2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.4 空间向量的应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.4 空间向量的应用（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-25 11:33:14 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.4 空间向量的应用
一、选择题
1．已知正四面体ABCD,M为BC的中点,N为AD的中点,则直线BN与直线DM所成角的余弦值( )
A. B. C. D.
2．若直线l的方向向量,平面的法向量为,则直线l和平面的位置关系是( )
A. B. C.或 D.
3．已知空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为( )
A. B. C.或 D.或
4．如图，正方形的棱长为2，线段上有两个动点E，F（点E在F的左边），且，下列说法错误的是( )
A.当点E，F运动时，不存在点E，F使
B.当点E，F运动时，不存在点E，F使
C.当点E运动时，二面角的最大值为
D.当点E，F运动时，二面角为定值
5．已知圆柱的底面半径为1,高为2,AB,CD分别为上、下底面圆的直径,四面体ABCD的体积为,则直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一,它形状可视为一个正四棱锥,若金字塔的高为3,,点E满足,则点D到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7．如图，已知点P在正方体的对角线上，.设，则的值为( )
A. B. C. D.
8．如下图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为1，点P满足，，，(P与B，D，A三点不重合)，则下列说法正确的是( )
A.当时，平面
B.当，时，平面
C.当，时，平面平面
D.当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.向量与的夹角是
D.与AC所成角的余弦值为
11．以下命题正确的是( )
A.为直线l的方向向量，为直线m的方向向量，则l与m垂直
B.为直线l的方向向量，为平面的法向量，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
12．在正方体中,,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点,则( )
A.存在唯一点P,使得
B.存在唯一点P,使得直线与平面ABCD所成的角取到最小值
C.若,则三棱锥外接球的表面积为
D.若异面直线与所成的角为,则动点P的轨迹是抛物线的一部分
三、填空题
13．在正四棱锥中,若高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成角的大小为______.
14．已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.
15．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为(A，B，C，，)，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于__________.
16．已知正方体的棱长为2，点E是的中点，则点A到直线的距离是________.
四、解答题
17．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别在棱，上，，，F为的中点.
(1)在平面内，过A作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结.
图（A）中，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，.
（1）若，记点H关于平面的对称点为，点H关于直线的对称点为.
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）求直线与平面ABCD所成角的正弦值.
（2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时AH、AE、、、CF、CG、、这8条线段可能长短不一）
19．如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，Q为的中点.
(1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
(2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．如图，在四棱锥中，，，
平面，，E、F分别是棱、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：设该正四面体的棱长为1,因为M为BC的中点,N为AD的中点,
所以.因为M为BC中点,N为AD点,
所以,
,
所以
,
,
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为,
故选：B.
2．答案：A
解析：由,,,
所以,即,所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：设直线AB与平面所成角为，则，又，所以，即直线AB与平面所成角为.
4．答案：C
解析：以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图（1），
则，，，，.因为点E，F在上，且，，所以可设，则.所以，，所以，所以恒为正，故A不符合题意.若，则A，B，，四点共面.这与AB和是异面直线矛盾，故B不符合题意.设平面ABE的法向量为.因为，，所以即取，则，，所以.易得平面ABC的法向量为，所以.设二面角的平面角为，则为锐角，所以.因为，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时，取得最大值，为，即取得最小值，故C符合题意.如图（2），连接，，.因为平面EFB即为平面，而平面AEF即为平面，所以当点E，F运动时，二面角的大小保持不变，故D不符合题意.选C.
5．答案：D
解析：如图,找底面圆心O,作OG与底面垂直,,,
故以O为原点,建立空间直角坐标系,规定,,设,,
易知底面圆方程为,则,,
故,,
故,
设D到面ABC的距离为d,设面ABC的法向量,故有,,解得,,,
故,由点到平面的距离公式得,已知四面体的体积为,
故得,解得(负根舍去),易得,故,,
,,设直线AC与BD所成角为,故有.
故选:D
6．答案：A
解析：如图,连接BD,设AC与BD相交于点O,连接PO,
以点O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
所以,,,
设平面AEC的法向量为,则,
取,得,
所以点D到平面AEC的距离,
故选:A.
7．答案：C
解析：以D为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
整理得，解得或，
由题可知，所以.
故选：C
8．答案：C
解析：
以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为,，
则,所以.
