2024-2025学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册课时作业:3.1椭圆(含解析)

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名称 2024-2025学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册课时作业:3.1椭圆(含解析)
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文件大小 1.7MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-09-26 15:45:42

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文档简介

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2024-2025学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册课时作业:3.1椭圆
一、选择题
1.如图,已知定圆A的半径为4,B是圆A内一个定点,且,P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,当点P在圆上运动时,则点Q的轨迹是( )
A.面积为π的圆 B.面积为的圆 C.离心率为的椭圆 D.离心率为的椭圆
2.已知椭圆的左、右焦点分别为,,若点满足,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为( )
A. B. C.2 D.4
4.椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
5.已知F是椭圆的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若,且,则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
6.点M为椭圆上一点,则M到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的离心率为,,分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若,则C的方程为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线与C交于A,B两点,若面积是面积的2倍,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.设点,分别为椭圆的左、右焦点,点P是椭圆C上任意一点,若使得成立的点恰好是4个,则实数m的取值可以是( )
A.1 B.3 C.5 D.4
10.已知点F为椭圆的左焦点,点P为C上的任意一点,点A的坐标为,则下列正确的是( )
A.的最小值为
B.的最大值为7
C.的最小值为
D.的最大值为1
11.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上、下顶点分别为,,若点P是C上异于,的一点,则下列结论正确的是( )
A.若C的离心率为,则直线与的斜率之积为
B.若,则的面积为
C.若C上存在四个点P使得,则C的离心率的取值范围是
D.若恒成立,则C的离心率的取值范围是
12.若方程所表示的曲线为C,则下列说法中正确的是( )
A.曲线C可能是圆
B.若,则C为椭圆
C.若C为椭圆,且焦点在x轴上,则
D.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则
三、填空题
13.已知椭圆的左、右焦点分别为,,点P是椭圆上一点,若的内心为M,连接PM并延长交x轴于点Q,且,则______.
14.已知为椭圆上一点,,分别是椭圆的左、右焦点,,则的面积为________.
15.已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为,该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为___________.
16.若P为椭圆上一点,,分别为左、右焦点,若,则______.
四、解答题
17.已知椭圆的左、右焦点分别为,,且,动直线l与椭圆交于P,Q两点:当直线l过时,的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l过点,椭圆的左顶点为A,当面积为时,求直线l的斜率k.
18.已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为,且与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若点H的坐标为,点A,B是椭圆E上的两点(点A,B,H不共线),且,证明直线AB(斜率存在时过定点,并求面积的取值范围.
19.已知,为椭圆:的左、右焦点,过点且垂直于x轴的直线被C截得的弦长为3,过点的直线交C于A,B两点.
(1)求C的方程;
(2)若直线AB的斜率不为0,过A,B作直线的垂线,垂足分别是E,F,设EB与AF交于点G,直线与x轴交于点D,求证:为定值.
20.已知椭圆的一个焦点为,椭圆上的点到F的最大距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)不经过F的直线l与x轴垂直,l与椭圆C交于A,B两点,连接并延长交椭圆C于点D,求证:直线过定点.
参考答案
1.答案:D
解析:连接,因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,
所以,
因为,
所以,
所以点Q的轨迹是以A,B为焦点,4为长轴长,焦距为2的椭圆,
所以椭圆的离心率为,
故选:D.
2.答案:D
解析:因为椭圆的焦点,,,
所以,,
因为,
所以,解得,
故选:D
3.答案:B
解析:椭圆化为标准方程为,故,
因为焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,
所以,
故选:B.
4.答案:C
解析:因为椭圆,,,所以,
即.
故选:C
5.答案:A
解析:取椭圆的右焦点,连接,,由椭圆的对称性以及直线经过原点,所以,
且,所以四边形为平行四边形,故,又因为,则,
而,因此,,由于,则,
在中结合余弦定理可得,
故,即,所以,因此,
故选:A.
6.答案:C
解析:如下图所示:
根据题意可知,当点M在第一象限且椭圆在点M处的切线与直线平行时,
点M到直线的距离取得最小值,可设切线方程为,
联立,消去x整理可得,
,因为,解得,
所以,椭圆在点M处的切线方程为,
因此,点M到直线的距离的最小值为.
故选:C.
7.答案:B
解析:依题意得,,,所以,,,故,又C的离心率,所以,,,即C的方程为,故选B.
8.答案:C
解析:由题意,,,面积是面积的2倍,所以点到直线AB的距离是点到直线AB的距离的2倍,即,解得或(舍去),故选C.
9.答案:BD
解析:设, ,, ,,
由可得,又点P在椭圆C上,即,
,要使得成立的点恰好是4个,则,解得.
故选:BD.
10.答案:ABD
解析:依题意,,,,所以,
的最小值,即是的长,当点P在位置时取到,
所以的最小值为,故A正确;
设椭圆的右焦点为,所以,
则当点P在位置时取到最大值,
所以的最大值为,故B正确;
的最小值当P在位置时取到,
即的最小值为,故C错误;
由,
则当点P在位置时取到最大值,
所以的最大值为,故D正确.
故选:ABD
11.答案:BD
解析:
A × 设,则,因为,所以,又,所以,所以.
B √ 若,则,又,所以,所以
C × 方法一:若C上存在四个点P使得,则由B选项分析知C上存在四个点P使得的面积为,所以,所以,所以,所以.方法二:若C上存在四个点P使得,则,则,(O是坐标原点),即,所以,所以.
D √ 若恒成立,则,所以,所以,所以.
12.答案:AD
解析:
A √ 当,即时,原方程化为,此时曲线C表示圆心为原点,半径为1的圆.
B × 当即或时,C为椭圆.
C × 若C为椭圆,且焦点在x轴上,则,解得.
D √ 若C为椭圆,且焦点在y轴上,则,解得.
13.答案:
解析:如图,连接,,在和中,利用角平分线定理可得,由等比定理可得,从而,.
14.答案:
解析:由已知得,,
所以,
从而,
在中,

