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专题六 四边形综合
参考答案
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴DO＝BO，
又∵∠EOD＝∠FOB，
∴△BOF≌△DOE（ASA）；
（2）证明：由（1）已证△BOF≌△DOE，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，即DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形．
跟踪训练1.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，
∴，，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BCF＝∠AEB，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝EB，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABEA＝60°，
∵△ABE的面积等于，
∴，
∴AB＝4，
即AB＝AE＝EB＝4，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB是△AEC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，
即AC⊥AB，
由勾股定理得
即平行线AB与DC间的距离是．
例2.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝AB；
（2）解：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴＝，即＝，
∴GH＝1.2．
跟踪训练2．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE与△ADF中，
∵．
∴△ABE≌△ADF（AAS）．
∴AE＝AF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B+∠BAD＝180°．
而∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°．
又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°．
由（1）知△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°．
∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°．
例3.（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∵E为AM的中点，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠EAD＝∠EBC，
在△EAD和△EBC中，
，
∴△EAD≌△EBC（SAS），
∴ED＝EC；
（2）解：△CMB′是等腰直角三角形，理由如下：
根据旋转的性质可得，EB′＝EB，
∵EB＝AE＝ME，
∴EB′＝AE＝ME，
∴∠EAB′＝∠EB′A，∠EMB′＝∠EB′M，
∵∠EAB′+∠EB′A+∠EB′M+∠EMB′＝180°，
∴∠AB′M＝90°，
∴∠MB′C＝90°，
在正方形ABCD中，∠ACB＝45°，
∴∠B′MC＝45°，
∴B′M＝B′C，
∴△CMB′是等腰直角三角形；
（3）解：延长BE交AD于点F，如图所示：
∵∠BEM＝2∠BAE，∠B′EM＝2∠B′AE，
∵∠BAB′＝45°，
∴∠BEB′＝90°，
∴∠B′EF＝90°，
∵∠DEB′＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵△EAD≌△EBC，
∴∠AED＝∠BEC，
∵∠AEF＝∠BEM，
∴∠CEM＝∠DEF＝45°，
∵∠MCA＝45°，
∴∠CEM＝∠MCA，
又∵∠CME＝∠AMC，
∴△CME∽△AMC，
∴CM：AM＝EM：CM，
∵EM＝AM，
∴，
在正方形ABCD中，BC＝AB＝1，
设BM＝x，则CM＝1﹣x，
根据勾股定理，AM2＝1+x2，
∴＝（1﹣x）2，
解得x＝或x＝2+（舍去），
∴BM＝．
跟踪训练3.解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∴y＝AE2+AH2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16；
（2）当y＝10时，即2x2﹣8x+16＝10，
解得x＝1或x＝3，
答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10；
（3）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，
∵2＞0，
∴y有最小值，最小值为8．
即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8．
例4.（1）证明：
∵四边形ABCD为矩形，
.∴AD∥BF，
∴∠D＝∠DCF，
∵G为CD中点，
∴DG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△ADG≌△FCG（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵CE⊥AF，
∴∠CEF＝90°＝∠ABC，
∵∠F＝∠F，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝，
∵AB＝4，BF＝x，
在Rt△ABF中，
AF＝＝，
∵CE＝y，
∴＝，
∴y＝
（或者y＝）；
（3）解：过点E作EN⊥BF于点N，
∵四边形ABCD为矩形，AD＝3，
∴AD＝BC＝3，
∵AB＝4，CF＝1，
∴AB＝BF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴∠CFE＝∠BAF＝45°，
∵CE⊥AF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，
∵EN⊥CF，
∴EN平分CF，
∴CN＝NF＝NE＝，
在Rt△BNE中，根据勾股定理得：
BE2＝BN2+EN2，
∴BE＝＝，
∵∠ECF＝∠BAF＝45°，
∴∠BAM＝∠BCE＝135°，
∵BM⊥BE，
∴∠MBA+∠ABE＝90°，
∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠MBA＝∠EBC，
∴△BAM∽△BCE，
∴＝＝，
∴＝，
∴BM＝．
跟踪训练4．（1）证明：如图①，∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∴AE+EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE+EC＝BF．
（2）解：图②，AE﹣EC＝BF；图③，EC﹣AE＝BF，
理由：如图②，AE⊥BC交BC的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABC＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠AEF，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∵BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BE+EC＝BC＝AD，
