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专题四 一次函数与反比例函数综合参考答案
考点1：反比例函数与一次函数的交点及解析式
【例1】解：1）∵函数的图象过点，
∴，
∴；
（2）∵函数y=的图象过点，
∴．
∵的面积为6，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴点．
设直线的解析式为，
∵将，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
【跟踪训练1】.解：（（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【详解】（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
（2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C的坐标为或．
考点2：反比例函数与一次函数相交围城的三角形面积问题
【例2】解：（1）解：，
∴设，则．
在中，由勾股定理得，
∴
解得（负值舍去），
∴，
∴，
把代入解得：．
反比例函数解析式为，
在中，当时，，．
∴．
一次函数的图象过，
∴．
解得：．
一次函数解析式为．
（2）解：设一次函数与轴交点为，
∴．即．
∴．
【跟踪训练2】解：
（1）∵直线y＝px+3与y轴交点为B，
∴B（0，3），
即OB＝3，
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB＝＝3，
∵S△AOB：S△COD＝3：4，
∴S△COD＝4，
设C（m，），
∴m ＝4，
解得k＝8，
∵点A（2，q）在双曲线y＝上，
∴q＝4，
把点A（2，4）代入y＝px+3，
得p＝，
∴k＝8，p＝；
（2）∵C（m，），
∴E（m，m+3），
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE＝S△COE，
∵S△BOE＝，S△COE＝（）﹣4，
∴＝（）﹣4，
解得m＝4或m＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
考点3：利用反比例函数与一次函数的交点解不等式
【例3】解：反比例函数的图像经过，
，
反比例函数的解析式为；
在上，则，
的坐标是，
把代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，数形结合，由图像可知，不等式的解集是或．
【跟踪训练3】解：（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得
不等式的解集为：．
（3）∵，同理可得的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
巩固训练
1.（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．
【巩固训练2】解：（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）根据图象可知，，，当时， 或．
【巩固训练3】解：（1）∵四边形OABC是矩形，点D（4，1），且点D为AB的中点，
∴B（4，2），
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数解析式为y＝，
把y＝2代入得，2＝，
解得x＝2，
∴E（2，2）；
（2）把D（4，1）代入y＝x+m得，1＝4+m，解得m＝﹣3，
把E（2，2）代入y＝x+m得，2＝2+m，解得m＝0，
∴m的取值范围是﹣3≤m≤0．
【巩固训练4】解：（1）解：在中，当，则，
∴，
把代入中得：，
∴，
∴反比例函数解析式为
（2）如图，设点P的坐标为．
在直线中，令，得；令，得；令，得；
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点P坐标为．
【巩固训练5】解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形OABC是菱形，
设点A为（0，m），
∴OA＝BC＝AB＝m，
∵点B为（﹣4，8），
∴BF＝4，AF＝8﹣m，
在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，
解得：m＝5，
∴OA＝BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，3），
把点C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为（﹣4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得x＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，）．
【巩固训练6】解（1）：直线与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
，
，
在双曲线上，
，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）∵，
∴不等式的解集为：或 ；
（3）方法一：连接，作轴于G，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线CD的表达式为．
方法二：
连接BF，作轴于，
在直线上，
，
直线的表达式为，
，
，
，
，
，
，
∴设直线的表达式为，
在直线上，
，
，
∴直线的表达式为．
【巩固训练7】
解：（1）∵双曲线y过点A（﹣8，1），
∴m＝﹣8×1＝﹣8，
又∵直线y＝kx+b经过点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
∴，
解得k，b＝﹣3，
答：m＝﹣8，k，b＝﹣3；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为y，
直线AB的关系式为yx﹣3，
当y＝0时，x﹣3＝0，解得x＝﹣6，即C（﹣6，0），
∴OC＝6，
由点E（1，0）可得OE＝1，
∴EC＝OE+OC＝1+6＝7，
∴S△ABE＝S△ACE+S△BCE
7×17×4
；
（3）设直线DE的关系式为y＝kx+b，D（0，﹣3），E（1，0）代入得，
b＝﹣3，k+b＝0，
∴k＝3，b＝﹣3，
∴直线DE的关系式为y＝3x﹣3，
设DE平移后的关系式为y＝3x﹣3+n，由于平移后与y有唯一公共点，
即方程3x﹣3+n有唯一解，
也就是关于x的方程3x2+（n﹣3）x+8＝0有两个相等的实数根，
∴（n﹣3）2﹣4×3×8＝0，
解得n＝3+4，n＝3﹣4（舍去），
∴n＝3+4，
答：n的值为3+4．
【巩固训练8】解：（1）∵反比例函数y的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点，
∴k＝﹣1×3＝a×（﹣1），
∴k＝﹣3，a＝3，
∴点A（3，﹣1），反比例函数的解析式为y，
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴2×t＞3，
∴t．
【巩固训练9】
解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），
∵函数y1（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，
∴2，2＝k2，
∴k1＝2，k2＝2；
②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k1＝x0 y，k3＝﹣x0 y，
∴k1+k3＝0．
【巩固训练10】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝k2x+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y，
令y＝0，则x．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
【巩固训练11】解：（1）点坐标为，为中点，
，
，
反比例函数解析式为，
把代入得：，即，
（2），
设直线的解析式为，
解得：
直线的解析式为，
当时，，当时，，
直线经过点，
设，，
，
的面积等于的面积，
，
，
或
（3）由题意得：，，，
设，
分三种情况考虑：①当四边形为平行四边形时，可得，，
解得： ，，即；
②当四边形为平行四边形时，可得，，
解得：，，即；
③当四边形为平行四边形时，可得，，
解得：，，即，
综上，的坐标为或或．
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专题四 一次函数与反比例函数综合
【课标要求】
1.一次函数
（1）结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式；
（2）能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0图象的变化情况；理解正比例函数；
（3）体会一次函数与二元一次方程的关系；
（4）能用一次函数解决简单实际问题.
