【培优版】北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图像 同步练习
一、选择题
1．（2020八上·历城期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（3，3）
C．（ ， ） D．（ ， ）
2．（2021八上·济南期末）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
3．（2021八上·渭滨期末）如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（－0.5，－0.5）
C．（ ＋3， －3） D．（－2，－2）
4．（2020八上·包河期中）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为 ，甲、乙两车离AB中点C的路程 千米 与甲车出发时间 时 的关系图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地之间的距离为180千米
B．乙车的速度为36千米 时
C．a的值为
D．当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米
5．（2020八上·包河期中）A、B两地相距2400米，甲、乙两人从起点A地匀速步行去终点B地，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中正确的结论有（ ）：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2019八上·德清期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A． B． C． D．y=x
7．（2019八上·碑林期末）下列对一次函数y＝ax+4x+3a﹣2（a为常数，a≠﹣4）的图象判断正确的是（ ）
A．图象一定经过第二象限
B．若a＞0，则其图形一定过第四象限
C．若a＞0，则y的值随x的值增大而增大
D．若a＜4，则其图象过一、二、四象限
8．如图，直线y＝x＋2与y轴相交于点A0，过点A0作轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B1，过点 B1作轴的平行线交直线y＝x＋2于点A1，再过点作轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B2，过点 B2作轴的平行线交直线y＝x＋2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x＋2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x＋1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
二、填空题
9．（2020八上·高新期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 ．
10．（2016八上·富宁期中）一次函数y=（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
11．（2021八上·包河期中）如果不论k为何值，一次函数y= 的图象都经过一定点， 则该定点的坐标是 ．
12．（2023八上·蚌山月考）已知一次函数（k是常数且）的图象始终经过点，则a的值为 ．
13．（2021八上·通川期中）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在一三象限角平分线上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长是 ，Sn的值为 .
三、解答题
14．（2023八上·龙岗期中）如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，4)，点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为0'
（1）填空：k= ；b= 。
（2）若点O'恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PB'，直线PB'与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形 若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
15．（2023八上·巨鹿期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，交y轴于点B，
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）点是平面直角坐标系内一动点，若面积为12，求点P的坐标
（3）若点P在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
16．（2018八上·汪清期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2与y轴交于点A，与x轴交于点B.直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方.已知CO＝CD＝4.
（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；
（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由.
17．（2023八上·西安期中）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．
（1）当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时
①求AB解析式；
②求C点坐标；
（2）当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．
18．（2022八上·大田期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与轴交于点.
（1）填空： = ， = ，= ；
（2）如图2，点为线段上一动点，将△沿直线翻折得到△，线段交轴于点.
① 当点落在轴上时，求点的坐标；
② 若△为直角三角形，求点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴BN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝ ，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝ ＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣ ，
即直线CD的解析式是y＝﹣ x+3，
即方程组 得： ，
即Q的坐标是（ ， ）．
故答案为：D．
【分析】先证明△MCP≌△NPD，再根据勾股定理和待定系数法求函数解析式，最后求解即可。
2．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故答案为：B
【分析】分两种情况讨论：列出关于m的方程，求出m的值，结合图象即可求得m的取值范围。
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作 关于直线 对称点 ，
，
∵A（0，1），
的坐标为（1，0）；
连接 并延长，交直线 于 点，此时 ，取得最大值，
设直线 的解析式为 ，
把B（4，1），C（1，0）代入得
，解得 ，
直线 的方程为 ，
解 ，得 ；
点的坐标为 ， ；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质作出A作 关于直线 对称点 ，把PA转化为PC，由三角形两边之差小于第三边可得当B、P、A在一条直线上时， PB－PA取最大值，然后利用待定系数法求出直线BC的函数式，联立y=x，即可求出P点坐标.
