理量的符号表示）。
【答案】（1）1.87
（2）
（3）
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）摆球的直径为
（2）单摆一周期经过两次平衡位置，由图可知，该单摆的周期为
（3）由单摆的周期公式
则当地的重力加速度大小为
【分析】读数时注意仪器的分度值及是否需要估读。根据图丙确定单摆运动的周期。根据题意确定单摆的摆长，再根据单摆周期公式确定当地的重力加速度。
二、夯实基础 提升能力
5．（2024高二下·广州期中）几个同学在玩荡秋千时，感到秋千往返摆动的时间是有规律的。于是对“哪些因素影响秋千往返摆动的时间”提出下列猜想：
①可能与秋千的摆长l有关；
②可能与人和秋千坐垫的总质量有关；
③可能与秋千摆幅（摆动时人离开中心点B的最大距离）有关。于是进行了如图实验，将细绳一端固定在O点，另一端拴一小球制成一个摆，让小球自由往返摆动，记录数据如下表。请回答下列问题：
实验序号 摆长L/m 摆球质量/g 摆幅/m 往返摆动一次的时间/s
1 0.7 20 0.05 1.7
2 1.0 20 0.08 2.0
3 1.0 30 0.05 2.0
4 1.0 30 0.08 2.0
5 1.3 20 0.05 2.3
（1）实验序号3、4探究的是摆往返摆动一次的时间跟 （选填“摆长”“摆球质量”或“摆幅”）的关系；
（2）从本次实验可以得到的结论是：摆往返摆动一次的时间由 决定；
（3）本实验利用式可以测重力加速度g，为了更精确地测量出结果，是否需要把摆角拉得大一些？ （填“需要”或“不需要”）；
（4）摆钟是利用本实验的原理制成的。某一摆钟变慢了，要调准它，应将摆钟的摆长调 （选填“长”或“短”）。
【答案】（1）摆幅
（2）摆长
（3）不需要
（4）短
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）由实验数据知，在实验序号3、4中绳长和质量都相同，摆动幅度不同，所以研究的是摆往返摆动一次的时间跟摆幅的关系。
（2）往返摆动的时间在摆动幅度、质量变化时，摆长不变，摆动的时间不变；只有在摆长改变了，往返摆动的时间才改变；所以可得结论：往返摆动的时间与摆长有关，与小球质量和摆动幅度无关。
（3）单摆的摆角不超过5°，否则就不是简谐振动，因此不需要把摆角拉得大一些；
（4）某一摆钟变慢了，因往返摆动的时间受摆长的影响，钟摆越长，摆动越慢，所以要调准它即把摆长调短一些。
【分析】根据图表确定各组实验数据中物理量的异同，确定各实验组所研究的物理量，再根据实验结果得出实验结论，单摆的摆角不超过5°，再根据单摆周期公式确定修真摆钟的方法。
6．（2024高二下·湖北期中）用图示装置完成“探究单摆周期与摆长的关系”：
（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径d为 cm。
（2）实验时，摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为 。
（3）多次改变细线的长度L（悬点到小球上方的距离），做出L与单摆周期的平方之间的关系图像如图丁所示，则当地的重力加速度大小为 （用a、d表示）。
【答案】（1）1.87
（2）
（3）
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】(1) 游标卡尺分度值为0.1mm，摆球直径为
(2)摆球运动到最低点时R变大，由图可知周期为2t0；
(3)由单摆的周期公式
可得题图丁的函数关系式为
当图像与横坐标交点为a时有
解得当地的重力加速度大小为
【分析】(1)先明确分度值，再根据游标卡尺的读数方法进行读数；
(2)结合图像即可分析出摆球运动的周期；
(3)根据单摆周期公式及图丁，即可用a、d表达出当地的重力加速度大小。
7．（2024高二下·龙马潭期中）如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（ ）
A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s
【答案】C
【知识点】单摆及其回复力与周期；竖直平面的圆周运动；动能定理的综合应用；探究单摆的运动
8．（2024高二上·郫都月考）某小组在“用单摆测量重力加速度”实验中。
（1）安装好实验装置后，先用刻度尺测量摆线长l，再用游标卡尺测量摆球直径d，其示数如图甲所示，则d= mm；
（2）若完成n次全振动的时间为t，用题目所测物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g= ；
（3）该组同学测出几组单摆振动周期T与摆长L的数据，并作出T2-L关系如图乙。则根据图像可得重力加速度g= m/s2。(结果保留2位小数)
【答案】（1）14.5
（2）
（3）9.86(9.83~9.89)
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）[1]10分度游标卡尺的精确值为，由图可知摆球直径为
（2）[2]若完成n次全振动的时间为t，则周期为
根据单摆周期公式
又
联立可得重力加速度的表达式为
（3）[3]根据单摆周期公式
可得
可知图像的斜率为
解得重力加速度为
【分析】根据单摆周期表达式求解重力加速度表达式，而且注意摆长等于摆线长加上小球半径。
三、思维提升 创新应用
9．（2024高二下·阳山月考）某同学在探究单摆运动中，图a是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图b是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F﹣t图像，根据图b的信息，（），下列说法不正确的是（ ）
A．用米尺量得细线长度L，即摆长为L
B．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力
C．从t=0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为0.1s
D．由图可计算出单摆的摆长为0.64m
【答案】A,B,C
