人教版2024-2025学年八年级数学上册基础强化11.2.2三角形的外角同步练习（含解析）

人教版2024-2025学年八年级数学上册基础强化 11.2.2 三角形的外角 同步分层练习
班级： 姓名：
同学们：
练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！
一、单选题
1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（）

A． B． C． D．
2．如图，一幅三角板的直角顶点A重合，等腰三角板的腰于D，则（　　）

A． B． C． D．
3．如图，已知，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．一副三角尺按如图所示的位置摆放()，其中点D在边上，点E在边上，若，则的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．给出下列命题：
（1）三角形的一个外角一定大于它的一个内角
（2）若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形
（3）一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形
（4）在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行
（5）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
其中真命题的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如图，，，，则=（ ）
A． B． C． D．
7．如图,∠ACD=120°,∠B=20°,则∠A的度数是
A．120° B．100° C．90° D．60°
8．如图，已知直线，被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，，下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．如图，AB∥CD，点E为AB上方一点，FB，HG分别为∠EFG，∠EHD的角平分线，若∠E+2∠G＝150°，则∠EFG的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．150°
10．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．如图，是的边上一点，，，，则的度数为 ．
12．如图，已知，将直线平行移动到直线的位置，则
13．如图，在中，于点，平分交于点．若，，则 ．
14．如图，若∠A=70°，∠ABD=120°，则∠ACE= ．
15．如图，在中，，分别作其内角与外角的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点，则 度；分别作与的平分线，且两条角平分线交于点，则 度．
三、解答题
16．如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，.
（1）求证：；
（2），，求∠DEC的度数.
17．已知在中，，是平分线，求和的度数．
18．（1）如图，ΔABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F. 求证：2∠AED-∠CAD=170°；
（2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）
19．综合与实践：
借助一副三角板的不同摆放方式，研究并解决以下问题．
(1)如图1， _____，利用一副三角板，我们还能画一些度数的角，请你再写出两个：_____，_____；（角的范围是，，，，除外）
(2)如图2，若的度数比度数的2倍还多，求的度数；
(3)将一副三角板如图3所示摆放，直线，如图4，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒．
①当旋转到时，请直接写出t的值；
②在三角板绕点A旋转的同时，三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，若边与三角板的一条直角边（边，边）平行时，请直接写出t的值．
20．（1）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；

（2）如图，AB∥CD，AB的下方两点E、F满足：BF平分∠ABE、DF平分∠CDE，若∠DFB＝20°，∠CDE＝70°，求∠ABE的度数；

（3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变，可以证明只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

21．如图1，在四边形ABCD中，点E为AB延长线上一点，连接并延长交AD延长线于点，，.（1）求证：；
图1
（2）如图2，连接交于点，连接，若为的角平分线，为的角平分线，过点作交于点， 求证：；
图2 备用图
（3）在（2）的条件下，若，，求的度数.
1．C
【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．直接根据三角形外角的性质可得出答案．
【详解】解：∵，
故选：C．
2．D
【分析】根据三角板的特点和三角形外角的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了两个直角三角板角度的特点，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．D
【分析】连接并延长交于点E，利用三角形外角的性质求解．
【详解】解：如图，连接并延长交于点E，

