【提升版】北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·安庆期中）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·江北期末）一条直线y=kx+b，其中k+b=，kb=，那么该直线经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
3．（2022八上·南海期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大
C．当时， D．图象经过第一、二、三象限
4．（2024八上·新昌期末）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -5 -3 -1 0 3 …
他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
6．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
7．（2023八上·历下期中）一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的是（ ）
①对于函数来说，随的增大而减小；
②函数的图象不经过第一象限；
③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2023八上·合肥期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
二、填空题
9．（2024八上·开化期末）若点，点是一次函数图象上的两点，则的值为 ．
10．（2019八上·西安期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 的坐标为 ，当 的值最小时 的值为 .
11．（2019八上·金坛月考）关于x的函数y＝（m+1）x﹣（4m﹣3）的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是 .
12．（2023八上·姑苏月考）一次函数的函数值随自变量的增大而 （填“增大”或“减小”）
13．（2017八上·东台期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 ．
三、解答题
14．（2024八上·宁波期末）已知关于的一次函数．当时，；当时，．
（1）求的值；
（2）若是该函数图象上的两点，求证：．
15．（2024八上·杭州月考）已知是关于的一次函数，如表列出了这个函数部分的对应值：
1 2
0
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）求，的值．
（3）已知点，和点，在该一次函数图象上，设，判断正比例函数的图象是否有可能经过第一象限，并说明理由．
16．（2023八上·萧山月考）已知一次函数y＝（m+1）x+3﹣m．
（1）若该函数时一次函数，则m应满足什么条件；
（2）在（1）的前提下，若其图像不经过第四象限，求m的取值范围；
（3）在（1）的前提下，若点A（a，b），B（a+1，c）在其图象上，求证：c-b-m=1
17．（2023八上·六安月考） 某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数人与每天利润利润票款收入支出费用元的变化关系如下表所示每位乘客的乘车票价固定不变：
人
元
（1）观察表中数据可知，若要保证不亏本，该公交车每天乘客应达到多少人？
（2）请你估计一天乘客人数为人时，利润是多少？
（3）写出与的关系表达式．
18．如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．
（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；
（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；
（3）已知直线l2：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A：由直线经过第一、三、四象限，可得m＞0，n＜0，故而得出mn＜0，所以直线 应经过第二、四象限，所以A不符合题意；
B：由直线经过第一、二、四象限，可得m＜0，n＞0，故而得出mn＜0，所以直线 应经过第二、四象限，所以B不符合题意；
C：由直线经过第一、二、三象限，可得m＞0，n＞0，故而得出mn＞0，所以直线 应经过第一、三象限，所以C不符合题意；
D：由直线经过第一、二、四象限，可得m＜0，n＞0，故而得出mn＜0，所以直线 应经过第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和正比例函数系数和图象的位置关系，可分别判断，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一次函数图象、性质与系数的关系；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵k+b=-2022，kb=2022，
k<0，b<0，
由一次函数图象与系数的关系可得，直线y=kx+b经过第二、三、四象限.
故答案为：D.
【分析】先由k+b=-2022，kb=2022，判断k、b的符号，再根据图象与系数的关系，即可确定直线经过的象限.
3．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由函数可知：，，则y随x的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B、D选项不符合题意；
当时，则，所以函数图象经过点，故A选项不符合题意；
当时，，所以当时，说法符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：观察表格发现，x的值每增加1，y值增加2
而从0到1，x值增加1，y值增加1，∴点(1，0)不对.
故答案为：C.
【分析】根据横坐标和纵坐标的变化规律判断即可，也可以描点连线，寻找不对的点.
5．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线y=-kx-k=-k(x+1)，
∴ 直线过定点C（-1，0），
∵ 分布在直线两侧的格点数相同，
∴ 在直线CD和直线CE之间，
∵ 点E（-3，4），点D（-3，3），
∴ 3＜ 2k ＜4，
即＜k＜2.
故答案为：B.