4．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、A、B两地之间的距离为18×2÷ ＝180（千米），所以A不符合题意；
B、乙车的速度为180 ÷3＝36（千米/小时），所以B不符合题意；
C、甲车的速度为180 =24（千米/小时），
a的值为180÷2÷24＝3.75，所以C不符合题意；
D、乙车到达终点的时间为180÷36＝5（小时），
甲车行驶5小时的路程为24×5＝120（千米），
当乙车到达终点时，甲车距离终点距离为180﹣120＝60（千米），所以D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据两车相遇时甲、乙所走路程的比为2：3及两车相遇所用时间，即可求出A、B两地之间的距离；根据乙车的速度＝相遇时乙车行驶的路程÷两车相遇所用时间，进而求出乙车的速度；根据甲车的速度＝相遇时甲车行驶的路程÷两车相遇所用时间即可求出甲车的速度，然后根据时间＝两地之间路程的一半÷甲车的速度，进而求出a值；根据时间＝两地之间路程÷乙车的速度求出乙车到达终点所用时间，再求出该时间内甲车行驶的路程，用两地间的距离与甲车行驶的路程之差即可得出结论．
5．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①符合题意，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②不符合题意，
乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③不符合题意，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否符合题意，从而可以解答本题．
6．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设直线l和八个正方形最上面的交点为A，过A作AB⊥OB于点B，过 A作AC⊥OC于点C，如图：
∵正方形边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴×OB×AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
∴A（，3），
设直线l方程为y=kx，
∵直线l经过点A，
∴k=3，
∴k=，
∴直线l解析式为：y=x.
故答案为：B.
【分析】设直线l和八个正方形最上面的交点为A，过A作AB⊥OB于点B，过 A作AC⊥OC于点C，根据题意可知OB=3，S△AOB=×OB×AB=4+1=5，解之求得AB=OC=，从而可得A点坐标，设直线l方程为y=kx，将A点坐标代入即可求得答案.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
当 时， 图象经过第二、三、四象限.y的值随x的增大而减小.
当 时， 图象经过第一、三、四象限.y的值随x的增大而增大.
当 时， 图象经过第一、二、三象限.y的值随x的增大而增大.
综合分析，只有C符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先将函数解析式整理成一般形式，然后根据自变量的系数大于0，常数项大于0；自变量的系数大于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项大于0，四种情况列出不等式组求解分别得出a的取值范围，再根据一次函数的系数、图象与性质的关系一一判断得出答案。
8．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【分析】先根据y＝x＋2求得点A0的坐标，即可得到点B1的坐标，从而得到A0B1的长，再根据题意依次计算出A1B2、A2B3的长，发现规律，即可求得结果.
【解答】在y＝x＋2中，当x=0时，y=2，
在y＝0.5x＋1中，当y=2时，0.5x＋1=2，解得x=2，
则，
在y＝x＋2中，当x=2时，y=4，
在y＝0.5x＋1中，当y=4时，0.5x＋1=4，解得x=6，
则，
在y＝x＋2中，当x=6时，y=8，
在y＝0.5x＋1中，当y=8时，0.5x＋1=8，解得x=14，
则，
依次类推：
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；同时熟记y轴上的点的横坐标为0，x轴上的点的纵坐标为0.
9．【答案】（-1，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的中点
【解析】【解答】解：当x=0时，
∴点B的坐标为 ；
当y=0时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时PC+PD取最小值，
如图所示．
∵点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ．
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（-2，1），E（0，-1）代入y=kx+b，
得： ，
解得： ，
∴直线CE的解析式为 ．
当y=0时， ，
解得： ，
∴点P的坐标为（-1，0）．
故答案为：（-1，0）
【分析】根据题意，由一次函数的解析式计算得到点A以及点B的坐标，根据中点的性质求出点C和点D的坐标，根据PC+PD取最小值，求出点E的坐标，继而由点C和点E的坐标根据待定系数法计算得到直线EC的解析式，求出点P的坐标即可。
10．【答案】m＜3
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，
∴2m﹣6＜0，
解得，m＜3；
故答案是：m＜3．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式2m﹣6＜0，然后解不等式即可．
11．【答案】（2，3）
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：将一次函数y= 变形为（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
由（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
得：（2x-y）k-（x+3y）=k-11．
不论k为何值，上式都成立．
所以2x-y=1，x+3y=11，
解得：x=2，y=3．
即不论k为何值，一次函数（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0的图象恒过（2，3）．
【分析】先求出（2x-y）k-（x+3y）=k-11，再求出2x-y=1，x+3y=11，最后求点的坐标即可。
12．【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵
∴当时，
∴一次函数的图象始终经过点
则a的值为2。
故答案为：2。
【分析】根据一次函数的解析式求自变量的值。将解析式适当变形即可求解．
13．【答案】8；24n﹣5
【知识点】探索图形规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数y＝x与x轴的夹角为45°，
∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
…，
第n个正方形的边长为2n﹣1，
由图可知，S1＝ ×1×1+ ×（1+2）×2﹣ ×（1+2）×2＝ ，
S2＝ ×4×4+ ×（4+8）×8﹣ ×（4+8）×8＝8，
…，
Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，
第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，
Sn＝ 22n﹣2 22n﹣2＝24n﹣5.
