北京市第十五中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题(图片版，无答案)

2024北京十五中初三（上）开学考
数 学
时间：60分钟
一、选择题（每题 2分，共 20分）
1. 要使二次根式 x 3 有意义，x的值可以是（ ）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 0
2. 下列计算中，正确的是（ ）
2
2
A. ( 2 ) = 2 B. ( 2) = 2 C. 6 3 = 2 D. 8 2 = 4
3. 已知 x = 5 1时，则代数式 x2 + 2x + 3的值（ ）
A. 1 B. 4 C. 7 D. 3
4. 平面直角坐标系内，点 P (1, 3 )到原点的距离是（ ）
A. 2 B. 2 C. 3 +1 D. 4
5. 若菱形的两条对角线的长分别为 6 和 10，则菱形的面积为（ ）
A. 60 B. 30 C. 14 D. 15
6. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于
垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高 1 丈．将
一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向
远离墙的方向移动 1 尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1 丈=10 尺）
设木杆长 x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
x2 = (x 1)2 2A. +1 B. (x +1)
2 = x2 +102
2 2 2
C. x = (x 1) +10 D. (x +1)
2 = x2 +12
7. 想要计算一组数据：197，202，200，201，199，198，203 的方差 s2，在计算平均数的过程中，将这组
数据的每一个数都减去 200，得到一组新数据﹣3，2，0，1，﹣1，﹣2，3，且新的这组数据的方差为 4，
则 s2为（ ）
A. 4 B. 16 C. 196 D. 204
8. 正十二边形的外角和为（ ）
A. 30 B. 150 C. 360 D. 1800
9. 已知O 为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段OA = 2；
（2）过点A 作直线n垂直于OA；
（3）在直线n上截取线段 AB = 3；
（4）以O 为圆心，OB 的长为半径作弧，交数轴于点C .
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根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC = 5；②OB = 13 ；③3 OC 4 ；④
AC =1.上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
10. 如图，点 A、B、C 在同一条线上，点 B 在点 A，C 之间，点 D，E 在直线 AC 同侧， AB BC ，
A = C = 90 ，△EAB≌△BCD ，连接 DE，设 AB a ， BC = b ， DE = c ，给出下面三个结论：
① a + b c ；②a +b a2 +b2 ；③ 2 (a + b) c ；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（每题 3分，共 30分）
11. 计算：已知 x = 5 + 3 ， y = 5 3 ，则 xy = __________．
12. 下列命题：①两直线平行，同位角相等；②对顶角相等；③平行四边形的对角线互相平分．其中逆命题
是真命题的命题共有_____个．
13. 如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为1，正方形 ABCM ，CDEN ，MNPQ的顶点
都在格点上，则正方形MNPQ的面积为__________．
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14. 某校八年级同学 2020 年 4 月平均每天自主学习时间统计如图所示，则这组数据的众数是___．
15. 在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1． 点 Q在直线 BC上，且 AQ=2，则线段 BQ的长为
___________．
16. 在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y1＝kx+b与 y2＝x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为
2，则下列三个结论中正确的是_______（填写序号）．
①直线 y2＝x+m与 x轴所夹锐角等于 45°；②k+b＞0；③关于 x的不等式 kx+b＜x+m的解集是 x＜2．
17. 下列问题，①某登山队大本营所在地气温为 4℃，海拔每升高 1km 气温下降 6℃，登山队员由大本营向
上登高 xkm ，他们所在位置的气温是 y℃；②铜的密度为8.9g/cm3 ，铜块的质量 yg 随它的体积 xcm3的变
化而变化；③圆的面积 y 随半径 x的变化而变化．其中 y 与 x的函数关系是正比例函数的是______（只需
填写序号）．
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18. 为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所
示（各项成绩均按百分制计）：
项目 书面测试 实际操作 宣传展示
成绩（分） 96 98 96
若按书面测试占 30%、实际操作占 50%、宣传展示占 20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明