【分析】先对直线的解析式进行变形可得直线过定点（-1，0），再根据一次函数图象与点的坐标的位置关系可得k的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①由函数图象知 从左到右呈下降趋势，则y随x的增大而减小，故①正确；
②由 经过二、四象限，可得k＜0，
由与y轴交于负半轴，则n＜0，
∴ 函数的图象经过二、三、四象限，则图象不经过第一象限，故②正确；
③由函数图象可知： 一次函数与 图象交点的横坐标为2，
∴ ，故③正确.
故答案为：D.
【分析】由函数图象知 从左到右呈下降趋势，则y随x的增大而减小，据此判断①；由 经过二、四象限，可得k＜0，由与y轴交于负半轴，则n＜0，据此判断②；由函数图象可知：一次函数与 图象交点的横坐标为2，据此判断③.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0，
将点（2，3）代入，
可得：3=2a+b，
∴S=a+2b=，
∴S随b的增大而增大，
∴当b=0时，S有最小值为，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系求出b的取值范围，再求出S=a+2b=，利用一次函数的性质可得b=0时，S有最小值为，从而得解.
9．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点A（2，a+1）、B（4，a）是函数y=kx+1上的点，
∴，
解得：k=.
故答案为：.
【分析】由题意，将A、B两点的坐标代入一次函数的解析式解得关于k、a的方程组，解方程组即可求解.
10．【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ 的坐标为 ， ，点 ，
如图示：
以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，则 最小，
∴点 的坐标为：
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入得：
，解之得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴当 时，
∴ 点坐标为：
∴ 的值为：3
故答案为：3.
【分析】以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，则 最小，求出直线 的解析式，然后使 ，求出 点坐标，即可得出 的值.
11．【答案】m<-1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵函数y=（m+1）x-（4m-3）的图象在第一、二、四象限，
∴ ，
解得：m＜-1，
故答案是：m＜-1
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到：m+1＜0且-（4m-3）＞0，解不等式组即可.
12．【答案】增大
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，
其中，
∴函数值y随自变量x的增大而增大.
故答案为：增大.
【分析】根据一次函数的性质判断出一次函数中的比例系数的符号，进而根据一次函数的增减性进行作答即可.
13．【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；
又∵当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有﹣x=﹣ （2x+3），化简得﹣2x=﹣2x﹣3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，这时点P的坐标为（0， ）．
综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
故答案为：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．
【分析】分四种情况考虑：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，求出此时P的坐标；如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时P坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时P坐标，综上，得到所有满足题意P的坐标．
14．【答案】（1）解：由题意得
解得
（2）解：把分别代入得
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把两组对应的x，y代入解二元一次方程组，求得k，b
（2）把代入函数解析式，再相减即可证明
15．【答案】（1）解：设，
当时，；时，．
据此列出方程组，
解得，
一次函数的解析式，
（2）解：把代入，得到．
把代入得出，得出，解得：；
（3）解：正比例函数的图象不可能经过第一象限，
理由：，
该一次函数随的增大而减小，
点，和点，在该一次函数图象上，
，
，
正比例函数的图象经过二、四象限，不经过第一象限．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）分别将x=1和y=-4代入函数解析式，可求出m，n的值.
（3）利用一次函数的性质可知该一次函数随的增大而减小，结合已知条件可求出t-3＜0，据此可作出判断.
16．【答案】（1）解：∵m+1≠0，
∴ m≠﹣1；
（2）解：由题意得：m+1＞0，且x=0时，y=3-m≥0，
∴ -1＜m≤3；
（3）证明：∵ 点A（a，b），B（a+1，c）在其图象上 ，
∴ b=（m+1）a+3-m，c=（m+1）（a+1）+3-m，
∴ c-b=[(m+1)（a+1）a+3-m]-[(m+1)a+3-m]，
即c-b=m+1，
∴ c-b-m=1.
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）函数y=kx+b（k≠0）是一次函数；
（2）函数y=kx+b（k≠0）的图形不经过第四象限：k＞0，b≥0；
（3）将点A和点B的坐标代入函数解析式可得 b=（m+1）a+3-m，c=（m+1）（a+1）+3-m，再求c-b，即可证明c-b-m=1.