故答案为：8；24n﹣5.
【分析】根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
14．【答案】（1）-1；4
（2）解：解：①如图所示，当P在x轴的正半轴上时，点恰好落在直线上，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
由折叠得： ，
∴，
在中， ，
∴；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的面积为；
（3）解：或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：；（2）
（3）解：当时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为；
②当时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图4，此时Q与C重合，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
④当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时；
综上，点P的坐标是或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①当P在的右侧，求，根据三角形面积公式可得结论；②当P在的左侧，同理可得结论；
（3）分4种情况：①当时，如图2，P与O重合，②当时，如图3，③当时，如图4，此时Q与C重合；④当时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算的长．
15．【答案】（1）解：把点代入，
得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴点B坐标为；
故答案为：；.
（2）解：过点P作轴，交于点C，如图所示：
把代入得：，
∴点，
∵面积为12，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
故答案为：或.
（3）解：如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
当时，，，
∴此时点P的坐标为或；
当时，，
∴此时点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
根据题意，得，
解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
故答案为：或或或.
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）将点A代入求出m的值，再将x=0代入求出y的值即可；
（2）过点P作轴，交于点C，先求出点C的坐标，再结合“面积为12”可得，求出m的值，即可得到点P的坐标；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别利用勾股定理求解即可.
（1）解：把点代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴点B坐标为；
（2）解：过点P作轴，交于点C，如图所示：
把代入得：，
∴点，
∵面积为12，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
当时，，，
∴此时点P的坐标为或；
当时，，
∴此时点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
根据题意，得，
解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
16．【答案】（1）解：对于直线y＝2x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1
∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（－1，0）
又∵CO＝CD＝4，
∴点D的坐标为（－4，4）
设直线AD的函数表达式为y＝kx＋b，则有 ，解得 ，
∴直线AD的函数表达式为y＝－ x＋2；
（2）解：存在，共有四个点满足要求.
分别是P1（－4，9），P2（－4，－4），P3（－4，－1），P4（－4， ）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）将x=0，y=0代入y＝2x＋2，求得A、B的坐标，通过CO＝CD＝4，得D点坐标，待定系数法求出直线AD的函数表达式。（2）考虑DB为腰、底的两种情况，写出坐标即可。
17．【答案】（1）解：①，，
，
，，
设直线的解析式为，
，
，
解析式：；
②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、．
则
，，
；
（2）解：由可知，在轴负半轴同理可说明）
点在直线上运动，作点关于直线的对称点，
，，
．
的最小值为，
此时，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①首先，要想求AB解析式，必须要知道A，B两点的坐标，已知点A（0，4），可得出AO=4，又已知AB=8，然后根据勾股定理即可求出B点坐标，最后设直线的解析式为y=kx+b，将A，B两点坐标代入y=kx+b中求出k，b的值，即可求出直线AB的解析式.②首先过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、．因此△AHB≌△CGA，所以AG=HB =4，，即C点坐标为.
