2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.2 空间向量基本定理（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.2 空间向量基本定理（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-25 11:29:04 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.2 空间向量基本定理
一、选择题
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量，向量，则与a，b不能构成空间的一组基的向量是( )
A. B. C. D.或
2．如图，平行六面体中，E为的中点.若，则( )
A. B. C. D.
3．三棱柱中，G为棱的中点，若，，，则( )
A. B. C. D.
4．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
5．已知G是的重心，O是空间中的一点，满足，，则( ).
A. B. C. D.
6．已知四棱柱的底面为平行四边形,M为与的交点.若,,,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
7．若a，b，c是空间的一个基底，且向量，，则可以与，构成空间的另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
8．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则( )
A. B. C. D.1
二、多项选择题
9．若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.向量与的夹角是
D.与AC所成角的余弦值为
11．已知三棱柱，P为空间内一点，若，其中，则( )
A.若，则点P在棱上（不包含点）
B.若，则点P在线段上（不包含点B）
C.若，则点P为棱的中点
D.若，则点P在线段上（不包含端点）
12．有下列命题，其中是真命题的有( )
A.若向量，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则
C.若，则P，M，A，B四点共面
D.若P，M，A，B四点共面，则
三、填空题
13．已知四面体是棱AB的中点,设,,,则________(用向量,,表示).
14．已知P是所在平面外一点，，且，则实数的值为______.
15．如图,两个正方形ABCD,CDEF的边长都是6,且二面角为,M为对角线AC靠近点A的三等分点,N为对角线DF的中点,则线段_________.
16．已知圆锥PO（P为圆锥顶点，O为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上三点，若空间一动点Q满足，则的最小值为__________.
四、解答题
17．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量.
（1）若，求a，b的关系式；
（2）若，求a，b的值.
18．如图，在正三棱柱中，底面边长为.
（1）设侧棱长为1，求证：；
（2）设与的夹角为，求侧棱的长.
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,,点E为BC的中点,点H在线段PD上且.
（1）用向量,,表示向量;
（2）求EH的长.
20．已知空间中三点,,,则下列结论正确的有( )
A. B.与共线的单位向量是
C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是
参考答案
1．答案：C
解析：，与a，b不能构成空间的一组基.故选C.
2．答案：A
解析：，故，，，即.
故选：A.
3．答案：B
解析：.
故选：B.
4．答案：B
解析：设向量在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，，，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：B.
5．答案：C
解析：，
，
所以.
6．答案：C
解析：四棱柱中,,,,
所以
,
故选：C.
7．答案：C
解析：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面.
对于选项A，，故，，共面，故A错误;
对于选项B，，故，，共面，故B错误;
对于选项C，，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确;
对于选项D，由选项A得，故，，共面，故D错误.
8．答案：C
解析：如下图所示,连接并延长交于点D,则点D为的中点,
为的重心,可得,
而,
,
所以,,
所以,,因此,.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A：由于向量构成空间的一个基底，且满足，故A正确；
对于B：由于，故B正确；
对于C：由于，故C错误；
对于D：由于，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则..
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：作出三棱柱，如图.
对于A，当时，，则，
所以点P在棱上（不包含点），故A正确；
对于B，当时，，所以点P在线段上（不包含点B），故B正确；
对于C，当时，由B知，所以P为线段的中点，故C错误；
对于D，当时，，所以，则，即，所以点P在线段上（不包含端点），故D正确.
故选ABD.
12．答案：AC
解析：A，C为真命题.B中需满足a，b不共线，D中需满足M，A，B三点不共线.
13．答案：
解析:由于D是棱AB的中点,
所以.
故答案为:
14．答案：0
解析：
又，
15．答案：
解析：根据题意,,
所以即为二面角的平面角,即,
因为,N为为对角线DF的中点,
所以,
又M为对角线AC靠近点A的三等分点,
则
所以,
所以
,
所以
.
所以所以线段
故答案为：
16．答案：
解析：因为，
所以，即，
所以，，共面.
又A，B，C为底面圆周上三点，所以点Q为平面ABC上一点.
由题意知平面ABC，
所以，又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以，所以的最小值为.
17．答案：（1）；
（2），
解析：（1）由得，所以，即，整理得；
（2）由得，所以，解得，.
18．答案：（1）证明见解析
（2）2
解析：（1）证明：，.
因为平面ABC，所以，.
又为正三角形，所以.
因为
，
所以.
（2）由（1）知.
又，
所以，
所以，即侧棱长为2.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）;
（2）,,
,
.