17．【答案】（1）解：由题意可得，要保证不亏本，即，
该公交车每天乘客应达人；
（2）解：由表格可得，每增加人，利润增加元，
乘客人数为人时，利润是元；
（3）解：设与的关系表达式为，
，
解得，
与的关系表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）由表格的数据即可求解；
（2）由表格可得，每增加50人，利润增加100元，即可求解；
（3）利用待定系数法求表达式即可。
18．【答案】解：（1）∵B（﹣3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴﹣3+1=﹣2，3﹣2=1，
∴C的坐标为（﹣2，1），
设直线l1的解析式为y=kx+c，
∵点B、C在直线l1上，
∴代入得：
解得：k=﹣2，c=﹣3，
∴直线l1的解析式为y=﹣2x﹣3；
（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（﹣2，1），
∴﹣2﹣3=﹣5，1+6=7，
∴D的坐标为（﹣5，7），
代入y=﹣2x﹣3时，左边=右边，
即点D在直线l1上；
（3）把B的坐标代入y=x+b得：3=﹣3+b，
解得：b=6，
∴y=x+6，
∴E的坐标为（0，6），
∵直线y=﹣2x﹣3与y轴交于A点，
∴A的坐标为（0，﹣3），
∴AE=6+3=9，
∵B（﹣3，3），
∴△ABE的面积为×9×|﹣3|=13.5．
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到点C的坐标；把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b（k≠0）来求该直线方程；
（2）根据平移的性质得到点D的坐标，然后将其代入（1）中的函数解析式进行验证即可；
（3）根据点B的坐标求得直线l2的解析式，据此求得相关线段的长度，并利用三角形的面积公式进行解答．
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·安庆期中）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A：由直线经过第一、三、四象限，可得m＞0，n＜0，故而得出mn＜0，所以直线 应经过第二、四象限，所以A不符合题意；
B：由直线经过第一、二、四象限，可得m＜0，n＞0，故而得出mn＜0，所以直线 应经过第二、四象限，所以B不符合题意；
C：由直线经过第一、二、三象限，可得m＞0，n＞0，故而得出mn＞0，所以直线 应经过第一、三象限，所以C不符合题意；
D：由直线经过第一、二、四象限，可得m＜0，n＞0，故而得出mn＜0，所以直线 应经过第二、四象限，所以D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一次函数和正比例函数系数和图象的位置关系，可分别判断，即可得出答案。
2．（2024八上·江北期末）一条直线y=kx+b，其中k+b=，kb=，那么该直线经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【知识点】有理数的乘法法则；一次函数图象、性质与系数的关系；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵k+b=-2022，kb=2022，
k<0，b<0，
由一次函数图象与系数的关系可得，直线y=kx+b经过第二、三、四象限.
故答案为：D.
【分析】先由k+b=-2022，kb=2022，判断k、b的符号，再根据图象与系数的关系，即可确定直线经过的象限.
3．（2022八上·南海期中）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大
C．当时， D．图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由函数可知：，，则y随x的增大而减小，且该函数图象经过第二、三、四象限，故B、D选项不符合题意；
当时，则，所以函数图象经过点，故A选项不符合题意；
当时，，所以当时，说法符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一次函数的图象、性质与系数的关系逐项判断即可。
4．（2024八上·新昌期末）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -5 -3 -1 0 3 …
他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：观察表格发现，x的值每增加1，y值增加2
而从0到1，x值增加1，y值增加1，∴点(1，0)不对.
故答案为：C.
【分析】根据横坐标和纵坐标的变化规律判断即可，也可以描点连线，寻找不对的点.
5．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
6．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线y=-kx-k=-k(x+1)，
∴ 直线过定点C（-1，0），
∵ 分布在直线两侧的格点数相同，
∴ 在直线CD和直线CE之间，
∵ 点E（-3，4），点D（-3，3），
∴ 3＜ 2k ＜4，
即＜k＜2.
故答案为：B.
【分析】先对直线的解析式进行变形可得直线过定点（-1，0），再根据一次函数图象与点的坐标的位置关系可得k的取值范围.