（2）)首先根据△AGC≌△BHA可知AG=4，点 C在直线x=-4上运动，然后作O点关于直线 x= -4的对称点O'，所以AC+OC=AC+O'C，AC+OC的最小值为AO'的长度，此时OB= AH=CG=2，由此即可求出B坐标.
18．【答案】（1）8；-2；
（2）解：①∵直线：
∴点C的坐标为，
如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，，
，
，
，
点E的坐标为；
② 如下图，
当时，由翻折得，
，
，
，
，
点D的坐标为；
如下图，
当时，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
点D的坐标为，
综上，点D的坐标为或.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：把代入，
，
，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案为：8，-2， ；
【分析】（1）把B（ 4，0）代入y＝2x＋b求出b＝8，得直线AB：y＝2x＋8，再把A（m，4）代入y＝2x＋8，求出m＝ 2，得点A的坐标，最后把A（ 2，4）代入y＝kx＋3，求出k＝ ；
（2）①过点A作AH⊥y轴于点H，作AG⊥x轴于点G，求出AE2＝AC2＝（6＋2）2＋42＝80，再求出HE＝可得OE＝-4即可得答案；
②分两种情况讨论，当∠EDF＝90°时，求出∠ADC＝135°，得∠ADO＝45°，得DG＝AD＝4，得点D坐标；当∠DFE＝90°时，设DF＝x，则DE＝DC＝8 x，在Rt△DEF中，由勾股定理建立方程求解可求出DF，得点D坐标．
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册4.3一次函数的图像 同步练习
一、选择题
1．（2020八上·历城期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（3，3）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴BN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝ ，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝ ＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣ ，
即直线CD的解析式是y＝﹣ x+3，
即方程组 得： ，
即Q的坐标是（ ， ）．
故答案为：D．
【分析】先证明△MCP≌△NPD，再根据勾股定理和待定系数法求函数解析式，最后求解即可。
2．（2021八上·济南期末）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；定义新运算；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故答案为：B
【分析】分两种情况讨论：列出关于m的方程，求出m的值，结合图象即可求得m的取值范围。
3．（2021八上·渭滨期末）如图，在平面直角坐标系中，点P是正比例函数y＝x图象上的一点，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），当PB－PA取最大值时，点P的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（－0.5，－0.5）
C．（ ＋3， －3） D．（－2，－2）
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作 关于直线 对称点 ，
，
∵A（0，1），
的坐标为（1，0）；
连接 并延长，交直线 于 点，此时 ，取得最大值，
设直线 的解析式为 ，
把B（4，1），C（1，0）代入得
，解得 ，
直线 的方程为 ，
解 ，得 ；
点的坐标为 ， ；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质作出A作 关于直线 对称点 ，把PA转化为PC，由三角形两边之差小于第三边可得当B、P、A在一条直线上时， PB－PA取最大值，然后利用待定系数法求出直线BC的函数式，联立y=x，即可求出P点坐标.
4．（2020八上·包河期中）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为 ，甲、乙两车离AB中点C的路程 千米 与甲车出发时间 时 的关系图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．A，B两地之间的距离为180千米
B．乙车的速度为36千米 时
C．a的值为
D．当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、A、B两地之间的距离为18×2÷ ＝180（千米），所以A不符合题意；
B、乙车的速度为180 ÷3＝36（千米/小时），所以B不符合题意；
C、甲车的速度为180 =24（千米/小时），
a的值为180÷2÷24＝3.75，所以C不符合题意；
D、乙车到达终点的时间为180÷36＝5（小时），
甲车行驶5小时的路程为24×5＝120（千米），
当乙车到达终点时，甲车距离终点距离为180﹣120＝60（千米），所以D符合题意．
故答案为：D
【分析】根据两车相遇时甲、乙所走路程的比为2：3及两车相遇所用时间，即可求出A、B两地之间的距离；根据乙车的速度＝相遇时乙车行驶的路程÷两车相遇所用时间，进而求出乙车的速度；根据甲车的速度＝相遇时甲车行驶的路程÷两车相遇所用时间即可求出甲车的速度，然后根据时间＝两地之间路程的一半÷甲车的速度，进而求出a值；根据时间＝两地之间路程÷乙车的速度求出乙车到达终点所用时间，再求出该时间内甲车行驶的路程，用两地间的距离与甲车行驶的路程之差即可得出结论．
5．（2020八上·包河期中）A、B两地相距2400米，甲、乙两人从起点A地匀速步行去终点B地，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中正确的结论有（ ）：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①符合题意，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②不符合题意，
乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③不符合题意，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否符合题意，从而可以解答本题．
6．（2019八上·德清期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A． B． C． D．y=x
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设直线l和八个正方形最上面的交点为A，过A作AB⊥OB于点B，过 A作AC⊥OC于点C，如图：
∵正方形边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴×OB×AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
∴A（，3），
设直线l方程为y=kx，
∵直线l经过点A，
∴k=3，
∴k=，
∴直线l解析式为：y=x.