故选：C
9．答案：ABD
解析：A，当时，即，则，
可得，则，
所以点P在平面内，如图，因为，，
面，面，故面，
面，面，故面，
，面，所以面面，又面，
所以平面.故A正确；
B，当，时，，则，故点P在直线上，直线与直线共线，
如图，，，，平面，
所以平面，即平面，故B正确；
C，当当，时，，所以，故P为的中点，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
则，所以平面与平面不垂直，故C错误；
D，当，时，则，可知点P在平面内，
因为面面，则直线与面所成角即为直线与面所成的角，
因为面，则直线与面所成的角为，得，
又，即，则，得，
当且仅当，即时等号成立，知的最小值为，则的最大值，
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则..
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选：AB.
11．答案：AD
解析：，，直线l与m垂直，A正确；
，
，或，B错误；
，不共线，与不平行，故C错误；
，，向量是平面的法向量，即则，D正确.故选AD.
12．答案：BCD
解析：对于A选项：正方形中,有,
正方体中有平面,平面,,
又,,平面,平面,
只要平面,就有,P在线段AB上,有无数个点,A选项错误；
对于B选项：平面ABCD,直线与平面ABCD所成的角为,,取到最小值时,PD最大,此时点P与点B重合,B选项正确；
对于C选项：若,则P为DB中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为,
三棱锥外接球的球心到平面PBC的距离为,则外接球的半径为,
所以三棱锥外接球的表面积为,C选项正确；
对于D选项：以D为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,
则有,,
有,
化简得,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点,所以P的轨迹是抛物线的一部分,D选项正确.
13．答案：或60°
解析：如图,连结BD,作PO⊥平面ABCD,交BD于O.取AB中点F,取BC中点E.以O为原点,OF为x轴,OE为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.
由已知得,,,,所以,.
所以.
因为,所以.
即异面直线PE与DB所成的角为.
故答案为:.
14．答案：
解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
15．答案：
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.设平面PAB的方程为(A，B，C，，)，分别将A，B，P的坐标代入，得解得，，，所以，即，所以.
16．答案：/
解析：以D为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，
所以，，
记与同向的单位向量为，则，
所以，点A到直线BE的距离.
故答案为：
17．答案：(1)作直线即为所求，理由见解析；
(2)
解析：（1）作直线即为所求，
连接交于点M，连接、、、，
因为，，
所以，又，所以四边形为平行四边形，
所以，又，所以，又平面，平面，
所以平面，
所以在平面内，过A作一条直线与平面平行的直线为.
（2）因为，
又因为，
所以当时取最大值2，
即当时直三棱柱的体积最大，
又平面，平面，所以，，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）（ⅰ）（ⅰⅰ）.
（2）答案见解析
解析：（1）（ⅰ）如图，以为原点，直线，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为
则有，取，得，
点H到平面的距离，
，线段的长为；
（ⅱ）设为的中点，则，且，
，，
，，
由（ⅰ）知，，
又为平面ABCD的法向量，
直线与平面ABCD所成角的正弦值为.
（2）如图所示，对于图(A)，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值，如下图，
最小值为，
对于图(B)，彩绳长度的最小值为，
因为，所以店员的说法是正确的．
（也可以不计算，由三角形两边之和大于第三边直观给出答案）
19．答案：(1)存在，P是中点，证明见解析；
(2).
解析：（1）存在，证明如下：
在四棱柱中，因为平面平面，
所以可在平面内作，
由平面几何知识可证，所以，可知P是中点，
因为平面，所以平面.
即存在线段的中点，满足题设条件.
满足条件的点只有一个，证明如下：
当平面时，因为平面，
所以过作平行于的直线既在平面内，也在平面内，
而在平面内过只能作一条直线，
故满足条件的点P只有唯一一个.
所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面.
（2）过点D作，垂足为F，又因为平面，
所以，，两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有即
令，得，，所以.
设平面的法向量为.
则有即
令，得，，所以.
所以.
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）如图所示，连接.
因为E，F分别是棱，的中点，所以，
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，，
又因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可得，，
，.
设平面的法向量为，
则
令，得.