【知识点】单摆及其回复力与周期；探究单摆的运动
10．（2024高二上·杭州期末） 在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
（1）该实验中用于测量时间的工具是____；
A． B． C．
（2）如图甲所示小明用游标卡尺测量小球的直径为 ；
（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是____；
A．摆线的长度应适当长些
B．单摆的摆角应尽量大些
C．测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置
D．测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期
（4）手机中集成了许多传感器，如光传感器、加速度传感器等，如图乙所示小明在家尝试用单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球摆动时会引起手机光传感器的曝光值改变。如图丙所示某次实验测得单摆4次全振动的时间为7.203s，已知单摆摆长为0.8m，可以计算出当地的重力加速度为 。（结果保留三位有效数字）
【答案】（1）B
（2）14.3或14.4
（3）A；D
（4）9.72—9.76
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）该实验中用于测量时间需要准确的时间，则选用秒表。
故答案为：B。
（2）游标卡尺的读数为
（3）A、摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，故A正确；
B、单摆的摆角不能过大，需要满足摆角θ< 5°，故B错误；
C、测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，故C错误；
D、测量周期时，测摆球30~50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，故D正确；
故答案为：AD。
（4）根据单摆的周期公式
，
得
【分析】熟悉掌握探究单摆周期与摆长的关系实验的操作步骤及注意事项。读数时注意仪器的分度值及是否需要幅度。试验时单摆的摆角不能过大，需要满足摆角θ< 5°。测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，且需多次测量求平均值可以减小误差。再根据单摆周期公式进行数据处理。
11．（2024高二下·普陀期中）将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法正确的是（ ）
A．秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为
D．该地的重力加速度
【答案】D
【知识点】受迫振动和共振；单摆及其回复力与周期；探究单摆的运动
【解析】【解答】A．振幅不断减小，为阻尼振动，故A错误；
B．在最低点，根据牛顿第二定律
支持力大于手机所受的重力，故B错误；
C．两次经过最低点，有两次向心加速度最大，故周期为
故C错误；
D．根据单摆周期公式
可得当地重力加速度
故D正确。
故选D。
【分析】振幅不断减小，为阻尼振动，秋千的周期为从最大振幅偏角到另外一最大振幅偏角位置再回到最大振幅偏角位置所用得时间。
12．（2023高三上·廊坊月考）某滑板运动场地为一圆弧形滑道，其示意图如图所示，某同学用一辆滑板车和手机估测滑道的半径R（滑板车的长度远小于滑道的轨道半径），当地的重力加速度大小为g。
（1）在实验中，需要测量的物理量有____。
A．滑板车的质量m
B．圆弧形滑道的长度s
C．找出滑道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次往返运动的时间t
（2）若将滑板车的运动视为简谐运动，则该轨道的半径 （用已知和测量的物理量符号表示）。
【答案】（1）C
（2）
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）滑板车在滑道上的“摆角”小于5°时，其运动可视为简谐运动。找出滑道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机测出它完成n次往返运动的时间t，C正确。
故答案为：C。
（2）滑板车做往复运动的周期
根据单摆的周期公式
解得
【分析】本实验为单摆运动的拓展运用。根据机械能守恒定律确定滑板车在圆弧轨道做往复运动，其运动轨迹类似于单摆，确定其摆长，并根据单摆实验确定其周期。再结合单摆周期公式进行解答。
四、直击高考 达成素养
13．（2023高三上·绥棱月考）在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中：
（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径，结果如图甲所示，可读出摆球的直径为 cm．
（2）实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图乙所示，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的周期为 ．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径为原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将 （填“变大”“不变”或“变小”）．
【答案】（1）2.06
（2）；变大
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）根据题意，由图甲可知，摆球的直径为d = 2cm+6×0.Imm = 2.06cm
（2）一个周期内小球两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，由题图丙可得，周期为
2to，从最低点到重新以相同方向返回最低点才是一个周期，