，，
，
，，
，
故选D．
【点睛】本题考查三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4．A
【分析】本题考查三角形的内外角关系、平行线的性质以及平角的定义，寻找角与角之间的关系是解决本题的关键．
根据平行线得到，即可得到，然后利用三角形的外角得到即可得到答案．
【详解】，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选A.
5．B
【分析】分别根据命题与定理, 三角形外角的性质、直角三角形的判定、多边形的内角和、平行公理的推论，垂直等知识逐项分析即可
【详解】解：(1)三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故三角形的一个外角不一定大于它的一个内角，（1）为假命题；（2）180°×=180°×=90°，故(2)为真命题；（3）根据多边形的内角和可得：(n 2)180°=540°，解得：n=5.则这个多边形是五边形，真命题；
（4）平行于同一条直线的两条直线平行，真命题；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，真命题；
故选B
【点睛】此题考查命题与定理, 三角形外角的性质、直角三角形的判定、多边形的内角和、平行公理的推论，垂直等知识，利用相应的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项，掌握相关知识是解题的关键.
6．D
【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可得∠EAB的同位角=∠E+∠C=57°，再有AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠EAB=57°.
【详解】∵∠E=37°，∠C=20°，∠DOE是△COE的外角，
∴∠DOE=∠E+∠C=57°，
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠DOE=57° ，
故选D.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和是解题的关键.
7．B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解即可．
【详解】解：∠BAC=∠ACD ∠B=120° 20°=100°.
故答案选B.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外角性质.
8．D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可．
【详解】解：如图1，过作，则由，可得
∴，，
∴．
如图2，同理可得．故①有可能，
如图3，同理可得．故②有可能，
其中：当时，，故③有可能，
如图4，同理可得．故④有可能，
如图5，同理可得．
如图6，同理可得．
综上所述，①②③④均有可能．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时需注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
9．C
【分析】如图（见解析），过G作，先根据平行线的性质、角的和差得出，再根据角平分线的定义得出，然后根据平行线的性质、三角形的外角性质得出，联立求解可得，最后根据角平分线的定义可得．
【详解】如图，过G作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵FB、HG分别为、的角平分线，
∴，，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
解得，
，
故选：C．
，
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
10．C
【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算．
【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）
∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
∴∠P=90°+∠A；
故（1）的结论正确；
（2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）
∠P=∠PCE-∠PBC
∴2∠P=∠A
故（2）的结论是错误．
（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠FBC+∠ECB）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+180°）
=90°-∠A．
故（3）的结论正确．
正确的为：（1）（3）．
故选C
【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
11．32°
【分析】根据外角的性质得到，而，得到，再利用三角形内角和定理得到与得关系，进而利用以及角的和差关系，列方程求解．
【详解】解：∵ ，，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
故填：32°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．110
【分析】延长，交直线于点．根据平行线的性质得出，再利用三角形外角的性质以及对顶角相等的性质即可求出．
【详解】解：如图，延长，交直线于点．
（平移的性质），
，
，，
．
故答案为110．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
13．72
【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，由直角三角形两锐角互余可得，根据题意结合平分，可知，再利用直角三角形两锐角互余即可求解，掌握直角三角形两锐角互余是解决问题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，则，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，则，
故答案为：72．
14．130°
【分析】根据邻补角的定义求出∠ABC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】∵∠ABD=120°，∴∠ABC=180°﹣∠ABD=180°﹣120°=60°，∴∠ACE=∠ABC+∠A=60°+70°=130°．
故答案为130°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和邻补角的定义，是基础题，准确识图并熟记性质与概念是解题的关键．
15． 45 67.5
【分析】①由角平分线的性质可得，，由外角的性质可得出与的关系，由三角形的内角和定理写出的表达式，将代入求解即可；
②由角平分线的性质可得：，，由三角形的外角的性质分别得出：，，将对应角的度数代入求解即可．
【详解】①由角平分线的性质可得：
， ，
由外角的性质可得：
，
，
，
=
=
=
=；
②由角平分线的性质可得：
，，
由三角形的外角的性质可得：
，
，
同理可得：
，
，
，
．
故答案为：①45；②67.5
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、外角的性质以及角平分线的性质，根据定理列式并将式子变形求解是解题的关键．
16．（1）证明见解析；（2）110°.
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据三角形的外角性质得，可求出，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】（1）∵CD是△ABC的角平分线，
∴
∵
∴
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵∠BDC是△ADC的外角
∴
∴
∴
∴.
故答案为（1）证明见解析；（2）110°.
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，准确识别图形是解题的关键．
17．，
【分析】根据三角形内角和定理、三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：在中，，，
，
是平分线，
，
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（1）见解析；（2）2∠AED-∠CAD=（3n）°或2∠AED+∠CAD=540°-（3n）°
【分析】（1）根据角平分线的性质可设∠ADE=∠BDE=x°，由∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°可得∠AED= x°+50°①，根据三角形的外角的性质可得∠ADB=∠ACB+∠CAD，即可得到∠CAD=∠ADB-∠ACB，由∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°可得∠CAD=(2x)°-70°②，由①×2-②即可证得结论；
（2）解法同（1）.
【详解】解：（1）DE平分∠ADB
∴设∠ADE=∠BDE=x°
∵∠AED=∠ABC+∠BDE，∠ABC=50°
∴∠AED= x°+50° ①
∵∠ADB=∠ACB+∠CAD
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB
∵∠ACB=70°，∠ADB=(2x)°
∴∠CAD=(2x)°-70° ②
∴由①×2-②，得：2∠AED-∠CAD=170°；
（2）2∠AED-∠CAD=（3n）°或2∠AED+∠CAD=540°-（3n）°.
【点睛】本题是角的综合问题，此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.
19．(1)；，（答案不唯一）；
(2)；
(3)①；②10或40．
【分析】（1）由三角板的性质可得出，由三角板的度数求解即可．
（2）由图可知，结合已知条件可求出．
（3）①设直线与，分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间；
②分，，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值．
【详解】（1）解：，
例如：，，
故答案为：；，（答案不唯一）
（2）由图可知：，
∴，
由∵，
∴，
∴
（3）①如图，，
设直线与，分别交于P，Q，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当时，
设直线与，分别交于P，Q，
此时，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；