故答案为：B.
【分析】设直线l和八个正方形最上面的交点为A，过A作AB⊥OB于点B，过 A作AC⊥OC于点C，根据题意可知OB=3，S△AOB=×OB×AB=4+1=5，解之求得AB=OC=，从而可得A点坐标，设直线l方程为y=kx，将A点坐标代入即可求得答案.
7．（2019八上·碑林期末）下列对一次函数y＝ax+4x+3a﹣2（a为常数，a≠﹣4）的图象判断正确的是（ ）
A．图象一定经过第二象限
B．若a＞0，则其图形一定过第四象限
C．若a＞0，则y的值随x的值增大而增大
D．若a＜4，则其图象过一、二、四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
当 时， 图象经过第二、三、四象限.y的值随x的增大而减小.
当 时， 图象经过第一、三、四象限.y的值随x的增大而增大.
当 时， 图象经过第一、二、三象限.y的值随x的增大而增大.
综合分析，只有C符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先将函数解析式整理成一般形式，然后根据自变量的系数大于0，常数项大于0；自变量的系数大于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项小于0；自变量的系数小于0，常数项大于0，四种情况列出不等式组求解分别得出a的取值范围，再根据一次函数的系数、图象与性质的关系一一判断得出答案。
8．如图，直线y＝x＋2与y轴相交于点A0，过点A0作轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B1，过点 B1作轴的平行线交直线y＝x＋2于点A1，再过点作轴的平行线交直线y＝0.5x＋1于点B2，过点 B2作轴的平行线交直线y＝x＋2于点A2，…，依此类推，得到直线y＝x＋2上的点A1，A2，A3，…，与直线y＝0.5x＋1上的点B1，B2，B3，…，则A7B8的长为（ ）
A．64 B．128 C．256 D．512
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【分析】先根据y＝x＋2求得点A0的坐标，即可得到点B1的坐标，从而得到A0B1的长，再根据题意依次计算出A1B2、A2B3的长，发现规律，即可求得结果.
【解答】在y＝x＋2中，当x=0时，y=2，
在y＝0.5x＋1中，当y=2时，0.5x＋1=2，解得x=2，
则，
在y＝x＋2中，当x=2时，y=4，
在y＝0.5x＋1中，当y=4时，0.5x＋1=4，解得x=6，
则，
在y＝x＋2中，当x=6时，y=8，
在y＝0.5x＋1中，当y=8时，0.5x＋1=8，解得x=14，
则，
依次类推：
故选C.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同；同时熟记y轴上的点的横坐标为0，x轴上的点的纵坐标为0.