∴AE﹣EC＝BF；
如图③，AE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝135°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴BE＝AE，
∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，
∴∠DEF＝90°，EF＝ED，
∴∠BEF＝∠AED＝90°﹣∠BED，
∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴BF＝AD，
∴BC＝AD，
∴EC﹣AE＝EC﹣BE＝BC＝AD，
∴EC﹣AE＝BF．
（3）解：如图①，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1；
如图②，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BF＝AD＝4，
∵AE﹣EC＝BF，
∴EC＝AE﹣BF＝3﹣4＝﹣1，即CE＝﹣1，不符合题意，舍去；
如图③，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝180°﹣∠AEB＝90°，
∵AE＝BE＝3，DE＝5，
∴AD＝＝＝4，
∴BC＝AD＝4，
∴CE＝BE+BC+3+4＝7，
综上所述，CE＝1或CE＝7，
故答案为：1或7．
例5.解：（1）四边形ABCD是正方形，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵GD⊥DF，
∴∠FDG＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，
∴四边形HFDG是矩形，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，
∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，
∴矩形HFDG是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM是等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，
∴∠HAB＝∠MAC，
∵，
∴△AHB∽△AMC，
∴，
即BH＝CM．
跟踪训练5.解：如图①，四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；
故答案为：两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；
【探究提升】证明：∵四边形纸条ABCD和EFGH是平行四边形，
∴MN∥EF，EN∥FM，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∵∠B＝∠FEH，
∴AB∥NF，
∵AN∥BE，
∴四边形ABEN是平行四边形，
∴AB＝EN，
∵AB＝EF，
∴EN＝EM，
∴ EFMN是菱形；
【结论应用】解：∵将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，
∴四边形GFCP是平行四边形，
∴PG＝CF，PG∥CF，
∵DM∥CF，
∴DM∥PG，
∴四边形PDMG是平行四边形，
∵MD＝MG，
∴四边形PDMG是菱形，
∴PG＝PD，
由【探究提升】知 EFMN是菱形，
∴FM＝EF，
∴EF＝CD，
∴CE＝CP，
∴四边形ECPH是菱形，
∵四边形ECPH的周长为40，
∴HE＝PC＝10，
∴FG＝HE＝10，
过G作GQ⊥BC于Q，
∵sin∠EFG＝＝，
∴GQ＝8，
∴四边形ECPH的面积为CE GQ＝10×8＝80．
故答案为：80．
【跟踪练习】
1.（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形AECF是矩形，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，
∵AE＝BE，AB＝2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝BE＝AB＝，
∵tan∠ACB＝＝，
∴EC＝2AE＝2，
∴BC＝BE+EC＝+2＝3，
即BC的长为3．
2.解：（1）四边形OCDE是菱形，理由如下：
∵CD∥OE，
∴∠FDC＝∠FOE，
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴FD＝FO，ED＝OE，CD＝CO，
在△FDC和△FOE中，
，
∴△FDC≌△FOE（ASA），
∴CD＝OE，
又ED＝OE，CD＝CO，
∴ED＝OE＝CD＝CO，
∴四边形OCDE是菱形．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝∠CDA＝90°，DO＝CO，
∵CE是线段OD的垂直平分线，
∴CD＝CO，
∴CD＝CO＝DO，
∴△ODC为等边三角形，
∴DO＝CD＝4，∠ODC＝60°，
∴，
在Rt△CDF中，CD＝4，DF＝2，
由勾股定理得：
，
由（1）可知：四边形OCDE是菱形，
∴，
∵∠GDF＝∠CDA﹣∠ODC＝30°，
∴，
∴，
∴．
3.（1）解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．
理由：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC，
∵QA＝QP，
∴QC＝QP，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上；
（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO．
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°
在 Rt△BPE 中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EP＝BE，
∵AE＝BE，
∴，
∴AE＝2EP；
②如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°，
∴BP＝CP，EP＝a，
∴AE＝2a，AP＝3a，
在Rt△APB中，∠APB＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，
△AOE≌△COQ（SAS），
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO，
∴AE∥CQ，
∵∠APB＝90°，
∴∠QCP＝90°，
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ＝a．
4.（1）证明：∵FH⊥EF，
∴∠HFE＝90°，
∵GE＝GH，
∴，
∴∠E＝∠GFE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴BF＝CE，
∴BF﹣BC＝CE﹣BC，
即BE＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC⊥BC，即DC⊥EF，AB＝CD，BC＝AD＝4，