7．（2023八上·历下期中）一次函数与的图象如图所示，下列选项正确的是（ ）
①对于函数来说，随的增大而减小；
②函数的图象不经过第一象限；
③
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①由函数图象知 从左到右呈下降趋势，则y随x的增大而减小，故①正确；
②由 经过二、四象限，可得k＜0，
由与y轴交于负半轴，则n＜0，
∴ 函数的图象经过二、三、四象限，则图象不经过第一象限，故②正确；
③由函数图象可知： 一次函数与 图象交点的横坐标为2，
∴ ，故③正确.
故答案为：D.
【分析】由函数图象知 从左到右呈下降趋势，则y随x的增大而减小，据此判断①；由 经过二、四象限，可得k＜0，由与y轴交于负半轴，则n＜0，据此判断②；由函数图象可知：一次函数与 图象交点的横坐标为2，据此判断③.
8．（2023八上·合肥期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线不经过第四象限，
∴a＞0，b≥0，
将点（2，3）代入，
可得：3=2a+b，
∴S=a+2b=，
∴S随b的增大而增大，
∴当b=0时，S有最小值为，
故答案为：B.
【分析】先利用一次函数的图象与系数的关系求出b的取值范围，再求出S=a+2b=，利用一次函数的性质可得b=0时，S有最小值为，从而得解.
二、填空题
9．（2024八上·开化期末）若点，点是一次函数图象上的两点，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点A（2，a+1）、B（4，a）是函数y=kx+1上的点，
∴，
解得：k=.
故答案为：.
【分析】由题意，将A、B两点的坐标代入一次函数的解析式解得关于k、a的方程组，解方程组即可求解.
10．（2019八上·西安期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 的坐标为 ，当 的值最小时 的值为 .
【答案】3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵ 的坐标为 ， ，点 ，
如图示：
以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，则 最小，
∴点 的坐标为：
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入得：
，解之得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∴当 时，
∴ 点坐标为：
∴ 的值为：3
故答案为：3.
【分析】以 为对称轴作点 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，则 最小，求出直线 的解析式，然后使 ，求出 点坐标，即可得出 的值.
11．（2019八上·金坛月考）关于x的函数y＝（m+1）x﹣（4m﹣3）的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是 .
【答案】m<-1
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵函数y=（m+1）x-（4m-3）的图象在第一、二、四象限，
∴ ，
解得：m＜-1，
故答案是：m＜-1
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到：m+1＜0且-（4m-3）＞0，解不等式组即可.
12．（2023八上·姑苏月考）一次函数的函数值随自变量的增大而 （填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，
其中，
∴函数值y随自变量x的增大而增大.
故答案为：增大.
【分析】根据一次函数的性质判断出一次函数中的比例系数的符号，进而根据一次函数的增减性进行作答即可.
13．（2017八上·东台期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标 ．
【答案】（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，
∵MN⊥x轴，所以由ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；
又∵当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，
设点M（x，2x+3），则有﹣x=﹣（2x+3），
解得x=﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．
如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，设点M（x，2x+3），
则有﹣x=﹣ （2x+3），化简得﹣2x=﹣2x﹣3，
这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；
又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，
设点M′（x，2x+3），则OP=ON′，而OP= M′N′，
∴有﹣x= （2x+3），
解得x=﹣ ，这时点P的坐标为（0， ）．
综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0， ），（0，﹣3），（0，1）．
故答案为：（0，0），（0，1），（0， ），（0，﹣3）．
【分析】分四种情况考虑：当M运动到（﹣1，1）时，ON=1，MN=1，由MN⊥x轴，以及ON=MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又当M运动到第三象限时，要MN=MP，且PM⊥MN，求出此时P的坐标；如若MN为斜边时，则∠ONP=45°，所以ON=OP，求出此时P坐标；又当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P=M′P，∠M′N′P=45°，求出此时P坐标，综上，得到所有满足题意P的坐标．
三、解答题
14．（2024八上·宁波期末）已知关于的一次函数．当时，；当时，．
（1）求的值；
（2）若是该函数图象上的两点，求证：．
【答案】（1）解：由题意得
解得
（2）解：把分别代入得
，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）把两组对应的x，y代入解二元一次方程组，求得k，b
（2）把代入函数解析式，再相减即可证明
15．（2024八上·杭州月考）已知是关于的一次函数，如表列出了这个函数部分的对应值：
1 2
0
（1）求这个一次函数的表达式．
（2）求，的值．
（3）已知点，和点，在该一次函数图象上，设，判断正比例函数的图象是否有可能经过第一象限，并说明理由．
【答案】（1）解：设，
当时，；时，．
据此列出方程组，
解得，
一次函数的解析式，
（2）解：把代入，得到．
把代入得出，得出，解得：；
（3）解：正比例函数的图象不可能经过第一象限，
理由：，
该一次函数随的增大而减小，
点，和点，在该一次函数图象上，
，
，
正比例函数的图象经过二、四象限，不经过第一象限．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）分别将x=1和y=-4代入函数解析式，可求出m，n的值.