二、填空题
9．（2020八上·高新期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为 ．
【答案】（-1，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；线段的中点
【解析】【解答】解：当x=0时，
∴点B的坐标为 ；
当y=0时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ．
取点D关于x轴对称的点E，连接CE交x轴于点P，此时PC+PD取最小值，
如图所示．
∵点D的坐标为 ，
∴点E的坐标为 ．
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（-2，1），E（0，-1）代入y=kx+b，
得： ，
解得： ，
∴直线CE的解析式为 ．
当y=0时， ，
解得： ，
∴点P的坐标为（-1，0）．
故答案为：（-1，0）
【分析】根据题意，由一次函数的解析式计算得到点A以及点B的坐标，根据中点的性质求出点C和点D的坐标，根据PC+PD取最小值，求出点E的坐标，继而由点C和点E的坐标根据待定系数法计算得到直线EC的解析式，求出点P的坐标即可。
10．（2016八上·富宁期中）一次函数y=（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜3
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=（2m﹣6）x+5中，y随x的增大而减小，
∴2m﹣6＜0，
解得，m＜3；
故答案是：m＜3．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式2m﹣6＜0，然后解不等式即可．
11．（2021八上·包河期中）如果不论k为何值，一次函数y= 的图象都经过一定点， 则该定点的坐标是 ．
【答案】（2，3）
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：将一次函数y= 变形为（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
由（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
得：（2x-y）k-（x+3y）=k-11．
不论k为何值，上式都成立．
所以2x-y=1，x+3y=11，
解得：x=2，y=3．
即不论k为何值，一次函数（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0的图象恒过（2，3）．
【分析】先求出（2x-y）k-（x+3y）=k-11，再求出2x-y=1，x+3y=11，最后求点的坐标即可。
12．（2023八上·蚌山月考）已知一次函数（k是常数且）的图象始终经过点，则a的值为 ．
【答案】2
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵
∴当时，
∴一次函数的图象始终经过点
则a的值为2。
故答案为：2。
【分析】根据一次函数的解析式求自变量的值。将解析式适当变形即可求解．
13．（2021八上·通川期中）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在一三象限角平分线上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长是 ，Sn的值为 .
【答案】8；24n﹣5
【知识点】探索图形规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数y＝x与x轴的夹角为45°，
∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
…，
第n个正方形的边长为2n﹣1，
由图可知，S1＝ ×1×1+ ×（1+2）×2﹣ ×（1+2）×2＝ ，
S2＝ ×4×4+ ×（4+8）×8﹣ ×（4+8）×8＝8，
…，
Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，
第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，
Sn＝ 22n﹣2 22n﹣2＝24n﹣5.
故答案为：8；24n﹣5.
【分析】根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
三、解答题
14．（2023八上·龙岗期中）如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A(4，0)，B(0，4)，点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为0'
（1）填空：k= ；b= 。
（2）若点O'恰好落在直线AB上，求△OBP的面积；
（3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PB'，直线PB'与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形 若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）-1；4
（2）解：解：①如图所示，当P在x轴的正半轴上时，点恰好落在直线上，则，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
由折叠得： ，
∴，
在中， ，
∴；
②如图所示：当P在x轴的负半轴时，
由折叠得：，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的面积为；
（3）解：或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
【解析】解：（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得：；（2）
（3）解：当时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为；
②当时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图4，此时Q与C重合，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
④当 时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，
∴此时；
综上，点P的坐标是或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①当P在的右侧，求，根据三角形面积公式可得结论；②当P在的左侧，同理可得结论；
（3）分4种情况：①当时，如图2，P与O重合，②当时，如图3，③当时，如图4，此时Q与C重合；④当时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算的长．
15．（2023八上·巨鹿期末）如图，已知一次函数的图象与x轴交于点，交y轴于点B，
（1）求m的值与点B的坐标；
（2）点是平面直角坐标系内一动点，若面积为12，求点P的坐标
（3）若点P在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：把点代入，
得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴点B坐标为；
故答案为：；.
（2）解：过点P作轴，交于点C，如图所示：
把代入得：，
∴点，
∵面积为12，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
故答案为：或.
（3）解：如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
当时，，，
∴此时点P的坐标为或；
当时，，
∴此时点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
根据题意，得，
解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
故答案为：或或或.
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）将点A代入求出m的值，再将x=0代入求出y的值即可；
（2）过点P作轴，交于点C，先求出点C的坐标，再结合“面积为12”可得，求出m的值，即可得到点P的坐标；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，再分别利用勾股定理求解即可.