即①,
由椭圆的定义得,
即②,
由①②得,
所以.
故答案为:.
15.答案:
解析:设椭圆标准方程为,
由题意,椭圆被直线所截得弦的中点的坐标为,
设,,则,,
由,得,
即,则,
,即,又,所以,,
故椭圆的标准方程为.
故答案为:.
16.答案:5
解析:因为,,所以.
17.答案:(1)
(2)
解析:(1)由题意得:,,即,则,
所以椭圆C的方程为:.
(2)由题意知:直线l斜率不为0,可设,
由消去x得:,
则,
设,,则,,
可得,
又因为,则,
所以,解得:,
所以直线l的斜率.
18.答案:(1);
(2)证明见解析;.
解析:(1)抛物线的焦点为,
E的焦点为,
又,
,又,
.
椭圆E的方程为.
(2)设直线AB的方程为(),,,
由得,,
,即,
,,
又,
,,
,
,即,
满足题意
直线恒过点,
,令,则,
,又,
面积的取值范围是.
19.答案:(1)
(2)证明见解析
解析:(1)因为过且垂直于x轴的直线被C截得的弦长为3,
所以,①
因为C的右焦点为,所以,②
联立①②可得,,
所以C的方程为.
(2)证明:当直线AB的斜率不存在时,易知,,,
所以.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为,
联立与,
得,
设,,
则,,恒成立,
由题可知,,
则EB的方程为,①
AF的方程为,②
②-①得,
因为,所以
,
所以
,
所以,所以G的横坐标为,
又,,所以G为垂直平分线上一点,所以.
综上,.
20.答案:(1)
(2)证明见解析
解析:(1)由题意,椭圆上的点到F的最大距离为,
所以,,所以椭圆方程为;
(2)显然直线的斜率存在且不为0,
设直线的方程为,,
则,由,
可得,
,
,,
所以直线的方程为,
令,可得
,
所以直线过定点.
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