20．答案：AD
解析：由题意可得,,,
选项A：,故,正确;
选项B：不是单位向量,且与不共线,错误;
选项C：,错误;
选项D：设,则,,
所以,,又,所以平面的一个法向量是,正确;
故选：AD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.2 空间向量基本定理
一、选择题
1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量，向量，则与a，b不能构成空间的一组基的向量是( )
A. B. C. D.或
2．如图，平行六面体中，E为的中点.若，则( )
A. B. C. D.
3．三棱柱中，G为棱的中点，若，，，则( )
A. B. C. D.
4．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
5．已知G是的重心，O是空间中的一点，满足，，则( ).
A. B. C. D.
6．已知四棱柱的底面为平行四边形,M为与的交点.若,,,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
7．若a，b，c是空间的一个基底，且向量，，则可以与，构成空间的另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
8．设是正三棱锥,是的重心,G是上的一点,且,若,则( )
A. B. C. D.1
二、多项选择题
9．若向量构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.向量与的夹角是
D.与AC所成角的余弦值为
11．已知三棱柱，P为空间内一点，若，其中，则( )
A.若，则点P在棱上（不包含点）
B.若，则点P在线段上（不包含点B）
C.若，则点P为棱的中点
D.若，则点P在线段上（不包含端点）
12．有下列命题，其中是真命题的有( )
A.若向量，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则
C.若，则P，M，A，B四点共面
D.若P，M，A，B四点共面，则
三、填空题
13．已知四面体是棱AB的中点,设,,,则________(用向量,,表示).
14．已知P是所在平面外一点，，且，则实数的值为______.
15．如图,两个正方形ABCD,CDEF的边长都是6,且二面角为,M为对角线AC靠近点A的三等分点,N为对角线DF的中点,则线段_________.
16．已知圆锥PO（P为圆锥顶点，O为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上三点，若空间一动点Q满足，则的最小值为__________.
四、解答题
17．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量.
（1）若，求a，b的关系式；
（2）若，求a，b的值.
18．如图，在正三棱柱中，底面边长为.
（1）设侧棱长为1，求证：；
（2）设与的夹角为，求侧棱的长.
19．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,,点E为BC的中点,点H在线段PD上且.
（1）用向量,,表示向量;
（2）求EH的长.
20．已知空间中三点,,,则下列结论正确的有( )
A. B.与共线的单位向量是
C.与夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是
参考答案
1．答案：C
解析：，与a，b不能构成空间的一组基.故选C.
2．答案：A
解析：，故，，，即.
故选：A.
3．答案：B
解析：.
故选：B.
4．答案：B
解析：设向量在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，，，
所以向量在基底下的坐标为.
故选：B.
5．答案：C
解析：，
，
所以.
6．答案：C
解析：四棱柱中,,,,
所以
,
故选：C.
7．答案：C
解析：向量，，是空间的一个基底，则，，不共面.
对于选项A，，故，，共面，故A错误;
对于选项B，，故，，共面，故B错误;
对于选项C，，，不共面，故可以构成空间的另一个基底，故C正确;
对于选项D，由选项A得，故，，共面，故D错误.
8．答案：C
解析：如下图所示,连接并延长交于点D,则点D为的中点,
为的重心,可得,
而,
,
所以,,
所以,,因此,.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A：由于向量构成空间的一个基底，且满足，故A正确；
对于B：由于，故B正确；
对于C：由于，故C错误；
对于D：由于，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则..
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：作出三棱柱，如图.
对于A，当时，，则，
所以点P在棱上（不包含点），故A正确；
对于B，当时，，所以点P在线段上（不包含点B），故B正确；
对于C，当时，由B知，所以P为线段的中点，故C错误；
对于D，当时，，所以，则，即，所以点P在线段上（不包含端点），故D正确.
故选ABD.
12．答案：AC
解析：A，C为真命题.B中需满足a，b不共线，D中需满足M，A，B三点不共线.
13．答案：
解析:由于D是棱AB的中点,
所以.
故答案为:
14．答案：0
解析：
又，
15．答案：
解析：根据题意,,
所以即为二面角的平面角,即,
因为,N为为对角线DF的中点,
所以,
又M为对角线AC靠近点A的三等分点,
则
所以,
所以
,
所以
.
所以所以线段
故答案为：
16．答案：
解析：因为，
所以，即，
所以，，共面.
又A，B，C为底面圆周上三点，所以点Q为平面ABC上一点.
由题意知平面ABC，
所以，又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以，所以的最小值为.
17．答案：（1）；
（2），
解析：（1）由得，所以，即，整理得；
（2）由得，所以，解得，.
18．答案：（1）证明见解析
（2）2
解析：（1）证明：，.
因为平面ABC，所以，.
又为正三角形，所以.
因为
，
所以.
（2）由（1）知.
又，
所以，
所以，即侧棱长为2.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）;
（2）,,
,
.
20．答案：AD
解析：由题意可得,,,
选项A：,故,正确;
选项B：不是单位向量,且与不共线,错误;
选项C：,错误;
选项D：设,则,,
所以,,又,所以平面的一个法向量是,正确;
故选：AD.
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