2.反比例函数
（1）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；
（2）能画出反比例函数图像，根据图像和表达式(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0
时，图像的变化情况；
能用反比例函数解决简单实际问题.
【考点梳理】
知识点1.一次函数
1.一次函数的概念：
函数y=_______(k、b为常数,k______)叫做一次函数.当b_____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数 .
2.一次函数的图象
(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____），(_______)的_________.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________.
3.一次函数的性质
(1)正比例函数y=kx（k≠0)的性质：
当k>0时，图象过______象限；y随x的增大而____.
当k<0时，图象过______象限；y随x的增大而____.
一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：
当k>0时，y随x的增大而_________. 当k<0时，y随x的增大而_________.
4.用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
设出含有待定系数的函数解析式____________________；
把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于k,b的__________；
解________________________________,求出待定系数k,b的值；
将求得的待定系数的值代入_____________________________.
知识点2:反比例函数
1.反比例函数概念：
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝ （k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数；
取值范围：①k≠0;②在一般的情况下,自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数；
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 ；
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴，但不会与坐标轴相
交（k≠0）.
2.反比例函数的性质：
（1）当k>0时，图象分别位于_____________象限，同一个象限内，y随x的_________；当k<0时，图象分别位于___________象限，同一个象限内,y随x的_____________. (2)k>0时，函数在x<0和 x>0上同为___函数；k<0时函数在x<0和x>0上同为___函数。
(3)因为在y=(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与_____轴相交，也不可能与______轴相交.
(4)在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=_______.
(5)反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴______________（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是_______.
(6)若设正比例函数y=mx与反比例函数y=交于A、B两点（m、n同号），那么A、 B两点关于________对称.
【典型例题】
考点1：反比例函数与一次函数的交点及解析式
例1.（2023南阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，函数图象过点和矩形的顶点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连结、，若的面积为6，求直线的表达式．
跟踪训练1.（2023湖南岳阳）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
考点2：反比例函数与一次函数相交围城的三角形面积问题
例2（2023河南焦作三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A、B两点，过点A作轴于点H，连接，其中，，点B的横坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)求的面积；
跟踪训练2.（2022 聊城）如图，直线y＝px+3（p≠0）与反比例函数y＝（k＞0）在第一象限内的图象交于点A（2，q），与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y＝px+3于点E，且S△AOB：S△COD＝3：4．
（1）求k，p的值；
（2）若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
考点3：利用反比例函数与一次函数的交点解不等式
例3（2023菏泽三模）.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点．
(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；
(2)请结合图像直接写出不等式的解集．
跟踪训练3．（2023四川内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
【巩固训练】
1.（2023山东东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
2.（2023滨州）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
3.（2023贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函的图象分别与AB，BC交于点D（4，1）和点E，且点D为AB的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点E的坐标；
（2）若一次函数y＝x+m与反比例函数的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D，E之间的部分时（点M可与点D，E重合），直接写出m的取值范围．
4.（2023眉山）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于F，E两点，与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求反比例函数解析式和B点坐标；
(2)如图，连接，P为线段上一点，使得，求P点坐标．
5.（2021 山东）如图，点P为函数与函数图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数图象上一动点，过点M作于点D，若，求点M的坐标．
6.（2023四川巴中）.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
(3)将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．
7.（2021 巴中）如图，双曲线y=与直线y＝kx+b交于点A（﹣8，1）、B（2，﹣4），
与两坐标轴分别交于点C、D，已知点E（1，0），连接AE、BE．
（1）求m，k，b的值；
（2）求△ABE的面积；
（3）作直线ED，将直线ED向上平移n（n＞0）个单位后，与双曲线y=有唯一交点，求n的值．
8.（2021 黄冈）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于
A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y=的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
9.（2021 杭州）在直角坐标系中，设函数y1=（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数
y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3=（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．
10.（2021 菏泽）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数（）的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．一次函数的图象经过、两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标为______．
11.（2023开封）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，顺次连接，，．
(1)求的值及点的坐标；
(2)点为轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点的坐标；
(3)平面直角坐标系中是否存在一点，使得，，，四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
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