因为，，，所以平面
平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，
则.故，
即平面与平面的夹角的正弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册课时作业：1.4 空间向量的应用
一、选择题
1．已知正四面体ABCD,M为BC的中点,N为AD的中点,则直线BN与直线DM所成角的余弦值( )
A. B. C. D.
2．若直线l的方向向量,平面的法向量为,则直线l和平面的位置关系是( )
A. B. C.或 D.
3．已知空间向量，平面的一个法向量，则直线AB与平面所成角为( )
A. B. C.或 D.或
4．如图，正方形的棱长为2，线段上有两个动点E，F（点E在F的左边），且，下列说法错误的是( )
A.当点E，F运动时，不存在点E，F使
B.当点E，F运动时，不存在点E，F使
C.当点E运动时，二面角的最大值为
D.当点E，F运动时，二面角为定值
5．已知圆柱的底面半径为1,高为2,AB,CD分别为上、下底面圆的直径,四面体ABCD的体积为,则直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一,它形状可视为一个正四棱锥,若金字塔的高为3,,点E满足,则点D到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7．如图，已知点P在正方体的对角线上，.设，则的值为( )
A. B. C. D.
8．如下图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知正方体的棱长为1，点P满足，，，(P与B，D，A三点不重合)，则下列说法正确的是( )
A.当时，平面
B.当，时，平面
C.当，时，平面平面
D.当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为
10．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.向量与的夹角是
D.与AC所成角的余弦值为
11．以下命题正确的是( )
A.为直线l的方向向量，为直线m的方向向量，则l与m垂直
B.为直线l的方向向量，为平面的法向量，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
12．在正方体中,,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点,则( )
A.存在唯一点P,使得
B.存在唯一点P,使得直线与平面ABCD所成的角取到最小值
C.若,则三棱锥外接球的表面积为
D.若异面直线与所成的角为,则动点P的轨迹是抛物线的一部分
三、填空题
13．在正四棱锥中,若高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成角的大小为______.
14．已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.
15．在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为(A，B，C，，)，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于__________.
16．已知正方体的棱长为2，点E是的中点，则点A到直线的距离是________.
四、解答题
17．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别在棱，上，，，F为的中点.
(1)在平面内，过A作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结.
图（A）中，正四棱柱的底面ABCD是正方形，且，.
（1）若，记点H关于平面的对称点为，点H关于直线的对称点为.
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）求直线与平面ABCD所成角的正弦值.
（2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时AH、AE、、、CF、CG、、这8条线段可能长短不一）
19．如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，Q为的中点.
(1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
(2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．如图，在四棱锥中，，，
平面，，E、F分别是棱、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：设该正四面体的棱长为1,因为M为BC的中点,N为AD的中点,
所以.因为M为BC中点,N为AD点,
所以,
,
所以
,
,
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为,
故选：B.
2．答案：A
解析：由,,,
所以,即,所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：设直线AB与平面所成角为，则，又，所以，即直线AB与平面所成角为.
4．答案：C
解析：以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图（1），
则，，，，.因为点E，F在上，且，，所以可设，则.所以，，所以，所以恒为正，故A不符合题意.若，则A，B，，四点共面.这与AB和是异面直线矛盾，故B不符合题意.设平面ABE的法向量为.因为，，所以即取，则，，所以.易得平面ABC的法向量为，所以.设二面角的平面角为，则为锐角，所以.因为，在上单调递减，所以，所以，当且仅当时，取得最大值，为，即取得最小值，故C符合题意.如图（2），连接，，.因为平面EFB即为平面，而平面AEF即为平面，所以当点E，F运动时，二面角的大小保持不变，故D不符合题意.选C.
5．答案：D
解析：如图,找底面圆心O,作OG与底面垂直,,,
故以O为原点,建立空间直角坐标系,规定,,设,,
易知底面圆方程为,则,,
故,,
故,
设D到面ABC的距离为d,设面ABC的法向量,故有,,解得,,,
故,由点到平面的距离公式得,已知四面体的体积为,
故得,解得(负根舍去),易得,故,,
,,设直线AC与BD所成角为,故有.
故选:D
6．答案：A
解析：如图,连接BD,设AC与BD相交于点O,连接PO,
以点O为坐标原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
所以,,,
设平面AEC的法向量为,则,
取,得,
所以点D到平面AEC的距离,
故选:A.
7．答案：C
解析：以D为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，
所以，，，
所以，
因为，
所以，
整理得，解得或，
由题可知，所以.
故选：C
8．答案：C
解析：
以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，，，
，，，
设异面直线与所成的角为,，
则,所以.