（3）改用直径大的小球后，摆长变长，根据单摆周期公式可知，周期变大。
【分析】（1）游标卡尺不用估读；
（2）周期等于一个完整全振动过程；
（3）利用单摆周期公式求解。
14．（2023高二上·射阳月考）
（1）小明同学在做“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，将摆球悬挂于铁架台上，下列各图中悬挂方式正确的是 ；测量小球直径时游标卡尺如图所示，其读数为 。
（2）小杨同学在“用插针法测定玻璃砖折射率”的实验中，在线段上正确地插好两枚大头针后，插上大头针时应采取的正确操作 ；正确操作后绘出的玻璃砖和三个针孔、、的位置如图所示。请结合所学的知识判断出其出射的光线应过 填“”或“”点。
【答案】（1）C；19.0
（2）透过玻璃砖后挡住、的像；e
【知识点】测定玻璃的折射率；探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）为防止摆动过程中摆长发生变化，应用夹子夹住，C正确，游标卡尺的读数为
（2） 插上大头针时应采取的正确操作透过玻璃砖后挡住、的像，出射光线与入射光线平行，则光线应过点e。
【分析】（1）摆动过程中摆角不太大，摆长不变才能看做单摆运动，游标卡尺的读数应先读主尺再读游标尺，注意游标尺的分度值。
（2）利用光路的可逆性，应使c挡住a和b的像，光线透过平行板玻璃砖，入射光线与出射光线平行。
15．（2024高二下·天心开学考）单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球构成单摆。
（1）某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程图，即用在同一张底片上多次曝光的方法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片。从摆球离开左侧最高点时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从位置由静止运动到右侧最高点的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点时摆线被一把刻度尺挡住。对照片进行分析可知____。
A．和位置等高，说明摆球在运动过程中机械能守恒
B．摆球在点的所受合力大小大于在点的合力
C．摆球经过点前后瞬间加速度大小不变
D．摆球从点到点的过程中重力做功的功率，等于摆球从点到点的过程中克服重力做功的功率
（2）甲、乙两位同学利用如图所示的实验器材探究单摆摆长与周期的关系。
(ⅰ)关于实验操作，下列说法正确的是 ；
A.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些
B.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大
D.用刻度尺测量摆线的长度，这就是单摆的摆长
E.释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做次全振动所用的时间，则单摆周期
(ⅱ)如图所示，用游标卡尺测量摆球直径。摆球直径 。
(ⅲ)为了提高实验精度，在实验中可改变几次摆长并测出相应的周期，从而得出一组对应的与的数据，并作出图线，如图所示，图线上、两点的坐标分别为，，则可以得重力加速度 ；
(iv)同学乙发现计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是 。
A.测摆长时，摆线拉得过紧
B.误将次全振动记数为次
C.将摆线长度当着摆长来计算
D.摆动的摆角偏小
E.摆球的质量偏大
【答案】（1）A
（2）AB；2.06；；AB
【知识点】探究单摆的运动
【解析】【解答】（1）A.摆球在A和B位置等高，且速度均为零，故摆球在这两点的动能和重力势能都相等，说明机械能守恒，A符合题意；
B.设绳与竖直方向夹角为，则摆球在最高点受到的合力大小为
由于则摆球在A点绳与竖直方向夹角小于摆球在B点绳与竖直方向夹角，则摆球在A点的所受合力大小小于在B点的合力，B不符合题意；
C.摆球经过O点的向心加速度为
摆球经过O点前后瞬间速度不变，但运动半径发生变化，故加速度发生变化，C不符合题意；
D.根据单摆的周期公式
可知摆球从A点到O点的过程中摆长较大，则周期较大，运动时间较长，根据
可知重力做功的功率较大，D不符合题意。
故答案为：A。
（2）（i）A.为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能适当长一些，A符合题意；
B.为减小空气阻力带来的误差，摆球应尽量选择质量大些、体积小些的，B符合题意；
C.只有当摆角小于5°时，单摆才可以视为简谐运动，周期公式才成立，C不符合题意；
D.摆线的长度应等于摆线长于摆球半径之和，D不符合题意；
E.释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做次全振动所用的时间，则单摆周期
E不符合题意。
故答案为：AB。
（ii）图中游标卡尺的精确度为0.1mm，主尺读数为20mm，可动尺读数为0.1mm×6=0.6mm，故摆球直径为
d=20mm+0.6mm=20.6mm=2.06cm
(ⅲ) 根据单摆的周期公式
可得
结合图像的斜率可得
解得重力加速度
（iv）A.测摆长时，摆线拉得过紧，则摆长的测量值大于真实值，根据
可知重力加速度值偏大，A符合题意；
B.误将29次全振动记数为30次，则周期的测量值偏小，根据，可知重力加速度值偏大，B符合题意；
C.将摆线长度当做摆长来计算，则摆长测量值偏小，根据，可知则重力加速度值偏小，C不符合题意；
DE.摆角偏小、质量偏大，根据，可知不影响实验结果，DE不符合题意。
故答案为：AB。
【分析】（1）根据单摆的概念和简谐运动的特点分析判断；（2）（i）根据实验原理和注意事项分析；（ii）根据游标卡尺读数规则读数；(ⅲ) 由单摆的周期公式推导的表达式，z结合图像的斜率，求出重力加速度的值； (iv) 根据重力加速度的表达分析实验误差。
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