（3）利用一次函数的性质可知该一次函数随的增大而减小，结合已知条件可求出t-3＜0，据此可作出判断.
16．（2023八上·萧山月考）已知一次函数y＝（m+1）x+3﹣m．
（1）若该函数时一次函数，则m应满足什么条件；
（2）在（1）的前提下，若其图像不经过第四象限，求m的取值范围；
（3）在（1）的前提下，若点A（a，b），B（a+1，c）在其图象上，求证：c-b-m=1
【答案】（1）解：∵m+1≠0，
∴ m≠﹣1；
（2）解：由题意得：m+1＞0，且x=0时，y=3-m≥0，
∴ -1＜m≤3；
（3）证明：∵ 点A（a，b），B（a+1，c）在其图象上 ，
∴ b=（m+1）a+3-m，c=（m+1）（a+1）+3-m，
∴ c-b=[(m+1)（a+1）a+3-m]-[(m+1)a+3-m]，
即c-b=m+1，
∴ c-b-m=1.
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【分析】（1）函数y=kx+b（k≠0）是一次函数；
（2）函数y=kx+b（k≠0）的图形不经过第四象限：k＞0，b≥0；
（3）将点A和点B的坐标代入函数解析式可得 b=（m+1）a+3-m，c=（m+1）（a+1）+3-m，再求c-b，即可证明c-b-m=1.
17．（2023八上·六安月考） 某公交车每天的支出费用为元，每天的乘车人数人与每天利润利润票款收入支出费用元的变化关系如下表所示每位乘客的乘车票价固定不变：
人
元
（1）观察表中数据可知，若要保证不亏本，该公交车每天乘客应达到多少人？
（2）请你估计一天乘客人数为人时，利润是多少？
（3）写出与的关系表达式．
【答案】（1）解：由题意可得，要保证不亏本，即，
该公交车每天乘客应达人；
（2）解：由表格可得，每增加人，利润增加元，
乘客人数为人时，利润是元；
（3）解：设与的关系表达式为，
，
解得，
与的关系表达式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）由表格的数据即可求解；
（2）由表格可得，每增加50人，利润增加100元，即可求解；
（3）利用待定系数法求表达式即可。
18．如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．
（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；
（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；
（3）已知直线l2：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．
【答案】解：（1）∵B（﹣3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴﹣3+1=﹣2，3﹣2=1，
∴C的坐标为（﹣2，1），
设直线l1的解析式为y=kx+c，
∵点B、C在直线l1上，
∴代入得：
解得：k=﹣2，c=﹣3，
∴直线l1的解析式为y=﹣2x﹣3；
（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（﹣2，1），
∴﹣2﹣3=﹣5，1+6=7，
∴D的坐标为（﹣5，7），
代入y=﹣2x﹣3时，左边=右边，
即点D在直线l1上；
（3）把B的坐标代入y=x+b得：3=﹣3+b，
解得：b=6，
∴y=x+6，
∴E的坐标为（0，6），
∵直线y=﹣2x﹣3与y轴交于A点，
∴A的坐标为（0，﹣3），
∴AE=6+3=9，
∵B（﹣3，3），
∴△ABE的面积为×9×|﹣3|=13.5．
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到点C的坐标；把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b（k≠0）来求该直线方程；
（2）根据平移的性质得到点D的坐标，然后将其代入（1）中的函数解析式进行验证即可；
（3）根据点B的坐标求得直线l2的解析式，据此求得相关线段的长度，并利用三角形的面积公式进行解答．
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