∵FH⊥EF，
∴CD∥FH，
∴△ECD∽△EFH，
∴，
∴，
∵，
∴，
设BE＝CF＝x，
∴EC＝x+4，EF＝2x+4，
∴，
解得x＝1，
∴EF＝6．
5.（1）证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD，
∴∠ADE＝∠GEC＝90°，
∴AD∥GE，
∴∠DAG＝∠EGH．
（2）解：AH⊥EF，理由如下．
连结GC交EF于点O，如图：
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，
又∵DG＝DG，AD＝CD，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG．
在正方形ABCD中，∠ECF＝90°，
又∵GE⊥CD，GF⊥BC，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴∠DAG＝∠OEC，
由（1）得∠DAG＝∠EGH，
∴∠EGH＝∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH＝∠OEC+∠GEH＝∠GEC＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴AH⊥EF．
6.解：（1）如图，过点A作AG⊥OC于点G，连接AC，
∵顶点A的坐标为（2，2），
∴OA＝，OG＝2，AG＝2，
∴cos∠AOG＝＝，
∴∠AOG＝60°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠BOC＝∠AOB＝30°，AC⊥BD，AO＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∵DE⊥OB，
∴DE∥AC，
∴∠EDO＝∠ACO＝60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴ED＝OD＝x，
∵DF∥OB，
∴△CDF∽△COB，
∴，
∵A（2，2），AO＝4，
则B（6，2），
∴OB＝，
∴＝，
∴DF＝（4﹣x），
∴S＝
＝，
∴S＝（0≤x≤4），
（2）∵S＝
＝（0≤x≤4），
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为2．
7.（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°
∵CP＝CP，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD＝PB；
②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ＝90°；
理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，
∴四边形AMPN是矩形，PM＝PN，
∴∠MPN＝90°
∵PD＝PQ，PM＝PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），
∴∠DPN＝∠QPM，
∴∠QPN+∠QPM＝90°
∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；
③解：AQ＝OP；
理由：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，
∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，
∴PA＝PE，
∵PD＝PB，PD＝PQ，
∴PQ＝PB，
作PM⊥AE于点M，
则QM＝BM，AM＝EM，
∴AQ＝BE，
∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，
∴BE＝EF，
∴AQ＝OP；
（2）解：AQ＝CP；
理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，
∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，
∴∠BAC＝60°，PD＝PB，
∵PD＝PQ，
∴PQ＝PB，
作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，
则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，
∴BE＝EG＝PC，
作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，
∴QA＝BE，
∴AQ＝CP．
8.解：（1）如图1，
延长FG，交AC于H，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，∠CGH＝∠BGF＝90°，
∴∠CHG＝45°，CD∥FG，
∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP，
∴CG＝GH，
∴CG+BG＝GH+FG，
∴BC＝FH，
∴CD＝FH，
∴△CDP≌△HFP（ASA），
∴点P是DF的中点；
（2）如图2，
△APE是等腰直角三角形，理由如下：
延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°，
∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ，
∴∠M＝∠BEG，
∴AM＝AE，
∴AM﹣AD＝AE﹣AB，
∴DM＝BE，
∴DM＝EF，
∴△DQM≌△FQE（ASA），
∴DQ＝FQ，
∴点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P，
∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°，
∴∠APE＝90°，AP＝EP，
∴△APE是等腰直角三角形；
（3）如图3，
△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：
延长EP至Q，是PQ＝PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，
∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，
∴△PDQ≌△PFE（SAS），
∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，
∴∠N+∠ADQ＝180°，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，AB＝AD，BE＝EF，
∴∠N+∠ABE＝360°﹣∠BAN﹣∠BEN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，DQ＝BE，
∴∠ABE＝∠ADQ，
∴△ADQ≌△ABE（SAS），
∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝∠BAD＝90°，
∴∠QAE＝90°，
∴AP⊥EQ，AP＝PE＝，
∴△APE是等腰直角三角形．
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专题六 四边形综合
【课标要求】
1.了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.