如图，当时，
延长，，分别与交于P，Q，
此时，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
解得：；

综上：所有满足条件的t的值为10或40．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解．
20．（1）AB∥CD；（2）∠ABE＝30°；（3）②∠MGN的度数为15°不变，证明见解析．
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）先由角平分线的定义可得：∠CDF＝∠CDE＝35°，∠ABE＝2∠ABF，然后根据两直线平行内错角相等，可得：∠2＝∠CDF＝35°，然后利用三角形外角的性质求出∠ABF的度数，进而可求∠ABE的度数；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠BPG＋∠B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NGP＝∠GPQ，然后列式表示出∠MGN＝∠B，从而判定②正确．
【详解】（1）结论：AB∥CD．
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠CAB，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠CDE＝35°，∠ABE＝2∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠2＝∠CDF＝35°，
∵∠2＝∠DFB＋∠ABF，∠DFB＝20°，
∴∠ABF＝15°，
∴∠ABE＝2∠ABF＝30°；
（3）解：②结论MGN的度数为15°不变．
如图3，根据三角形的外角性质，∠1＝∠BPG＋∠B，

∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，
∴∠GPQ＝∠BPG，∠MGP＝∠DGP，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DGP，
∴∠MGP＝（∠BPG＋∠B），
∵PQ∥GN，
∴∠NGP＝∠GPQ＝∠BPG，
∴∠MGN＝∠MGP－∠NGP＝（∠BPG＋∠B）－∠BPG＝∠B，
根据前面的条件，∠B＝30°，
∴∠MGN＝×30°＝15°，
∴①∠DGP－∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，综合性较强，难度较大，仔细分析图形，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点．
21．（1）见解析，（2）见解析，（3）
【分析】（1）先根据平行线的判定证明AF∥BC，可得∠FDC=∠DCB，由已知可得∠CBE=∠DCB，由平行线的判定可得结论；
（2）先根据垂直得∠HBC=90°=∠CBE+∠ABH，设，则∠ABH，由平行线和角平分线的定义可推出，； ，即可得结论；
（3）根据第（2）的结论，可得，由三角形的内角和得，根据已知可得，过点作，由平行线的性质及已知条件可得∠BFE=30°．
【详解】解：（1）
，
，
，
，
，
；
（2）过点作
为的角平分线，为的角平分线
，
设
由（1）问可知，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）由（2）得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点作
，
故答案为（1）见解析，（2）见解析，（3） .
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形的内角和、三角形的外角性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识，解本题的关键是熟练掌握角平分线的定义及各角的关系，是三角形综合题．