的最后得分是________．
19. 在平面直角坐标系 xOy中，若直线 y＝2x＋3 向下平移 n个单位长度后，与直线 y＝﹣x＋2 的交点在第
一象限，则 n的取值范围是________．
20. 如图 1，在矩形 ABCD中，动点 P从点 B出发，沿 B →C → D → A的路径匀速运动到点 A处停
止．设点 P运动路程为 x， PAB 的面积为 y，表示 y与 x的函数关系的图象如图 2 所示；则下列结论：①
a = 4；②b = 20 ；③当 x = 9 时，点 P运动到点 D处；④当 y = 9时，点 P在线段 BC 或 DA上，其中所
有正确结论的序号的是________．
三、解答题（共 50分，21~26每题 6分，27-28每题 7分）
21. 计算
3
（1） 12 10 5 + 8
2
（2）已知 x = 3 1，求代数式 x2 + 2x的值．
22. 如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC ， 相交于点 O，E、F分别是OA、OC 的中点．求证：
BE = DF ．
23. 已知：如图，在 ABC 中， AB = AC ．
求作：以 AC 为对角线的矩形 ADCE ．
作法：①以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AB，AC 于点 M，N；分别以点 M，N为圆心，大于
1
MN 的长为半径作弧，两弧在 BAC 的内部相交于点 P，作射线 AP 与 BC 交于点 D；
2
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②以点 A 为圆心，CD的长为半径画弧；再以点 C 为圆心， AD 的长为半径画弧，两弧在 AC 的右侧交于
点 E；
③连接 AE，CE ．
四边形 ADCE 为所求的矩形．
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵ AE = CD，CE = AD，
∴四边形 ADCE 为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知， AD 平分 BAC ，
又∵ AB = AC ，
∴ AD ⊥ BC ( )．(填推理的依据)
∴ ADC = 90 ．
∴平行四边形 ADCE 是矩形( )．(填推理的依据)
24. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b 的图象经过点 ( 1,0)， (1,2)．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 x 3时，对于 x的每一个值，函数： y = mx 1(m 0)的值小于函数 y = kx + b 的值，直接写
出m 的取值范围．
25. 某校舞蹈队共有 12 名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下：
a．12 名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b．12 名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3 m n
（1）写出表中m ，n的值；
（2）现将 12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该
组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙
组”)；
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甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为 165，167，
168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身
高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
26. 如图，矩形 ABCD中，点 E为边 AB 上任意一点，连结CE ，点 F为线段CE 的中点，过点 F作
MN ⊥ CE ，MN 与 AB 、CD分别相交于点 M、N，连结CM 、 EN ．
（1）求证：四边形CNEM 为菱形；
（2）若 AB =10， AD = 4，当 AE = 2时，求EM 的长．
27. 如图，正方形 ABCD中，点M 在 BC 延长线上，点 P 是 BM 的中点，连接 AP ，在射线 BC 上方作
PQ ⊥ AP ，且 PQ = AP．连接MD，MQ．
（1）补全图形；
（2）用等式表示MD 与MQ 的数量关系并证明；
（3）连接CQ，若正方形边长为 5，CQ = 6 2 直接写出线段CM 的长．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于线段 AB 和点 Q，给出如下定义：若在直线 y = x 上存在点 P，使得四
边形 ABPQ 为平行四边形，则称点 Q为线段 AB 的“相随点”．
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（1）已知，点 A(1,3)， B (5,3)．
①在点Q1 (1,5)，Q2 ( 1,3)，Q3 (0, 4)，Q4 ( 5,0)中，线段 AB 的“相随点”是 ；
②若点 Q为线段 AB 的“相随点”，连接OQ ， BQ，直接写出OQ + BQ的最小值及此时点 Q的坐标；
（2）已知点 A( 2,3)，点 B (2, 1)，正方形CDEF 边长为 2，且以点 (t,1)为中心，各边与坐标轴垂直或
平行，若对于正方形CDEF 上的任意一点，都存在线段 AB 上的两点 M，N，使得该点为线段MN 的“相
随点”，请直接写出 t 的取值范围．
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