（1）解：把点代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，
∴点B坐标为；
（2）解：过点P作轴，交于点C，如图所示：
把代入得：，
∴点，
∵面积为12，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
当时，，，
∴此时点P的坐标为或；
当时，，
∴此时点P的坐标为；
当时，设点P的坐标为，
根据题意，得，
解得：，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或或．
16．（2018八上·汪清期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋2与y轴交于点A，与x轴交于点B.直线l⊥x轴负半轴于点C，点D是直线l上一点且位于x轴上方.已知CO＝CD＝4.
（1）求经过A，D两点的直线的函数关系式和点B的坐标；
（2）在直线l上是否存在点P使得△BDP为等腰三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：对于直线y＝2x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1
∴点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（－1，0）
又∵CO＝CD＝4，
∴点D的坐标为（－4，4）
设直线AD的函数表达式为y＝kx＋b，则有 ，解得 ，
∴直线AD的函数表达式为y＝－ x＋2；
（2）解：存在，共有四个点满足要求.
分别是P1（－4，9），P2（－4，－4），P3（－4，－1），P4（－4， ）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）将x=0，y=0代入y＝2x＋2，求得A、B的坐标，通过CO＝CD＝4，得D点坐标，待定系数法求出直线AD的函数表达式。（2）考虑DB为腰、底的两种情况，写出坐标即可。
17．（2023八上·西安期中）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．
（1）当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时
①求AB解析式；
②求C点坐标；
（2）当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．
【答案】（1）解：①，，
，
，，
设直线的解析式为，
，
，
解析式：；
②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、．
则
，，
；
（2）解：由可知，在轴负半轴同理可说明）
点在直线上运动，作点关于直线的对称点，
，，
．
的最小值为，
此时，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）①首先，要想求AB解析式，必须要知道A，B两点的坐标，已知点A（0，4），可得出AO=4，又已知AB=8，然后根据勾股定理即可求出B点坐标，最后设直线的解析式为y=kx+b，将A，B两点坐标代入y=kx+b中求出k，b的值，即可求出直线AB的解析式.②首先过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、．因此△AHB≌△CGA，所以AG=HB =4，，即C点坐标为.
（2）)首先根据△AGC≌△BHA可知AG=4，点 C在直线x=-4上运动，然后作O点关于直线 x= -4的对称点O'，所以AC+OC=AC+O'C，AC+OC的最小值为AO'的长度，此时OB= AH=CG=2，由此即可求出B坐标.
18．（2022八上·大田期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与轴交于点.
（1）填空： = ， = ，= ；
（2）如图2，点为线段上一动点，将△沿直线翻折得到△，线段交轴于点.
① 当点落在轴上时，求点的坐标；
② 若△为直角三角形，求点的坐标.
【答案】（1）8；-2；
（2）解：①∵直线：
∴点C的坐标为，
如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，，
，
，
，
点E的坐标为；
② 如下图，
当时，由翻折得，
，
，
，
，
点D的坐标为；
如下图，
当时，
设，则，
在中由勾股定理得：
，
解得：
，
点D的坐标为，
综上，点D的坐标为或.
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质
【解析】【解答】（1）解：把代入，
，
，
直线：，
把代入，
，
把代入，
，
，
；
故答案为：8，-2， ；
【分析】（1）把B（ 4，0）代入y＝2x＋b求出b＝8，得直线AB：y＝2x＋8，再把A（m，4）代入y＝2x＋8，求出m＝ 2，得点A的坐标，最后把A（ 2，4）代入y＝kx＋3，求出k＝ ；
（2）①过点A作AH⊥y轴于点H，作AG⊥x轴于点G，求出AE2＝AC2＝（6＋2）2＋42＝80，再求出HE＝可得OE＝-4即可得答案；
②分两种情况讨论，当∠EDF＝90°时，求出∠ADC＝135°，得∠ADO＝45°，得DG＝AD＝4，得点D坐标；当∠DFE＝90°时，设DF＝x，则DE＝DC＝8 x，在Rt△DEF中，由勾股定理建立方程求解可求出DF，得点D坐标．
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