2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.1 空间向量及其运算（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.1 空间向量及其运算
一、选择题
1．空间中，与向量同向共线的单位向量为( )
A. B.或
C. D.或
2．已知空间向量，，，且，，共面，则实数( )
A. B. C.0 D.1
3．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
4．已知向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
5．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则( )
A.， B.， C.， D.，
6．在棱柱中,( )
A. B. C. D.
7．已知向量,则与同向共线的单位向量( )
A. B. C. D.
8．已知空间向量,,满足,,,,则与夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知,,是空间中不共面的三个向量,则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
10．已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是( )
A.向量的模是3 B.、、两两垂直
C.向量和夹角的余弦值为 D.向量与共线
11．如图正四棱柱，则下列向量相等的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
12．关于空间向量，以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C.已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D.若，则是钝角
三、填空题
13．如图,在和中,B是的中点,,,若,则与的夹角的余弦值等于____________.
14．已知向量,点,,且,则______.
15．已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点,则的最大值为______.
16．试写出一个点C的坐标：__________，使之与点，三点共线.
四、解答题
17．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,在鳖臑中,平面PBC,平面PAB,D为PC的中点,.
（1）设,,,用,,表示;
（2）若,求.
18．在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形， ，.
（1）求侧棱的长；
（2）M，N分别为，的中点，求及两异面直线和MN的夹角.
19．如图，已知M，N分别为四面体的面与面的重心，G为上一点，且.求证：B，G，N三点共线.
20．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法,其运算法则如下:.若,则称为空间向量与的叉乘,其中,,为单位正交基底.以O为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,已知A,B是空间直角坐标系中异于O的不同两点.
（1）①若,求;
②证明:.
（2）记的面积为,证明:;
（3）问:的几何意义表示以为底面,为高的三棱锥体积的多少倍
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以，
所以与向量同向共线的单位向量，
故选：C.
2．答案：D
解析：因为，，共面，
所以存在实数，，使得，
即
所以，解得.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为
所以
即
所以.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为，所以A中的向量不能与，构成基底；
因为，所以B中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，解得，，
所以，故，，为共面向量，所以C中的向量不能与，构成基底；
对于，设，则，此方程组无解，所以，，不共面，故D中的向量与，可以构成基底.
故选：D
5．答案：A
解析：根据题意，得；
，
，，
故选：A
6．答案：B
解析:,
故选:B.
7．答案：D
解析：因为向量,所以,所以与同向共线的单位向量为:
,故选D.
8．答案：B
解析：设与的夹角为,由,
得,两边平方,得,
所以,解得,
又因为,所以.
9．答案：BC
解析：对于选项：因为,
所以,,三个向量共面,
故不能构成空间的一个基底,故A错误;
对于选项D：因为,
所以,,三个向量共面,
故不能构成空间的一个基底,故D错误;
因为,,是空间中不共面的三个向量,
对于选项B：设,显然不存在实数x,y使得该式成立,
所以,,不共面,可以作为基底向量,故B正确;
对于选项C：设,
则,方程无解,即不存在实数x,y使得该式成立,
所以,,不共面,可以作为基底向量,故C正确;
故选：BC.
10．答案：BC
解析：对于选项A，因为空间向量，，都是单位向量，且两两垂直，
所以，且，，，
则，
所以向量的模是，
故选项A错误；
对于选项B，因为空间向量，，都是单位向量，且两两垂直，
所以，
故、、两两垂直，故选项正确；
对于选项C，设与的夹角为，
则，
所以向量和夹角的余弦值为，
故选项C正确；
对于选项D，因为，
同理可得，
则，
所以向量与的夹角为，
则向量与不共线，
故选项D错误.
故选：BC.
11．答案：CD
解析：由正四棱柱可知，
A：，但与方向相反，故A不符题意；
B：，但与方向不同，故B不符题意；
C：，且与方向相同，故C符题意；
D：，且与方向相同，故D符题意.
故选：CD.
12．答案：ABC
解析：对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，所以A正确；
对于B，若对空间中任意一点O，有因为，
根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；
对于C，由于是空间的一个基底，则向量，，不共面
，则，，共面
可得向量，，不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；
对于D，若，即，又，所以，所以D不正确.
故选：ABC.
13．答案：
解析：由图知：,,
,
又,且,,
,
,而,即,
又,
.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,,所以,因为,所以,所以,,.
15．答案：2
解析：由题意画出图形,如图所示,
因为,且是向量在上的投影,所以当在棱上时,投影最大,所以的最大值为.
16．答案：（答案不唯一）
解析：根据题意可得，设，则设，
即
故，，不妨令，则，故.
故答案为：.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）连接BD,.
因为D为PC的中点,,所以
所以.
（2）因为,
所以
.
因为平面PBC,平面PAB,
所以,,.
又,所以,
即.
18．答案：（1）4
（2）0；90°
解析：（1）设侧棱，
在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，且，
，，，，，
又，
，
，，，
即侧棱.
（2），，
，
两异面直线AC1和MN的夹角为.
19．答案：证明见解析
解析：证明：取的中点E，连接，，
因为M，N分别为四面体的面与面的重心，
所以M在上，N在上，
设，，，
因为M为的重心，
所以
，
因为，所以,
所以，
因为N为的重心，
所以，
.
又，
B，G，N三点共线.
20．答案：（1）①;
②证明见解析
（2）证明见解析
（3）6
解析：（1）①因为,,
则.
②证明:设,,
则
,
与互换,与互换,与互换,
可得,
故.
（2）证明:因为
.
故,
故要证,
只需证,
即证.
由（1）,,
故,
又,,
则成立,
故.
（3）由（2）,
得
,
故,
故的几何意义表示:
以为底面,为高的三棱锥体积的6倍.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)