故选：C
9．答案：ABD
解析：A，当时，即，则，
可得，则，
所以点P在平面内，如图，因为，，
面，面，故面，
面，面，故面，
，面，所以面面，又面，
所以平面.故A正确；
B，当，时，，则，故点P在直线上，直线与直线共线，
如图，，，，平面，
所以平面，即平面，故B正确；
C，当当，时，，所以，故P为的中点，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
则，所以平面与平面不垂直，故C错误；
D，当，时，则，可知点P在平面内，
因为面面，则直线与面所成角即为直线与面所成的角，
因为面，则直线与面所成的角为，得，
又，即，则，得，
当且仅当，即时等号成立，知的最小值为，则的最大值，
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则..
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cos<>===，所以D不正确.
故选：AB.
11．答案：AD
解析：，，直线l与m垂直，A正确；
，
，或，B错误；
，不共线，与不平行，故C错误；
，，向量是平面的法向量，即则，D正确.故选AD.
12．答案：BCD
解析：对于A选项：正方形中,有,
正方体中有平面,平面,,
又,,平面,平面,
只要平面,就有,P在线段AB上,有无数个点,A选项错误；
对于B选项：平面ABCD,直线与平面ABCD所成的角为,,取到最小值时,PD最大,此时点P与点B重合,B选项正确；
对于C选项：若,则P为DB中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为,
三棱锥外接球的球心到平面PBC的距离为,则外接球的半径为,
所以三棱锥外接球的表面积为,C选项正确；
对于D选项：以D为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,
则有,,
有,
化简得,P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点,所以P的轨迹是抛物线的一部分,D选项正确.
13．答案：或60°
解析：如图,连结BD,作PO⊥平面ABCD,交BD于O.取AB中点F,取BC中点E.以O为原点,OF为x轴,OE为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系.
由已知得,,,,所以,.
所以.
因为,所以.
即异面直线PE与DB所成的角为.
故答案为:.
14．答案：
解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
15．答案：
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.设平面PAB的方程为(A，B，C，，)，分别将A，B，P的坐标代入，得解得，，，所以，即，所以.
16．答案：/
解析：以D为原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
则，，，
所以，，
记与同向的单位向量为，则，
所以，点A到直线BE的距离.
故答案为：
17．答案：(1)作直线即为所求，理由见解析；
(2)
解析：（1）作直线即为所求，
连接交于点M，连接、、、，
因为，，
所以，又，所以四边形为平行四边形，
所以，又，所以，又平面，平面，
所以平面，
所以在平面内，过A作一条直线与平面平行的直线为.
（2）因为，
又因为，
所以当时取最大值2，
即当时直三棱柱的体积最大，
又平面，平面，所以，，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）（ⅰ）（ⅰⅰ）.
（2）答案见解析
解析：（1）（ⅰ）如图，以为原点，直线，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的法向量为
则有，取，得，
点H到平面的距离，
，线段的长为；
（ⅱ）设为的中点，则，且，
，，
，，
由（ⅰ）知，，
又为平面ABCD的法向量，
直线与平面ABCD所成角的正弦值为.
（2）如图所示，对于图(A)，沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值，如下图，
最小值为，
对于图(B)，彩绳长度的最小值为，
因为，所以店员的说法是正确的．
（也可以不计算，由三角形两边之和大于第三边直观给出答案）
19．答案：(1)存在，P是中点，证明见解析；
(2).
解析：（1）存在，证明如下：
在四棱柱中，因为平面平面，
所以可在平面内作，
由平面几何知识可证，所以，可知P是中点，
因为平面，所以平面.
即存在线段的中点，满足题设条件.
满足条件的点只有一个，证明如下：
当平面时，因为平面，
所以过作平行于的直线既在平面内，也在平面内，
而在平面内过只能作一条直线，
故满足条件的点P只有唯一一个.
所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面.
（2）过点D作，垂足为F，又因为平面，
所以，，两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有即
令，得，，所以.
设平面的法向量为.
则有即
令，得，，所以.
所以.
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）如图所示，连接.
因为E，F分别是棱，的中点，所以，
因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，，
又因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可得，，
，.
设平面的法向量为，
则
令，得.
因为，，，所以平面
平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，
则.故，
即平面与平面的夹角的正弦值为.
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