3.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的 距离。
5.探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角， 对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探索并证明矩 形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的 平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平 行四边形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。
【考点梳理】
考点一：多边形
多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
多边形的内角和：n边形的内角和=(n－2)180°
正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°
（5）过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形共有条对角线．
（6）过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形．
考点二：相似多边形
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
（2）相似多边形的性质：
①相似多边形的周长的比等于相似比；②相似多边形的对应对角线的比等于相似比；
③相似多边形的面积的比等于相似比的平方；
④相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．
考点三：平行四边形的性质与判定
1.平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．
2.平行四边形的定义:两组对边分别 的四边形是平行四边形.
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 ，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处 ．
4.平行四边形的性质：
平行四边形的两组对边分别 ；
平行四边形的两组对边分别 ； 符号语言表达：
平行四边形的两组对角分别 ；
平行四边形的对角线互相 ．
平行四边形的邻角_______________.
5.平行四边形的判定：
两组对边分别 的四边形是平行四边形；
两组对边分别 的四边形是平行四边形；
一组对边 且 的四边形是平行四边形；
对角线互相 的四边形是平行四边形.
符号语言表达：
AB∥CD.BC∥AD四边形ABCD是平行四边
AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．
AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形．
OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．
考点四、特殊的平行四边形
1.性质：
（1）矩形：①矩形的四个角都是 ；②矩形的对角线 ；③矩形具有平行四边
形的所有性质．
菱形：①菱形的四条边都 ；②菱形的对角线互相 ，并且每条对角线
平分一组 ；③具有平行四边形所有性质．
正方形：①正方形的四个角都是 ，四条边都 ；②正方形的两条对角
线 ，并且互相 ，每条对角线平分一组 ．
2.判定：
（1）矩形：①有一个角是直角的 四边形是矩形；②对角线 的平行四边形是矩形；③有 个角是 的四边形是矩形．
菱形：①对角线 的平行四边形是菱形；②一组邻边 的平行四边是
菱形；③ 条边都相等的四边形是菱形．
正方形：①有一个角是 的菱形是正方形；②有一组邻边 的矩形是方
形；③对角线相等的 是正方形；④对角线互相垂直的 是正方形．
3.面积计算：
（1）矩形：S=长×宽；
（2）菱形：（是对角线）
（3正方形：S=边长2
平行四边形与特殊平行四边形的关系
【典型例题】
例1.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）证明：△BOF≌△DOE；
（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形．
跟踪训练1．如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，AE＝AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面积等于，求平行线AB与DC间的距离．
例2．如图， ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
跟踪训练2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
例3．如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．
（1）求证：ED＝EC；
（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，当∠DEB′＝45°时，求BM的长．
跟踪训练3．如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？
（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
例4．已知：四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）．连接AF交CD于点G．
（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG；
（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E．连接BE，设BF＝x，CE＝y．求y关于x的函数关系式；
（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M．当CF＝1时，求线段BM的长．
跟踪训练4． ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF．
（1）当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，如图①，求证：AE+EC＝BF；
（2）当点E在线段BC延长线上，∠ABC＝45°时，如图②；当点E在线段CB延长线上，∠ABC＝135°时，如图③，请猜想并直接写出线段AE，EC，BF的数量关系；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BE＝3，DE＝5，则CE＝ ．
例5．综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
跟踪训练5．
【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构
成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定
的依据是 ．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证： EFMN是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG＝（∠EFG 为锐角），则四边形ECPH的面积为 ．
【达标训练】
1．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．
（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；
（2）当CD＝4时，求EG的长．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．
（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
4．如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当＝，AD＝4时，求EF的长．
5．如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B，D不重合），GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足．连接EF，AG，并延长AG交EF于点H．
（1）求证：∠DAG＝∠EGH；
（2）判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐
为（2，2），点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF，设OD＝x，△DEF的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
7．[问题探究]
（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．
①求证：PD＝PB；
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．
[迁移探究]
如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．
8．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．
特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
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