2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.3 空间向量及其运算的坐标表示（含解析）

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2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.3 空间向量及其运算的坐标表示
一、选择题
1．若点，，在同一条直线上，则( )
A.21 B.4 C.4 D.10
2．已知，，，则下列结论正确的是( )
A.， B.，
C.， D.以上都不对
3．向量，，若，则的值为( )
A.2 B.1 C. D.
4．设x,,向量,,且,则( )
A. B. C.3 D.
5．已知,,若,则( )
A.1 B.2 C.3 D.-2
6．已知，，且，则x的值为( )
A.6 B. C. D.
7．已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则( )
A.-3 B.-4 C.3 D.4
8．如图,平行六面体的各棱长均为1,,,
则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A.
B.向量与所成角的余弦值为
C.平面AEF的一个法向量是
D.点D到平面AEF的距离为
10．如图,已知正方体的棱长为2,点M为的中点,点P为正方形上的动点,则( )
A.满足平面的点P的轨迹长度为
B.满足的点P的轨迹长度为
C.存在唯一的点P满足
D.存在点P满足
11．如图,正方体的棱长为2,M是的中点,点P满足,其中,,则下列结论正确的有( )
A.当时,MP⊥AC
B.当时,平面ABCD
C.当时,异面直线MP与AC所成角的余弦值为
D.若,二面角的平面角为,则的面积为
12．如图,在四棱锥中,平面,底面为矩形,E,F分别为,的中点,则( )
A.在方向上的投影向量为
B.在方向上的投影向量为
C.在方向上的投影向量为
D.在方向上的投影向量为
三、填空题
13．已知空间三点，，，则在上的投影向量的模是______.
14．已知空间向量,则向量在坐标平面Oxz上的投影向量的模是______.
15．已知空间向量，，，，若，则实数__________.
16．试写出一个点A的坐标:使之与点,三点共线（A与B,C不重合）.
四、解答题
17．如图所示,四棱柱中,底面为平行四边形,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为.
（1）求的长;
（2）求与AC夹角的正弦值.
18．已知，
（1）若，求k的值；
（2）若，求k的值.
19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作.
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，，如图建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜60°坐标；
②若，且，求.
20．已知:,,,,,求:
（1）,,;
（2）
参考答案
1．答案：C
解析：，，
点A，B，C在同一条直线上，
则，
解得，，
.
故选：C.
2．答案：C
解析：由题意知：，，故，.
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意可得知，，则，因此，，所以，
故选：C.
4．答案：A
解析：因为,所以,解得,所以
又因为,所以,解得,所以,
所以,则,
故选：A.
5．答案：C
解析：因为,,又,
所以,
解得,
故选:C.
6．答案：A
解析：因为，所以，，
解得，
故选：A.
7．答案：C
解析：因为，所以，解得，，所以.故选C.
8．答案：B
解析：由已知可得,,,
所以,
所以.故选B.
9．答案：BCD
解析：对于A，正方体中，，，，
，所以，故A错误；
对于B，，，
，故B正确；
对于C，设，则，，而，
所以平面的一个法向量是，故C正确；
对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．
故选：BCD
10．答案：AC
解析：对于A,取的中点Q,的中点N,又点M为的中点,
由正方体的性质知,,,,
所以平面平面,又平面MQN,平面,
故点P的轨迹为线段,故A正确;
以D为原点,分别以DA,DC,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,设,且,,
,,
对于B,,即,
又,,则点P的轨迹为线段EF,,
且,故B错误;
对于C,
显然,只有时,,即,故存在唯一的点P满足,故C正确;
对于D,点M关于平面的对称点的为,三点共线时线段和最短,
故,故不存在点P满足,故D错误.
故选:AC
11．答案：ABD
解析：以点D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,,,,,所以
,当时,,故MP⊥AC,故A正确;易知是平面ABCD的一个法向量,因为,,所以平面ABCD,故B正确;
当时,,则,异面直线MP与AC所成角的余弦值为,故C错误;作PP＇⊥平面ABCD（图略）,因为,所以P＇为CD的中点,即,又二面角的平面角为,所以,即,故D正确.
12．答案：ACD
解析：由图可知,在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为,
在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为.
故选：ACD.
13．答案：
解析：由题，，，故在上的投影向量的模.
故答案为：.
14．答案：
解析：当以坐标原点为始点时,其终点在坐标平面Oxz上的投影坐标为,所以向量在坐标平面Oxz上的投影向量,.
故答案为:
15．答案：
解析：由题意知，.
因为，所以设，
则解得.
16．答案：（满足（）即可）
解析：设,由A,B,C三点共线,得,即,故,,,即,,,不妨令,则,,,故此时点A的坐标为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）记,,,则,,
所以,
由于,故
,
故,即的长为;
（2）由于,
所以
,
,
故,
由于与AC夹角的范围为,
故与AC夹角的余弦值为.
18．答案：（1）；
（2）
解析：，
.
（1）方法一：因为，
所以，.
方法二：因为，所以，
即.
所以解得，所以.
（2）方法一：因为，
所以，解得.
方法二：因为，，
所以，，
.
因为，
所以，
解得.
19．答案：（1）；
（2）①；②2
解析：（1）由，，知，，
所以，所以；
（2）设，，分别为与、、同方向的单位向量，
则，，，
①
②由题，
因为，所以，
由知
则.
20．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）因为,所以设,即,
故,解得,
,,
,
,解得,
;
（2）,,
.
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